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1.1.1集合的含义与表示


1.1.1 集合的含义与表示 刷基础 题型 1 集合的含义与元素的特征

1.

2.

下列所给对象不能构成集合的是( A. 一个平面内的所有点

)

B 所有小于零的实数 D 某一天到商场买过货物的顾客

C 某校高一(1)的高个子学生

解:A、一个平面内的所有点,满足集合元素的确定性和互异性,故可以构造 集合; B、所有小于零的实数,满足集合元素的确定性和互异性,故可以构造 集合; C、根据集合元素的确定性可以知道,对于某校高一(1)中的高个子,无法确 定元素,故不可以构造集合;

D、 某一天到商场买过货物的顾客,满足集合元素的确定性和互异性,故可以 构造集合; 所以 C 选项是正确的. 3. 下面四个命题正确的是( A. 10 以内的质数集合是 B. 由 1,2,3 组成的集合可表示为 C. 方程 D. 0 与
答案

)



的解集是 表示同一个集合

B 解: 以内的质数集合是 ,故 A 错; 或 ,故 C 错; ,它们都相等,故 B 对;

B.由 1,2,3 组成的集合可表示为 C.方程 表示元素, 的解集应为

表示一个集合,只有一个元素,故 D 错

4. 已知集合 S 中的三个元素是△ABC 边长,那么△ABC 一定不是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

解:由集合的性质,可知元素要互异,则三角形不可能存在边长相等,即不能
是等腰三角形,选 D.故答案为:d 5. 以实数 x,-x,|x|, A 2 个元素 , 为元素所组成的集合最多含有 D 5 个元素

B 3 个元素 C 4 个元素

答案由题意可知:

, ,

, 并且|x|=±x 为元素所组成的集合最多含有 x,-

所以,以实数 x,-x,|x|, x 两个元素. 故选 A.

6.

以方程 x2-5x+6=0 和方程 x2-x-2=0 的解为元素的集合中共有___

_____个元素.
答案 303:02 解析先解方程,再利用集合中元素的互异性,即可得到结论.

解答:由 x2-5x+6=0,解得 x=2 或 x=3;由 x2-x-2=0,解得 x=2 或 x=-1. ∴以方程 x2-5x+6=0 和方程 x2-x-2=0 的解为元素的集合为{2,3,-1},共 有 3 个元素.故答案为:3 点评:本题考查解方程,考查集合中元素的互异性,属于基础题 题型 2 元素与集合的关系 7. 已知集合 A. a∈A B a?A C a?A
答案 A 解析先判断 a 的大小, 然后根据元素与集合的关系判断 a 与集合 A 的关系.

,则 D {a}∈A

解答:∵a=

<10,A={x|x≤10} ∴a∈A 故选 A. )

8. 已知集合 A={x|x(x-2)=0},那么正确的是( A. 0∈A B. 2?A C. -1∈A

D. 0?A 解:由 x(x-2)=0 得 x=0 或 x=2, ∴A={0,2}, ∴0?A, 故选 A.

9. 下列关系式中,正确的是( A.
答案 C

) D.

B.

C.

解:根据题意, , , , ? ; },则有( )

10 已知集合 A={ x∈ R| x-1<

A. 3∈A 且-3 A B. 3∈A 且-3∈A C. 3 A 且-3∈A D. 3 A 且-3 A
答案 C 解析考查元素与集合的关系,即 3 与-3 是否在一元一次不等式 x-1<



解集中. 11. 设集合 M 中的元素为平行四边形,p 表示某个矩形,q 表示某个梯形, 则 p_M,q_M.
答案

解:集合 M 中的元素为平行四边形, ∵矩形是平行四边形,即矩形属于平行四边形,∴p∈M; ∵梯形不是平行四边形,即梯形不属于平行四边形,所以 q?M, 故答案为:

∈;?
12 集合 A 中的元素 y 满足 答案

,

,若

,则 t 的值为

0,1 解:因为 得到 , 或者 1; ,所以 或者 ,所以 ,又 ,

因此,本题正确答案是:0,1.

13. 集合 A 是由形如

的数构成的,试判断

是不

是集合 A 中的元素?解:

,而 2,

,

,即

.

14. 方程 ax2+2x+1=0 , a∈R 的根组成集合 A.

(1)当 A 中有且仅有一个元素时,求 a 的值,并求出 A 中的元素; (2)若 A 中至少有一个元素时,求 a 的取值范围。 解(1)当 a=0 时 , 原方程化为 2x+1=0 解得 x=?12 ; 当 a≠0 时,只需 △=4?4a=0 ,即 a=1 ,得 x=?1 , (2)当 a=0 时 , 原方程化为 2x+1=0 解得 x=?12 ; 当 a≠0 时,只需 △=4?4a?0 ,即 a?1 , 故所求 a 的取值范围为 (?∞,1] ;
题型 3 集合的表示方法 15. 集合

的另一种表示法是(

)

A.

B. C. D. 解: 集合 是用描述法来表示的,用另一种方法来表示就

是用列举法, 所以 B 选项是正确的.
16. 将集合{(x , y)|

x+y=5 2x-y=1

表示成列举法,正确的是( A.
答案 B

) D.

B.

C.

解:解方程组: 集合{(x , y)|
x+y=5 2x-y=1

,可得:

={(2 , 3)} . 所以 B 选项是正确的. 17. 已知集合 A.
答案 D

,则必有( C. D.

)

B.

解:∵ ,所以 D 选项是正确的.

,

18. 集合 M={(x,y)∣xy<0,x∈R,y∈R}是( ). A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C.第四象限内的点集 D.第二、四象限内的点集 解:当 x>0 时,y<0,表示的是第四象限的点; 当 x<0 时,y>0,表示的是第二象限的点. 所以集合 M 表示的是第二、四象限内的点集.故答案为:d 注意所给集合是点集还是数集.
19. 下列各组两个集合

和 表示同一集合的是

A. B. C. D.
答案【答案】C【解析】

试题分析:A 选项中

集合中元素为无理数,而

中元素为有理数,故

B 选项中 C 选项中

集合中元素为实数,而 集合中元素为 0,1,而

中元素为有序数对,故 故选 C



中元素为 1,故

考点:集合的元素
20. 能被 3 整除的正整数的集合,用描述法可表示为 答案此题答案为:{x|x=3k(k∈N )}.
*

.

解:由题意可知,集合中的元素均为 3 的正整数倍,故可表示为 x=3k(k ∈N*).
解析

【考点提示】 本题是一个整除性问题,想想能被 3 整除的数的特征; 【解题方法提示】 根据整除的意义可得,能被 3 整除的数都是 3 的倍数; 接下来,用描述法表示出来即可.

21. 用列举法表示集合 答案

解:

当 当

即 即

当 当

即 即

所以

因此,本题正确答案是:

22. 用适当的方法表示下列集合:

(1)绝对值等于 5 的全体实数组成的集合; (2)所有正方形组成的集合; (3)除以 3 余 1 的所有整数组成的集合;

(4)构成英文单词

(数学)的全部字母. .

答案解:(1)绝对值小于 5 的全体实数组成的集合可表示为:

(2)所有正方形组成的集合可表示为:{正方形}; (3)除以 3 余 1 的所有整数组成的集合可表示为: (4)构成英语单词 ;
易错点 1 忽略集合中元素的互异性而致错 3. 已知集合

;

(数学)字母的全体可表示为:

,且

,则实数 m 为(

)

A. 2B. 3C. 0 或 3D. 0,2,3 均可
答案 B 解:

,且 , 或 或 . 不成立. 不成立. 成立.故 ,则 x 的值为( )

,

或 计算得出 当 当 当
24 若

时,集合 时,集合 时,集合

.所以 B 选项是正确的.

A. -2 B. 1 C. 1 或-2 D. -1 或 2

解: 选项是正确的.

, 可得:

, 计算得出:



所以 C

易错点 2 混淆集合的表示方法而知错 26. 下列集合中,不同于另外三个集合的是( A.
答案 B 解:

)

B.

C. . 或

D.

. .

只有 B 和另外三个集合不同. 所以 B 选项是正确的.
27. 下列说法:其中正确的有(



①集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1}; ②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R};

③方程组
A、3 个
3

的解集为{x=1,y=2}.
B、2 个

C、

答案解:∵x =x 的解为-1,0,1,

∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1},故①正确; 实数集可以表示为{x|x 为实数}或 R,故②错误;

方程组

的解集为{(1,2)},

集合{x=1,y=2}中的元素是 x=1,y=2;故③错误;故选:C.
易错点 3 不理解自定义 的集合运算而知错 27. 定义集合运算: A*B={z|z=x+y,x∈A,y∈B},设 A={1,2},B={0,2},

则集合 A*B 的真子集个数为

.

答案此题答案为:15.

解:因为 A*B={Z|Z=x+y,x∈A,y∈B},A={1,2},B={0,2}, 所以 A*B={1,2,3,4}, 所以集合 A*B 的真子集个数为:24-1=15 个.
28. 已知 A、B 为两个实数集,定义集合 A+B={x|x=x1+x2,x1∈A, x2∈B},

若 A={1,2,3},B={2,3},则 A+B 中元素的个数为
答案此题答案为:4.

.

解:已知 A={1,2,3},B={2,3},A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}, 当 x1=1 时,x2=2,3,此时 x=3,4; 当 x1=2 时,x2=2,3,此时 x=4,5; 当 x1=3 时,x2=2,3,此时 x=5,6; 根据集合元素的互异性可知,A+B={3,4,5,6},共有 4 个元素.

29. 已知 x,y,z 为非零实数,代数式

的值所组成的集

合是 M,则下列判断正确的是( A. B. C. D.

)

答案 A 解:根据题意,分 4 种情况讨论;

(1)、 x、 y、 z 全部为负数时,则 xyz 也为负数,则

,

(2)、 x、 y、 z 中有一个为负数时,则 xyz 为负数,则

,

(3)、 x、 y、 z 中有两个为负数时,则 xyz 为正数,则

,

(4)、x、y、z 全部为正数时,则 xyz 也正数,则 则 ;

;

分析选项可得 A 符合.所以 A 选项是正确的.
30. 已知集合

,

,

,

,则

有( A.

) B. C. D. 以上都不对

答案 B

解:由可以知道 P 表示偶数集;由可以知道 Q 表示奇数集; 当 则 , ,则 a 为奇数,b 为偶数, 一定为奇数,所以 B 选项是正确的



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