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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函数的奇偶性学案 理


"吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习 函数 的奇偶性学案 理 "
一、知识梳理: (阅读教材必修 1 第 33 页—第 36 页) 1、 函数的奇偶性定义:

2、 利用定义判断函数奇偶性的步骤 (1) 首先确定函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称; (2) 确定 与 的关系;

(3) 作出相应结论 3、 奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; (3) 为偶函数 的定义域包含 0,则

(4)若奇函数

(5)判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理, 但必须注意使定义域不受影响; (6)牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性; (7)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: 4、一些重要类型的奇偶函数 (1) 、f(x)= f(x)= (a>0,a (a>0,a ) 为偶函数; ) 为奇函数;

(2) 、f(x)=

(3) 、f(x)=

/6

1

(4) 、f(x)=x+ (5) 、f(x)=g(|x|)为偶函数; 二、题型探究 [探究一]:判断函数的奇偶性 例 1:判断下列函数的奇偶性 (1) 、f(x)=x (x )

(2) 、f(x)=
3

(x



(3) 、 y ? x , ( x ? 0)

例 2: 函数 f(x)的定义域为 R,且对任意的 a、b (1) 、判断 f(x)的奇偶性,并证明。 (2) 、若 f(-3)=a,用 a 表示 f(12)

,f(a+b) = f(a)+f(b),

例 4:已知函数 f(x)=

- -

若 f(a)=b ,则 f(-a) =

/6

2

三、方法提升 1、 判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇 偶性的定义经过化、整理、将 f(x)与 f-(x)比较,得出结论。 2、 利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题,转化到研究部分(一半)区 间上,是简化问题的一种途径。 3、 函数的奇偶性常与函数的其它性质及不等式结合 出题, 运用函数的奇偶性就是运 用函数的对称性。 4、 要善于发现函数特征,图像特征,运用数形结合,定向转化,分类讨论思想,整 体代换的手段,从而简化解决问题的程序,既快又准。 四、反思感悟

五、课时作业 1. 【2014 全国 1 高考理第 3 题】 设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R , 且 f ( x) 是奇函数,

g ( x) 是偶函数,则下列结论中正确的是(
A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C.. f ( x) | g ( x) | 是奇函数



B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

2.(2010·新课标全国)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x -8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}= ( ) A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2}

3

3.(2010·郑州)定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意 α ,β ∈R,总有 f(α +β )
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-[f(α )+f(β )]=2010,则下列说法正确的是( A.f(x)-1 是奇函数 C.f(x)-2010 是奇函数

)

B.f(x)+1 是奇函数 D.f(x)+2010 是奇函数

4 、(2010·江苏 ) 设函数 f(x) = x(e + ae )(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值 为 ________.

x

-x

5.已知函数 f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且 f(0)=2,则 f(4)=________.

6.对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为________ ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),则 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数 ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.

-2 +b 7.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a、b 的值; (2)若对任意的 t∈R, 不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立, 求 k 的取值范围. 分析:(1)由 f(0)=0 可求得 b,再由特殊值或奇函数定义求得 a;(2)先分析函 数 f(x)的单调性,根据单调性去掉函数符号 f,然后用判别式解决恒成立问题. 8.设函数 f(x)的定义域为 R,对于任意的实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),
/6 4
2 2

x

当 x>0 时,f(x)<0,求证:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.

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5

课时作业部分题提示:

1-2 1 1 (2)由(1)知 f(x)= , x+1=- + x 2+2 2 2 +1 易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数,从而不等式:

x

f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2 -k)=f(k-2t2),
因 f(x)为减函数,由上式推得:t -2t>k- 2t , 1 2 即对 t∈R 有 :3t -2t-k>0,从而 Δ =4+12k<0? k<- . 3 证明:(1)令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x),∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)设 x1、x2∈(-∞,+∞)且 x1<x2,则 x2-x1>0, ∵当 x>0 时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0.又∵对于任意的实数 x,y 都有 f(x+
2 2

y)=f(x)+f(y)且 f(x)为奇函数,∴f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)= f(x2)-f(x1).
∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.

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