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基本初等函数综合复习+高考题汇编


2015 年人教版数学必修一第二章 复习资料



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 10 月 5

基本初等函数综合复习 题型一 幂函数的定义及应用
1

例 1.已知 y=(m +2m-2)· x

2

m 2 ?1

+(2n-3)是幂函数,求 m、n 的值.

探究提高 (1)判断一个函数是否为幂函数,只需判断该函数的解析式是否满足:①指数 为常数;②底数为自变量;③幂系数为 1. (2)若一个函数为幂函数,则该函数解析式也必具有以上的三个特征. 已知 f(x)=(m +2m) xm +m-1 ,m 为何值时,f(x)是:
2
2

(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数. 2.【江西省 2014 届高三新课程适应性考试文科数学】由幂函数 y ? xn 的图像过点 (8, 2) ,则 这个幂函数的定义域是() A. [0, ??) 题型二 B. (??,0) ? (0, ??) C. (0, ??) D. R

指数式与根式,对数式的化简,求值问题

例 2. 【2014 届新余一中宜春中学高三年级联考数学(文) 】已知函数

? 4? f ( x) ? log2 ( 1 ? 4 x 2 ? 2 x) ,则 f (tan ) ? f (tan ) ? ( ) 5 5
A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

变式训练:1.【安徽省池州一中 2014 届高三第一次月考数学(文) 】求值:

log3 27 ? lg25 ? lg4 ? 7log7 2 ? ? ?2013? ?
0

.

?log 2 x, x ? 0, 2. 【江西师大附中高三年级 2013-2014 开学考试】已知函数 f ( x) ? ? x ,则 x?0 ?2 ,
1 f ( ) ? f (?2) ? . 4

题型三 基本初等函数的单调性问题
例 3. 【 安 徽 省 示 范 高 中 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 联 考 数 学 ( 文 ) 】已知函数

?? x ? 3a, x ? 0 , ( a ? 0 且 a ? 1 )是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是( f ( x) ? ? x ? a ? 2, x ? 0
A. (0, ]



2 1 B. (0, ] C. (0,1) D. (0, 2] 3 3 变 式 训 练 1. 【 宁 夏 银 川 一 中 2014 届 高 三 年 级 第 一 次 月 考 文 科 】 已 知 函 数

1 f ( x) ? ln x, x1 , x 2 ? (0, ), 且 x1 ? x 2 则下列结论正确的是( e
A. ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 B. f (

)

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

C. x1 f ( x2 ) ? x 2 f ( x1 ) D. x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x1 )

2.【广东省珠海市 2014 届高三 9 月摸底考试数学(文) 】下列函数中,既是偶函数又在区
间 上单调递增的函数为( ( 0, ??) A. y ? x
?1

) C. y ?| x | D. y ? ? x
2

B. y ? log 2 x

3. 【江西省 2014 届高三新课程适应性考试文科数学】 函数 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? 1} ,
对定义域中任意的 x ,都有 f (2 ? x) ? f ( x) ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 2x2 ? x ,那么当 x ? 1 时, f ( x ) 的递减区间是()

5 5 7 7 B. (1, ] C. [ , ??) D. (1, ) 4 4 4 4 题型四 基本初等函数的奇偶性与周期性问题
A. [ , ??) 例 4【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考文科】已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) 满足

f ( x) ? f (1) 对 x ? R 恒成立,则(
A. 函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 C. 函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数

) B.函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 D.函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数

变式训练 1.【2014 届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数① y ? x cos x
2 ② y ? sin 2 x ③ y ? x ? x ④ y ? ex ? e? x ,其中是奇函数的是()

A.

①②

B. ①④

C.

②④

D. ③④

2.【广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学文】已知函数 f ( x) 是定义在 若对于任意的实数 x ? 0 , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且当 x ? ?0,2? 时, (??, ??) 上的奇函数,

f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,则 f (?2011 ) ? f (2012 ) 的值为
A. ?1 B. ?2 C. 2 D. 1





3.【吉林省白山市第一中学 2014 届高三 8 月摸底考试文】已知定义在 R 上的偶函数 f(x)
满足:?x∈R 恒有 f(x+2)=f(x)-f(1).且当 x∈[2,3]时,f(x)=-2(x-3)2.若函 数 y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则实数 a 的取值范围为( ) A. (0, 2 ) 2 B. (0, 3 ) 3 C. (1, 2 ) D. (1, 3 )
x

题型五 函数的零点问题
例 5.【广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(文) 】函数 f(x)= x 2 ? ? 点个数为( )
1

?1? ? 的零 ?2?

A .0

B.1

C.2

D.3

变式训练 1. 【安徽省池州一中 2014 届高三第一次月考数学 (文) 】 定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,
满足 f ( x ? 3) ? f ( x ) , f (2) ? 0 ,则函数 y ? f ( x ) 在区间 ? 0, 6 ? 内零点的个数为( )

A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D.至少 4 个

2.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考文】在下
列区间中函数 f ( x) ? ex ? 2x ? 4 的零点所在的区间为( A. (0, ) )

1 2

B. ( ,1)

1 2

C. (1, 2)

D. ?1, ?

? 3? ? 2?

3.【江西省 2014 届高三新课程适应性考试文科数学】已知函数 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期 函数,且当 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 2|x| ?1 ,则函数 F ( x) ? f ( x)? | lg x | 的零点个数是() A.9 B.10 C.11 D.12

题型六 函数的图象问题 例 6【吉林省白山市第一中学 2014 届高三 8 月摸底考试文】函数 f ( x) ? e x ? x2 的图
象是()

变式训练 1.【安徽省示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学(文) 】函数 f ( x ) 的图
像如图所示,若函数 y ? f ( x) ? c 与 x 轴有两个不同交点,则 c 的取值范围是( A. (?2, ?0.5) B. [?2, ?0.5) C. (1.1,1.8) D. [?2, ?0.5) ? (1.1,1.8) )

2.【成都外国语学校 2014 级高三开学检测试卷】设 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 3 的周期
函数,如图表示该函数在区间(-2,1]上的图像,则 f (2013) + f (2014) =() A、3 B、2 C、1 D、0

3.【2014 届新余一中宜春中学高三年级联考数学(文) 】已知在函数 y ?| x | ( x ? [?1,1] )
的图象上有一点 P (t ,| t |) ,该函数的图象与 x 轴、直线 x=-1 及 x=t 围成图形(如图阴影 部分)的面积为 S,则 S 与 t 的函数关系图可表示为( )

题型七 基本初等函数的函数值大小比较问题 例 7.【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考文科】下列大小关系正确的是(
A. 0.4 ? 3
3 3 0.4

)

? log4 3
0.4

B. log4 3 ? 0.4 ? 3
3

0.4

C. 0.4 ? log4 3 ? 3

D. log4 3 ? 3

0.4

? 0.43

变式训练 1.【成都外国语学校 2014 级高三开学检测试卷】
0.3 设 a ? log? 3, b ? 2 , c ? log 3 sin

?
6

,则() C、 b ? a ? c D、 b ? c ? a

A、 a ? b ? c

B、 c ? a ? b

2.【广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学文】设

a ? log 0.2 2, b ? log 0.2 3, c ? 20.2 , d ? 0.22 ,则这四个数的大小关系是(



A. a ? b ? c ? d B. d ? c ? a ? b C. b ? a ? c ? d D. b ? a ? d ? c

题型八 基本初等函数的定义域,值域,取值范围问题 例 8 【 吉 林 市 普 通 中 学 2013 — 2014 学 年 度 高 中 毕 业 班 摸 底 测 试 文 】 设 函 数

的最小值为

,则实数

的取值范围是()

变式训练 1.【江西省 2014 届高三新课程适应性考试文科数学】已知函数

? x3 , a ? x ? 0 的值域是 [?8,1] ,则实数 a 的取值范围是() f ( x) ? ? 2 ?? x ? 2 x,0 ? x ? 4
A. (??, ?2] B. [?2, 0) C. [?2, ?1] D. {?2}

? ? ? x, 2.【江苏省苏州市 2014 届高三九月测试试卷】已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ? x ? 2 x,
足 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围是______.

x ? 0, x?0

,则满

【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考文科】已知函数 f ( x) ? a ? log2 x 的图象经过 点 A(1,1 ),则不等式 f ( x) ? 1 的解集为______. 3. 【成都外国语学校 2014 级高三开学检测试卷】 函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为____. 4.【安徽省望江四中 2014 届高三上学期第一次月考数学(文) 】函数 f ( x) ? 1og 1 ( x ? 1)
2

的定义域为。 5. 【江西省 2014 届高三新课程适应性考试文科数学】 已知映射 f : A ? B , 其中 A ? [?1,1] ,

B ? R ,对应法则是 f : x ? log 1 (2 ? x2 ) ,对于实数 k ? B ,在集合 A 中不存在原象,则
2

k 的取值范围是.

课堂练习 1. 【 广 东 省 惠 州 市 2014 届 高 三 第 一 次 调 研 考 试 】 定 义 映 射 f : A ? B , 其 中
A ? ?( m, n) m, ? n

?R, B ? R ,已知对所有的有序正整数对 (m, n) 满足下述条件 : ①

f (m,1) ? 1 ,②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ;③ f ( m? 1, n ) ? n ? 1) ? f ( m, n)? f ( m, n ? ,则

f (2, 2) ? .

2.【江西省 2014 届高三新课程适应性考试文科数学】已知 f ( x) ?
f (m) ? 2 ,则 f (?m) 的值是.

( x ? 1)2 ? sin x ,若 x2 ? 1

3. 【河北省唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试文科】 设函数 f ( x) ? x2 ? 23x ? 60 ,
g ( x) ? f ( x)? | f ( x) | ,则 g (1) ? g (2) ? ? ? g (20) ? (
A.0 B.38 C.56 D.112 )

4.【江西省 2014 届高三新课程适应性考试文科数学】如图放置的边长为 1 的正方形 PABC
沿 x 轴滚动,点 B 恰好经过原点.设顶点 P( x, y) 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,则对函数

y ? f ( x) 有下列判断:①函数 y ? f ( x) 是偶函数;②对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ;③函数 y ? f ( x) 在区间 [2,3] 上单调递减;④函数 y ? f ( x) 在区间 [4, 6] 上是减函数.其中判断正确的序号是.

5.【安徽省六校教育研究会 2014 届高三素质测试文】已知函数 f ( x) ?
(??, n) ? (n ? 2, ??) 上为奇函数,则 m ? n ? _________,

x?m 在 2x2 ?1

6.【江苏省泰州中学 2013-2014 学年度第一学期高三数学考试】已知函数
? 3x , x ? [0,1] ? ,当 t ?[0,1] 时, f ( f (t )) ?[0,1] ,则实数 t 的取值范围是 f ( x) ? ? 9 3 ? ? x, x ? (1,3] ?2 2
__________.

3 4 7.【江苏省扬州中学 2013—2014 学年高三开学检测】求“方程 ( ) x ? ( ) x ? 1的解”有如 5 5 3 x 4 x 下解题思路:设 f ( x) ? ( ) ? ( ) ,则 f ( x ) 在 R 上单调递减,且 f (2) ? 1 ,所以原方程 5 5

有唯一解 x ? 2 .类比上述解题思路,方程 x6 ? x2 ? ( x ? 2)3 ? x ? 2 的解集为



课后作业 1.【安徽省六校教育研究会 2014 届高三素质测试文】函数 f ( x) ?

1 ? b(a ? 0) 的图像 x ?a

因酷似汉字的“囧”字,而被称为“囧函数” 。则方程

1 ? x 2 ? 1 的实数根的个数为() x ?1

A、1

B、2

C 、3

D、4

2.【安徽省望江四中 2014 届高三上学期第一次月考数学(文) 】已知函数

? f ( x), x ? 0, x 给出下列命题: f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ? ?? f ( x), x ? 0.
① F ( x) ? f ( x) ; ② 函 数 F ( x) 是 奇 函 数 ; ③ 当 a ? 0 时 , 若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 总 有 成立,其中所有正确命题的序号是( F ( m) ? F ( n)? 0 A.② B.①② C.③ ) D.②③

3. 【 宁 夏 银 川 一 中 2014 届 高 三 年 级 第 一 次 月 考 文 科 】 已 知 函 数 f ( x) 满 足
2 且 f ( x) 是偶函数, 当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x , 若在区间[-1,3] f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,

内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 A. [ , )

的取值范围是( D. ( , )

)

1 1 4 3

B. (0, )

1 2

C. (0, ]

1 4

1 1 3 2

4.【安徽省六校教育研究会 2014 届高三素质测试文】 (本小题满分 12 分) 若定义在 [0,1] 上
的函数 f ( x ) 同时满足:① f ( x) ? 0 ;② f (1) ? 1 ;③若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 1 , 则 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.则称函数 f ( x ) 为“梦函数”. (1)试验证 f ( x) ? 2 ?1 在区间 [0,1] 上是否为“梦函数” ;
x

(2)若函数 f ( x ) 为“梦函数” ,求 f ( x ) 的最值.

5.【安徽省望江四中 2014 届高三上学期第一次月考数学(文) 】 (本小题共 12 分)已知
函数 f ( x) ? ? 2log 4 x ? 2 ? ? log 4 x ?

? ?

1? ?。 2?

(1)当 x ? ? 2,4? 时,求该函数的值域;

(2)若 f ( x) ? m log 4 x 对于 x ? ? 4,16? 恒成立,求 m 有取值范围。

6.【浙江省绍兴市第一中学 2014 届高三上学期回头考】已知 a ? 0, a ? 1 ,设 p :函数
曲线 y ? x 2 ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的 y ? loga ? x ? 1? 在 x ? ? 0, ?? ? 上单调递减,q : 两点。若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求 a 的取值范围。

7.【广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(文) 】已知函数 f ( x) 的图像与函数 h(x)
1 =x+ +2 的图像关于点 A(0,1)对称.

x

(1) 求 f ( x) 的解析式; (2) 若 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax,且 g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围.

高考真题链接
? x2 ? 1 x ? 1 ? 1. (2012 年高考(江西文) )设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (3)) ? x ? 1 ? ?x
A. ( )

1 5

B.3

C.

2 3

D.

13 9

2. (2012 年高考(湖北文) ) 已知定义在区间 (0, 2) 上的函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,则

y ? ? f (2 ? x) 的图像为

?1, x ? 0 ? ? ? ?1, ( x为有理数) 3. (2012 年高考 (福建文) ) 设 f ( x) ? ?0, ( x ? 0) , g ( x ) ? ? ,则 f ( g (? )) 0, ( x 为无理数 ) ? ? ? ? ??1, ( x ? 0)
的值为

B.0 C. ?1 D. ? 4. (2012 年高考(陕西理) )下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A.1 A. y ? x ? 1
5. (2012 年高考(安徽文) )





B. y ? ? x

2

C. y ?

1 x

D. ( )

log2 9 ? log3 4 ?
1 2
C. ? D. ?

A.

1 4

B.

6. (2012 年高考(广东理) )(函数)下列函数中,在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数的是





A. y ? ln ? x ? 2?

B. y ? ? x ? 1

?1? C. y ? ? ? ?2?

x

D. y ? x ?

1 x

7 .( 2012 年 高 考 ( 重 庆 文 )) 设 函 数

f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, g ( x) ? 3x ? 2, 集 合
( )

M ? {x ? R | f ( g ( x)) ? 0}, N ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M ? N 为
A. (1, ??) B.(0,1) C.(-1,1)

D. (??,1) )

8. (2012 年高考 (天津文) ) 下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为 (

A. y ? cos 2 x

B. y ? log 2 | x |

C. y ?

e x ? e? x 2

D. y ? x ? 1
3

9. (2012 年高考(四川文) )函数

y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是

10 . (2012 年高考(山东文) )函数 f ( x ) ?

1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)





A. [?2, 0) ? (0, 2]

B. (?1, 0) ? (0, 2]

C. [?2, 2]

D. (?1, 2] ( D. y ? ln x2 ? 1 )

11. (2012 年高考(广东文) )(函数)下列函数为偶函数的是

A. y ? sin x

B. y ? x3

C. y ? e x

12. (2012 年高考(安徽文) )设集合 A ? {x

?3 ? 2x ?1 ? 3} ,集合 B 是函数 y ? lg( x ? 1) 的
( )

定义域;则 A ? B ? A. (1, 2) B. [1, 2] C. [?, ?) D. (?, ?]

13 . ( 2012 年 高 考 ( 江 西 理 ) ) 下 列 函 数 中 , 与 函 数 y=

3

1 定义域相同的函数为 x
( )

sin x x 8 14 . ( 2012 年高考(湖南理) ) 已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 : y= (m>0), l1 与函数 2m ? 1
A.y= B.y= C.y=xe
x

1 sin x

1nx x

D.

y ? log2 x 的图像从左至右相交于点 A,B , l2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交
于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时,

b 的最小值为 a
( )

A. 16 2

B. 8 2

C. 8 4

D. 4 4


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