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第03讲任意角的三角函数 学生版(2)


课程或讲义名称: 任意角的三角函数
班别或班级名称:高一复习提高班 本节课重点难点提示: 班级口号或鼓励格言:

任意角的三角函数

任意角的三角函数的定义及其应用(一)

1.理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示,能熟练求三角函数的值. 2.理解并掌握三角函数线的几何表示,能利用三角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围.

一、任意角的三角函数
1.单位圆:在直角坐标系中,以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆称为________. 2.三角函数的定义:设角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合.在直角坐标系中,角 α 终边与 单位圆交于一点 P(x,y),则 r=|OP|=1.那么: (1)y 叫做________,记作 sin α,即 y=sin α; (2)x 叫做________,记作 cos α,即 x=cos α; y y (3) 叫做________,记作 tan α,即 =tan α(x≠0). x x 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们把它们统 称为________.

教之以简

用之为丰

1

3 4? 练习 1:已知角 A 的终边与单位圆的交点为 P0? ?-5,5?,求角 α 的正弦、余弦和正切值.

二、三角函数值在各个象限内的符号
1.由三角函数的定义,以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数在各象限的符号. y sin α= ,其中 r>0,于是 sin α 的符号与 y 的符号相同,即:当 α 是第________象限角时,sin α>0;当 α r 是第_______________________象限角时,sin α<0; x cos α= ,其中 r>0,于是 cos α 的符号与 x 的符号相同,即:当 α 是第____________象限角时,cos α>0; r 当 α 是第________象限角时,cos α<0; y tan α= ,当 x 与 y 同号时,它们的比值为正,当 x 与 y 异号时,它们的比值为负,即:当 α 是第__一、三 x ______象限角时,tan α>0;当 α 是第 ________象限角时,tan α<0.

2.根据终边所在位置总结出形象的识记口诀 1:

y x y “sin α=r :上正下负横为 0;cos α= r :左负右正纵为 0;tan α=x:交叉正负”. 形象的识记口诀 2:“一全正二正弦,三正切四余弦”. 解析: 口诀: “一全正二正弦,三正切四余弦” ,意为:第一象限各个三角函数均为正;第二象限只有正 弦为正,其余两个为负;第三象限正切为正,其余两个为负;第四象限余弦为正,其余两个为负.

教之以简

用之为丰

2

练习 2:已知角α 的终边过点 P0(-3,-4),求角α 的正弦、余弦和正切值.

三、诱导公式一 由定义可知,三角函数值是由角的终边的位置确定的,因此,终边相同的角的 同一三角函数的值__相等______,这样就有下面的一组公式(诱导公式一): sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α,tan(2kπ+α)=tan α,k∈ Z. 四、三角函数的定义域
三角函数 sin α cos α tan α
? ? ? π ?α α≠kπ+ ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

定义域

R

R

π 1.若- <α<0,则点 Q(cos α,sin α)位于( 2 A.第一象限 C.第三象限 A. 1 2 B. 3 2 C.

)

B.第二象限 D.第四象限 2.已知角 α 的终边过点 P 3 3 1 D.± 2

? 3,1?,则 cos α=( ? 2 2?

)

3.有下列四个命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不相等;
教之以简 用之为丰

3

③若 sin α>0,则 α 是第一或第二象限角; ④若 α 是第二象限角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos α= 其中,不正确命题的个数是( A.1 个 B.2 个 ) D.4 个 -x x2+y2 .

C.3 个 )

4.若 sin α <0 且 tan α >0,则α ( A.第一象限角 C.第三象限角

B.第二象限角 D.第四象限角

题型 1 利用三角函数的定义求三角函数值 例 1 已知角α 的终边过点 P(-3,2),求 sin α ,cos α ,tan α 的值.

1.在平面直角坐标系中,若角 α 终边经过点 P(-3,4),则 cos α 的值为 ( 4 A.- 5 3 B.- 5 3 C. 5 4 D. 5

)

2.已知角 α 的终边落在直线 y=2x 上,求 sin α,cos α,tan α 的值.

题型 2 应用诱导公式(一)进行化简、求值
求下列各三角函数的值: (1)cos(-1 050° );

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用之为丰

4

31 ? (2)sin? ?- 4 π?.

11 9 3.求值:cos π+tan?- 6 π?=________. 4 ? ?

例 3 (1)若角α 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin α ,cos α )分别落在第________、________和________ 象限.

(2)依据三角函数线,作出如下四个判断: π π 7π π π 3π ①sin =sin ;②cos =cos?-4?;③tan >tan ; 6 6 4 8 8 ? ? 3π 4π ④sin >sin . 5 5 其中判断正确的有( A.1 个 )

B.2 个 C.3 个 D.4 个

4.判断下列各三角函数值的符号: sin 3,cos 4,tan 5.

教之以简

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5

任意角的三角函数的定义及其应用(二)
1.有向线段:带有方向的线段,叫做有向线段. 2.三角函数线: 如图,设角α 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,过点 A(1,0)作单位圆的切线,与α 的终边(或其反向延长线)交于点 T,则图中有向线段 MP,OM,AT 分别表示 sin α ,cos α 和 tan α .有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.

5π 1.角 α=- ,则 sin α,tan α 的值分别为( 2 A.-1,不存在 C.-1,0 B.1,不存在 D.1,0

)

2.若 α 是第四象限角,则 sin α 和 tan α 的大小的关系是( A.sin α>tan α C.sin α≥tan α B.sin α<tan α D.不确定

)

1 4.在单位圆中画出适合 sin α= 的角 α 的终边,并由此写出角 α 的集合. 2

题型 1 利用三角函数线比较大小

比较大小:sin 1,cos 1.

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用之为丰

6

题型 2 求角α 的范围 在单位圆中画出适合 sin α≥ 3 的角 α 终边的范围,并由此写出角 α 的集合. 2

题型 3 三角函数线的综合应用 例 3 利用三角函数线证明:|sin α |+|cos α |≥1.

教之以简

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7



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