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高中数学选修4-1练习题

高中数学选修 4-1 练习题(一)
1.如图,已知在△ABC 中,CD⊥AB 于 D 点,BC2=BD· AB,则∠ACB=______.

2.如图,已知在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,AC=6,DB=5,则 AD 的长为________.

3.如图所示,已知在△ABC 中,∠C=90° ,正方形 DEFC 内接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC= 1,BC=2,则 AF∶FC 等于________.

4.如图,平行四边形 ABCD 中,AE∶EB=1∶2,△AEF 的面积为 6,则△ADF 的面积为________.

5.如图,△ABC 中,∠BAC=90° ,AB=4 cm,AC=3 cm,DE∥BC 且 DE 把△ABC 的周长分为相等的两部分,则 DE=________.

6.在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上,∠BAC=∠ADC,AC=8,BC=16,则 CD 为________. 7.如图,已知在梯形 ABCD 中,上底长为 2,下底长为 6,高为 4,对角线 AC 和 BD 相交于点 P, (1)若 AP 长为 4,则 PC=________; (2)△ABP 和△CDP 的高的比为______. a 8.(2010· 广东卷)如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= ,点 E,F 分 2 别为线段 AB,AD 的中点,则 EF=________.

AE 2 9.如图,已知 AD∥EG∥BC,AD=6,BC=9, = ,则 GF 的长为________. AB 3

10.如图,在直角梯形 ABCD 中,上底 AD= 3,下底 BC=3 3,与两底垂直的腰 AB=6,在 AB 上 选取一点 P,使△PAD 和△PBC 相似,这样的点 P 有________个.

11.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F. 求证:AE· AB=AF· AC.

12.如图所示,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,F 为 AB 上任意一点,CF 交 AD 于点 E. 求证:AE· BF=2DE· AF.

13.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 为 AD 上一点,CF∥AB,BP 延长线交 AC,CF 于 E, F, 求证:PB2=PE· PF.

14.已知:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,M 是 BC 的中点,CN⊥AM,垂足是 N, 求证:AB· BM=AM· BN.

15.如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,底边 BC 上的高 AD=10 cm,腰 AC 上的高 BE=12 cm. AB 5 (1)求证: = ; BD 3 (2)求△ABC 的周长.? 【解析方法代码 108001159】

1. 解析: 在△ABC 与△CBD 中, 由 BC2=BD· AB, BC AB 得 = ,且∠B=∠B, BD BC 所以△ABC∽△CBD.则∠ACB=∠CDB=90° . 答案: 90° 2 解析: 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB, ∴AC2=AB· AD. 设 AD=x,则 AB=x+5,又 AC=6, ∴62=x(x+5),即 x2+5x-36=0. 解得 x=4 或 x=-9(舍去), ∴AD=4. 答案: 4 3. 解析: 设正方形边长为 x,则由△AFE∽△ACB, AF FE x 1-x 可得 = ,即 = , AC CB 2 1 2 AF 1 所以 x= ,于是 = . 3 FC 2 1 答案: 2 4. 解析: 由题意可得△AEF∽△CDF,且相似比为 1∶3,由△AEF 的面积为 6,得△CDF 的面积 为 54,由题意易知 S△ADF∶S△CDF=1∶3,所以 S△ADF=18. 答案: 18 5. 解析: ∵∠BAC=90° , ∴BC=5 cm. 设 AD=x cm,AE=y cm,则 x+y=6.① AD AE x y ∵DE∥BC,得 = ,即 = .② AB AC 4 3 24 18 由①②得 x= ,y= , 7 7 30 2 2 ∴DE= x +y = cm. 7 30 答案: cm 7 6. 解析: ∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C, ∴△ABC∽△DAC, BC AC AC2 82 ∴ = ,∴CD= = =4. AC CD BC 16 答案: 4 7. 解析: (1)∵AB∥CD, ∴△APB∽△CPD, AP AB 4 2 ∴ = ,即 = , CP CD CP 6 解得 PC=12. (2)由(1)及△ABP 和△CDP 的高的比等于它们的相似比,得这两个三角形的高的比为 1∶3. 答案: (1)12 (2)1∶3 a 8. 解析: 连接 DE,由于 E 是 AB 的中点,故 BE= . 2 a 又 CD= ,AB∥DC,CB⊥AB,∴四边形 EBCD 是矩形. 2 a 在 Rt△ADE 中,AD=a,F 是 AD 的中点,故 EF= . 2 a 【答案】 2

9. 解析: ∵AD∥EG∥BC, EG AE EF BE ∴ = , = . BC AB AD BA AE 2 BE 1 ∵ = ,∴ = , AB 3 AB 3 EF 1 EG 2 ∴ = , = . AD 3 BC 3 又∵AD=6,BC=9, ∴EF=2,EG=6, ∴GF=EG-EF=4. 答案: 4 10. 解析: 设 AP=x, AD AP (1)若△ADP∽△BPC,则 = , BP BC 3 x 即 = ,所以 x2-6x+9=0,解得 x=3. 6-x 3 3 AD AP (2)若△ADP∽△BCP,则 = , BC BP 3 x 3 即 = ,解得 x= , 2 3 3 6-x 所以符合条件的点 P 有两个. 答案: 两 11.证明: ∵AD⊥BC, ∴△ADB 为直角三角形, 又∵DE⊥AB,由射影定理知, AD2=AE· AB. 同理可得 AD2=AF· AC,∴AE· AB=AF· AC. 12. 证明: 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M,交 FC 于点 N. 在△BCF 中,D 是 BC 的中点,DN∥BF, 1 ∴DN= BF. 2

∵DN∥AF,∴△AFE∽△DNE, AE DE ∴ = . AF DN 1 AE 2DE 又 DN= BF,∴ = , 2 AF BF 即 AE· BF=2DE· AF. 14. 证明: 如图,连结 PC,

易证 PC=PB,∠ABP=∠ACP. ∵CF∥AB,∴∠F=∠ABP, 从而∠F=∠ACP, 又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角, CP PE 从而△CPE∽△FPC,∴ = , FP PC 2 ∴PC =PE· PF,

又 PC=PB,∴PB2=PE· PF. 15. 解析: (1)证明:在△ADC 和△BEC 中, ∵∠ADC=∠BEC=90° ,∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC, AC AD 10 5 ∴ = = = . BC BE 12 6 ∵AD 是等腰三角形 ABC 底边 BC 的高线, ∴BC=2BD,又 AB=AC, AC AB 5 AB 5 ∴ = = ,∴ = . BC 2BD 6 BD 3 5 (2)设 BD=x,则 AB= x, 3 在 Rt△ABD 中,∠ADB=90° , 2 2 根据勾股定理,得 AB =BD +AD2, 5 ∴?3x?2=x2+102,解得 x=7.5. ? ? 5 ∴BC=2x=15,AB=AC= x=12.5, 3 ∴△ABC 的周长为 40 cm.



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