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版高中数学第三章不等式章末复习提升课件新人教a版必修5_图文

第三章 不等式

章末复习提升

栏目 索引

一、本章知识网络 二、知识要点归纳 三、题型探究 四、思想方法总结

一、本章知识网络

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二、知识要点归纳

1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础,是不等式的证明和解不 等式的主要依据.因此,要熟练掌握和运用不等式的八条性质. 2.一元二次不等式的求解方法 (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,共同 确定出解集. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m<n时,若(x-m)(x-n)>0,则可得x>n或x<m; 若(x-m)(x-n)<0,则可得m<x<n.有口诀如下:大于取两边,小于取中间.

3.二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)二元一次不等式 (组)的几何意义:二元一次不等式 (组)表示的平面

区域.
(2) 二元一次不等式表示的平面区域的判定:对于任意的二元一次不

等式Ax+By+C>0(或<0),无论B为正值还是负值,我们都可以把y项
的系数变形为正数.当B>0时,①Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0

上方的区域;②Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.

4.求目标函数最优解的两种方法 (1)平移直线法.平移法是一种最基本的方法,其基本原理是两平行直线 中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等; (2)代入检验法.通过平移法可以发现,取得最优解对应的点往往是可行 域的顶点,其实这具有必然性.于是在选择题中关于线性规划的最值问 题,可采用求解方程组代入检验的方法求解. 5.运用基本不等式求最值,把握三个条件 (1)“一正”——各项为正数; (2)“二定”——“和”或“积”为定值; (3)“三相等”——等号一定能取到.
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三、题型探究

题型一

“三个二次”之间的关系

对于一元二次不等式的求解,要善于联想两个方面的问题:①相应的 二次函数图象及与x轴的交点,②相应的一元二次方程的实根;反之, 对于二次函数(二次方程)的问题的求解,也要善于联想相应的一元二次 不等式的解与相应的一元二次方程的实根 (相应的二次函数的图象及与 x轴的交点).

例1

不等式2x2 + mx+n>0 的解集是 {x|x>3 或 x<-2} ,则二次函数 y B.y=2x2-2x+12 D.y=2x2-2x-12

=2x2+mx+n的表达式是( D ) A.y=2x2+2x+12 C.y=2x2+2x-12

解析

? ?-m=3-2=1, ? 2 由根与系数的关系得? ?n = 3 × ? - 2 ? =- 6 ? ?2

? ?m=-2, ?? ? ?n=-12.

∴y=2x2-2x-12.
解析答案

题型二

恒成立问题

不等式恒成立求参数范围问题常见解法 (1)变更主元法: 根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作 主元. (2)分离参数法: 若f(a)<g(x)恒成立,则f(a)<g(x)min. 若f(a)>g(x)恒成立,则f(a)>g(x)max. (3)数形结合法: 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.

例2

已知函数f(x)=mx2-mx-6+m,若对于m∈[1,3],f(x)<0恒成立,

求实数x的取值范围.

解析答案

题型三 简单的线性规划问题 关注“线性规划”问题的各种“变式”:诸如求面积、距离、参数取值的问 题经常出现, ①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线), ②“约 束条件”由二次方程的“区间根”间接提供,③“约束条件”非线性,④目 x- a 标函数非线性,如:z= (斜率),z= ?x-a?2+?y-b?2(距离)等. y- b

求目标函数z=ax+by+c的最大值或最小值时,只需把直线ax+by=0 向上(或向下)平行移动,所对应的z随之增大(或减少)(b>0),找出最优 解即可.在线性约束条件下,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大 值的求解步骤为: (1)作出可行域; (2)作出直线l0:ax+by=0; (3)确定l0的平移方向,依可行域判断取得最值的点; (4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小值或最大值.

例3

?x-2y+4≥0 ? ? 已知实数 x,y 满足?2x+y-2≥0,则 x2+y2 的取值范围是 ? ?3x-y-3≤0 ?

________.

解析答案

题型四

利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可,可 以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值,可以考虑用函数 的单调性求解.

例4 A.3

已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( B.4 9 C.2 11 D. 2

)

解析答案

四、思想方法总结

1.分类讨论思想 解含有字母的不等式时,往往要对其中所含的字母进行适当的分类 讨论.分类讨论的原因大致有以下三种: (1)对不等式作等价变换时,正确运用不等式的性质而引起的讨论. (2)对不等式(组)作等价变换时,由相应方程的根的大小比较而引起的 讨论. (3)对不等式作等价变换时,由相应函数单调性的可能变化而引起的 讨论.



首先将不等式转化为整式不等式 (x- a)(x - a2) < 0 ,而方程 (x- a)(x

-a2)=0的两根为x1=a,x2=a2,故应就两根a和a2的大小进行分类讨论. 原不等式等价于(x-a)(x-a2)<0. (1)若a=0,则a=a2=0,不等式为x2<0,解集为?; (2)若a=1,则a2=1,不等式为(x-1)2<0,解集为?; (3)若0<a<1,则a2<a,故解集为{x|a2<x<a}; (4)若a<0或a>1,则a2>a,故解集为{x|a<x<a2}.

解析答案

2.转化与化归思想
不等与相等是相对的,在一定条件下可以相互转化.解题过程就是一个

由已知条件向待定结论等价转化的过程.无论哪种类型的不等式,其求
解思路都是通过等价转化,

把它们最终归结为一元一次不等式 (组)或一元二次不等式 (组)的求解.
由于不等式的解集一般是无限集,因此不等式非等价变换产生的多解

或少解是无法由检验而予以剔除或增补的,这就要求解不等式的每一
步变换都是等价变换,而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次

化一次、高次化低次等.

例2

已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减,α,β,γ∈R且α+

β>0,β+γ>0,γ+α>0.试判断f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系.
解 ∵f(x)为R上的减函数,

且α>-β,β>-γ,γ>-α, ∴f(α)<(-β),f(β)<f(-γ),f(γ)<f(-α), 又f(x)为奇函数, ∴f(-β)=-f(β),f(-α)=-f(α),f(-γ)=-f(γ), ∴f(α)+f(β)+f(γ)<f(-β)+f(-γ)+f(-α) =-[f(β)+f(γ )+f(α )], ∴f(α)+f(β)+f(γ)<0.
解析答案

课堂小结

1.不等式的应用非常广泛,它贯穿于高中数学的始终.在集合、函数、数 列、解析几何及实际问题中都有不等式的应用.本章的重点是简单的线性 规划问题、基本不等式求最值和一元二次不等式的解法. 2.考查角度通常有如下几个方面: (1)对各类不等式解法的考查,其解题关键是对于生疏的,非规范化的问 题转化为熟悉的、规范化的问题去求解;

(2)对含参数的不等式的解法的考查,解含参数的不等式的基本途径是分 类讨论,应注意寻找讨论点,以讨论点划分区间进行求解. (3)与函数、三角函数、向量等知识相结合,以解题工具的面貌出现在解 答题中,以求解参数的取值范围为主,并且将更加突出对不等式的灵活 性、综合性及应用性的考查.

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本课结束



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