重庆市南开中学2015届高考考前模拟考试数学理试题

高 2015 级高三下学期高考考前模拟考试 数学试题（理科）
考试说明：试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题） 满分 150 分，考试时间 120 分钟。 （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、 试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 第 I 卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一是符合题 目要求的。 1、已知复数 z 满足 z ? A、 z ?

1? i 2

2?i （其中 i 是虚数单位） ，则 z ? （ 1? i 2 ? 3i 3?i B、 z ? C、 4 2

） D、

2 ? 3i 5
）

2、已知数列 ?an ? 为等差数列，且 a1 ? a7 ? a13 ? ? ，则 tan ? a2 ? a12 ? 的值为（ A、 3 B、 ? 3 C、 ? 3 ） D、 ?

3 3

3、 函数 f ? x ? ? ln x ? 2x ? 6 的零点一定位于区间 （ A、 ?1, 2 ? C、 ? 3, 4 ? B、 ? 2,3? D、 ? 4,5?

4、 右图为一个几何体的三视图， 侧视图和正视图均为矩形， 俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A、4 C、 4 3 5、下列说法正确的是（
x

B、 2 3 D、 6 2 ）
x

A、命题“ ?x ? R, e ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, e ? 0 ” B、命题“若 a ? ?1 ，则函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1只有一个零点”的逆命题为真命题
2

·1 ·

2 C、“ x ? 2 x ? ax 在 x ??1, 2? 上恒成立” ? “ x ? 2 x
2

?

?

min

? ? ax ?max 在 x ??1, 2? 上恒成立”

D、命题“已知 x, y ? R ，若 x ? y ? 3 ，则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题 6、执行下图的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1, 2,3 ，则输出的 M ? （ ）

A、

20 3

B、

15 8

C、

7 2

D、

16 5
）

7、若向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b 且 c ? a ，则向量 a与b 的夹角是（ A、 30 B、 60 C、 120 D、 150

8、已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ，且 3b cos A ? 3a cos B ? c ，则下列结论 正确的是（ ） A、 tan B ? 2 tan A B、 tan A ? 2 tan B C、 tan B ? tan A ? 2 D、 tan A ? tan B ? 2 9、已知 A 、 B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队， A 不排两端，3 个大人有且只有两个相邻，则 不同的排法的种数有（ ） A、36 B、48 C、60 D、72 10、设 x, y ??0,1? ，则多元函数 f ? x, y ? ?

x y ? ? ?1 ? x ??1 ? y ? 的范围为（ 1? y 1? x
C、 ?

）

A、 ? ,1?

?1 ? ?8 ?

B、 ?

?10 ? 5 3 3 ? , ? 2 2? ?

?13 ? 5 5 ? ,1? 2 ? ?

D、 ?

?2? 3 ? , 2? ? 2 ?

第 II 卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 11、已知集合 M ? ??1,1? , N ? x 1 ? 2 ? 4, x ? Z ，则 M
x

?

?

N?

。

12 、 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ? ? x? ? f ? x ? ?0, f? ?x ? ?f

x ?4 ? ， 且 x ? ? ?2, 0 ? 时，

1 f ? x ? ? 2 x ? ，则 f ? log2 20? ? 5
13、已知双曲线 C1 :

。

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，抛物线 C2 的顶点在原 a 2 b2
·2 ·

点，它的准线与双曲线 C1 的左准线重合，若双曲线 C1 与抛物线 C2 的交点 P 满足 PF2 ? F 1F 2 ，则双 曲线 C1 的离心率为 。

考生注意： （14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题 作答，若三题全做，则按前两题给分。 14、如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O ，弦 CD 交 PA 于点 F ， 且 ?OCF ? ?FPD, PB ? OA ? 2 ，则 PF ? 。

? ? x ? ?2 ? ? 15、 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， 若曲线 ? x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。 ? y ? ?4 ? ? ?
（ t 为参数， t ? R ）过曲线 C : ? sin
2

2 t 2 2 t 2
。

? ? 2a cos? ? a ? 0? 的焦点，则实数 a 的值为
。

16、存在 x ? R 使 a ?1 ? x ?1 ? x ? 3 成立，则实数 a 的取值范围为

三、解答题：共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 （本小题满分 13 分， （1）小问 9 分， （2）小问 4 分） 某饮品店随机抽取 5 天营业资料，获得第 i 天的平均气温 xi （单位：摄氏度）与热咖啡销售量 y i （单位：杯）的数据，算得

? xi ? 100, ? xi yi ? 3400, ? xi2 ? 3000 。
i ?1 i ?1 i ?1

5

5

5

（1）已知热咖啡销售量 y 对平均气温 x 的线性回归方程 y ? ?

3 x ? a ，求 y 及 a 的值； 5

（2）若该饮品店某一天的热咖啡销售量为 34 杯，试估计这一天的平均气温。 18、 （本小题满分 13 分， （1）小问 6 分， （2）小问 7 分） 已知函数 f ? x ? ? 3 sin x ? sin ?

?? ? ? x ? ? sin ?? ? x ? sin x, x ? R 。 ?2 ?

（1）求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间； （2）设 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角，且 f ?

? A? ? ? 0, ?2?

?B? 1 f ? ? ? ，求 ? 2 ? 10

?C ? f ? ? 的值。 ?2?

19、 （本小题满分 13 分， （1）小问 5 分， （2）小问 8 分）
·3 ·

2 1? x 已知函数 f ? x ? ? 2ax ? a e

?

?

? a ? 0? 。

（1）若函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线过点 ? 3, ?1? ，求实数 a 值； （2）若函数 f ? x ? 在区间 ? 2, ??? 上不单调，求此时函数在区间 ? 2, ??? 上的最大值。 20、 （本小题满分 12 分， （1）小问 5 分， （2）小问 7 分） 如图， PC ? 平面ABC ，且 BC ? 2, AC ? PM ? PC ? 1, PM // BC ，点 N是AB 的中点。 （1）求证： MN // 平面PAC ； （2）若 ?ACB ?

?

?

2? ，求平面 AMC 与平面 BMC 3

所成的锐二面角的余弦值。

21、 （本小题满分 12 分， （1）小问 4 分， （2）小问 8 分） 如图， 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ， 点 A 是椭圆的上顶点， ?AF1 F2 a 2 b2

OP 为直径作圆 E ，过 为等腰直角三角形，点 P 为椭圆上任意一点，且 PF 1 的最小值为 2 ? 1 ；以

F1 作 OP 的垂线交圆 E 于 M 。
（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求 PM 的范围。

22、 （本小题满分 12 分， （1）小问 5 分， （2）小问 7 分） 各项均为正数的数列 {an } 中， Sn ? a1 ? a2 ???? ? an ，且 2 ? Sn ? an ， n ? N （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）设 cn ?
*

n an ，求集合 {(m, k , r) | cm ? cr ? 2ck , m ? k ? r, m, k , r ? N *} 2
·4 ·

·5 ·

·6 ·