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最新人教版高中数学必修2第一章《空间几何体的三视图和直观图》课堂导学


课堂导学 三点剖析 一、水平放置的平面图形的直观图的画法 【例 1】 用斜二测画法画出水平放置的正六边形的直观图. 画法: (1)如图,在正六边形 ABCDEF 中,取 AD 所在直线为 x 轴,对称轴 MN 所在直线 为 y 轴, 两轴相交于点 O.在图 (2) 中, 画相应的 x′轴与 y′轴, 两轴相交于点 O′, 使∠x′O′y′=45°.

(2)在图(2)中,以 O′为中心,在 x′轴上取 A′D′=AD,在 y′轴上取 M′N′=

1 MN. 2

以点 N′为中点画 B′C′平行于 x′轴,并且等于 BC; 再以 M′为中点画 E′F′平行于 x′轴,并且等于 EF. (3)连结 A′B′,C′D′,D′E′,F′A′,并擦去辅助线 x′轴和 y′轴,便获得正六边形 ABCDEF 水平 放置的直观图 A′B′C′D′E′F′,如图(3). 温馨提示 (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们画成对应的 x′ 轴与 y′轴,两轴交于点 O′且使∠x′O′y′=45°(或 135° ),它们确定的平面表示水平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴与 y′轴的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,长度为 原来的一半. 各个击破 类题演练 1 画正五边形的直观图. 分析:建立坐标系 xOy 后,B、E 两点不在平行于坐标轴的直线上,故需作 BC⊥x 轴于 G, EH⊥x 轴于 H.

解: (1) 建立如图 (1) 所示的直角坐标系 xOy,再建立如图 (2) 所示的坐标系 xO′y′, ∠xO′y′=45°. ( 2 ) 在 图 ( 1 ) 中 作 BG⊥x 轴 于 G , EH⊥x 轴 于 H , 在 坐 标 系 x′O′y′ 中

1 1 OA,O′F′= OF,过 F′作 C′D′∥x′轴且 C′D′=CD. 2 2 1 1 (3) 在平面 x′O′y′中, 过 G′作 G′B′∥y′轴, 且 G′B′⊥ BG, 过 H′作 H′E′∥y′轴, 且 H′E′= HE, 2 2
O′H′=OH,O′G′=OG,O′A′= 连结 A′B′,B′C′,C′D′,D′E′,E′A′,得五边形 A′B′C′D′E′为正五边形 ABCDE 的平面直观图. 变式提升 1 用斜二测画法画水平放置的圆的直观图. 画法: (1)如图(1) ,在⊙O 上取互相垂直的直径 AB,CD,分别以它们所在的直线为 x 轴 与 y 轴,将线段 AB n 等分.过各分点分别作 y 轴的平行线,交⊙O 于 E,F,G,H,…,画对应的 x′轴和 y′轴,使∠x′O′y′=45°.

(2)如图(2) ,以 O′为中心,在 x′轴上取 A′B′=AB,在 y′轴上取 C′D′= 分,分别以这些分点为中点,画与 y′轴平行的线段 E′F′,G′H′,…, 使 E′F′=

1 CD,将 A′B′ n 等 2

1 1 EF,G′H′= GH,…. 2 2

(1) (2) (3)用光滑曲线顺次连结 A′,D′,F′,H′,…, B′,G′,E′,C′,A′并擦去辅助线,得到的就是 平面图形圆水平放置的直观图. 二、空间几何体的直观图画法 【例 2】 画出棱长为 2 cm 的正方体的直观图. 解:(1)作水平放置的正方形的直观图 ABCD,使∠BAD=45° ,AB=2 cm,AD=1 cm. (2)以 A 为坐标原点,作空间直角坐标系,即作 z 轴,使∠BAz=90° ,分别过点 A,B,C,D,沿 z 轴的正方向取 AA′=BB′=CC′=DD′=2 cm. (3)连结 A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,得到的图形就是所求的正方体的直观图.

温馨提示 前面已经研究过水平放置的平面图形的直观图的画法,几何体的直观图的画法规则,与平面 图形的画法相比,只是多画一个与 x 轴、y 轴都垂直的 z 轴,并且平行于 z 轴的线段的平行 性和长度都不变.在直观图上,x′O′y′表示水平平面,平面 y′O′z′和 z′O′x′表示直立平面. 画空间图形的直观图,作直观图的原则是: (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系 O—xyz,并且把它们画成对应的 x′轴与 y′轴, 两轴 交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°(或 135° ) ,它们确定的平面表示水平面,再作 z′轴与 x′轴垂直. (2)作空间图形的直观图时平行于 x 轴的线段画成平行于 x′轴的线段并且长度不变. (3)平行于 y 轴的线段画成平行于 y′轴的线段,且线段画成原来的二分之一. (4)平行于 z 轴的线段画成平行于 z′轴的线段并且长度不变. 类题演练 2 画出一个正三棱台的直观图(尺寸为上、下底面边长为 2 cm、1 cm,高 2 cm). 解: (1)画轴. 如图,画 x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于 O,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° ;

(2)画底面,以 O 为中点,在 x 轴上取线段 AB,使 AB=2 cm,在 y 轴上取线段 OC,使 OC=

3 cm,连结 BC、CA,则△ABC 为正三棱台的下底面. 2

(3)画上底面,在 z 轴上取线段 OO′,使 OO′=2 cm.过 O′点作 O′x′∥Ox,O′y′∥Oy.建立坐标 系 x′O′y′,在 x′O′y′中,重复(2)的步骤得上底面 A′B′C′; (4)连线成图,连结 AA′、BB′、CC′,则三棱台 ABC—A′B′C′为要求画的三棱台的直观图. 变式提升 2 如下图,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

解: (1)画轴.如下图,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° ; (2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面⊙O,在 z 轴上截取 OO′,使 OO′等于三 视图中相应高度,过 O′作 Ox 的平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′画出上底面 ⊙O′(与画⊙O 一样) ; (3)画圆锥的顶点.在 Oz 上截取点 P,使 PO′等于三视图中相应的高度; (4)成图.连结 PA′、PB′、A′A、B′B,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如下图所示.

三、由直观图画平面图 【例 3】 下图为一个平面图形的直观图,请画出它的实际形状.

解:建立如图所示的坐标系 x′A′y′,再建立一个直角坐标系,如图所示在 x 轴上截取线段 AB=A′B′,在 y 轴上截取线段 AD,使 AD=2A′D′.过 B 作 BC∥AD,过 D 作 DC∥AB,使 BC 与 DC 交于点 C,则四边形 ABCD 为 A′B′C′D′的实际形状.

温馨提示 找出或作出直观图中与 x′轴平行线以及平行于 y′轴的线,这样在画实际图形时,继续与 x 轴,y 轴平行.特别要注意在两系下线段长度的关系. 类题演练 3 如左下图,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.

解:作法: (1)画直角坐标系 xOy,在 x 轴上取 OA=O′A′,即 CA=C′A′; (2)在图中,过 B′作 B′D′∥y′轴,交 x′轴于 D′,在 x 轴上取 OD=O′D′,过 D 作 DB∥y 轴, 并使 DB=2D′B′; (3)连结 AB、BC,则△ABC 为△A′B′C′原来的图形,如上右图所示.



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