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两个基本计数原理1


1.1 两个基本计数原理

问题一:从甲地到乙地,可以乘火车, 也可以乘汽车,一天中,火车有3班,汽车 有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法?

解:因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2 种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所 以共有 3+2=5 种不同的走法。

分类计数原理 完成一件事,有n类方 式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在 第2类方式中有m2种不同的方法,…,在第 n类方式中有mn种不同的方法,那么完成这 件事共有:

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。

问题二:从甲地到乙地,要从甲地选乘火 车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地。一 天中,火车有3班,汽车有2班。那么两天中, 从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

这个问题与前一个问题有什么区别?

在前一个问题中,采用乘火车或汽车中的 任何一种方式,都可以从甲地到乙地;而在这 个问题中,必须经过先乘火车、后乘汽车两个 步骤,才能从甲地到乙地.

解:因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法, 所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地, 共有 3×2=6 种不同的走法。
分步计数原理 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步 有m2 种不同的方法,…,做第n步时有mn种不 同的方法。那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ??? mn
种不同的方法。 分步计数原理又称为乘法原理。

分类计数原理(加法原理)中,“完成一件 事,有n类方式”,即每种方式都可以独立地 完成这件事。进行分类时,要求各类方式彼此 之间是相互排斥的,不论那一类办法中的哪一 种方法,都能独立完成这件事。只有满足这个 条件,才能直接用加法原理,否则不可以。 分步计数原理(乘法原理)中,“完成一件 事,需要分成n个步骤”,是说每个步骤都不足 以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个 步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有 步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立, 即相对于前一步的每一种方法,下一步有m种不 同的方法,那么完成这件事的方法数就可以直 接用乘法原理。

应用这两个原理的关键是看完成这件 事情是“分类”还是“分步”。 例1、某班共有男生28名、女生20名, 从该班选出学生代表参加校学代会。 (1)若学校分配给该班1名代表,有多少种 不同的选法? ( 2) 若学校分配给该班2名代表,且男女生代表 各1名,有多少种不同的选法?

例2、在下面两个图中,使电路接通的 不同方法各有多少种? A

B

A

B ( 2)

(1)

例3、为了确保电子信箱的安全,在注册 时,通常要设置电子信箱密码。在某网站设 置的信箱中, ( 1) 密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一 个数字,这样的密码共有多少个?(2)密码 为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个, 或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的 密码共有多少个? (3)密码 为4到6位,每位均为0到9这10个数字中的一 个。这样的密码共有多少个?

例4、(1)4名同学选报跑步、跳高、跳 远三个项目,每人报一项,共有多少种报名 方法?
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三 个项目的冠军,共有多少种可能的结果? 例5、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼 梯,问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?

例6、有n个元素的集合的子集共有多少
个?

1.1 两个基本计数原理(二)

什么是分类计数原理?

什么是分步计数原理? 应用这两个原理时应注意什么问题?

例1、要从甲、乙、丙三名工人中选出 两名分别上日班和晚班,有多少种不同的 选法? 例2、某艺术组有9人,每人至少会钢 琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴, 3人会小号,从中选出会钢琴和会小号的各 一人,有多少种不同的选法? 例3、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三 面,每次升一面、两面、三面在某一旗杆 上纵向排列,共可以组成多少种不同的信 号?

例4、(1)8张卡片上写着0,1,2,…,7共 8个数字,取其中的三张卡片排放在一起,可 组成多少个不同的三位数?
(2)4张卡片的正、反面分别写有0与1、 2与3、4与5、6与7,将其中的3张卡片排放在 一起,共有多少个不同的三位数? 例5、自然数2520有多少个正约数? 例6、书架上原来并排放着5本不同的书, 现要插入三本不同的书,那么不同的插法有 多少种?


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