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第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式


数学 第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式 01 诊断自测 02 考点一 同角三角函数 基本关系式的 应用 例1 训练1 03 考点二 诱导公式的应用 例2 训练2 04 考点三 诱导公式、同角三 角函数关系式的活 用 例3 训练3 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.( (2)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角.( ) ) π (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的奇 2 数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( ) 1 1 (4)若 sin(kπ-α)= (k∈Z),则 sin α= .( ) 3 3 解析 (1)对于 α∈R,sin(π+α)=-sin α 都成立. 1 (4)当 k 为奇数时,sin α= , 3 1 当 k 为偶数时,sin α=- . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 3 考点一 同角三角函数基本关系式的应用 1 5π 3π [例 1] (1)(2018· 兰州测试)已知 sin αcos α= ,且 <α< , 8 4 2 则 cosα-sinα 的值为( 解析(1) ∵5π<α<3π, 3 3 3 3 )A.- B. C.- D. 2 2 4 4 4 2 ∴cos α<0, sin α<0 且 cos α>sin α, ∴cos α-sin α>0. 1 3 又(cos α-sin α) =1-2sin αcos α=1-2× = , 8 4 3 ∴cos α-sin α= . 2 2 判断符号是本 题关键所在 考点一 同角三角函数基本关系式的应用 3 [例 1] (2)(2016· 全国Ⅲ卷)若 tan α = ,则 cos2α +2sin 2α =( 4 64 48 16 A. B. C.1 D. 25 25 25 3 解析(2) tan α= ,则 cos2α+2sin 2α 4 cos2α+2sin 2α = cos2α+sin2α ) 最大特点是:关于sinx、 cosx的二次齐次式 1+4tan α 64 = = . 1+tan2α 25 答案 (1)B (2)A 考点一 同角三角函数基本关系式的应用 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 sin α =tan α 可以实现角 α 的弦切互化. cos α 2.应用公式时注意方程思想的应用: 对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子, 利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知一求二. 3. 注意公式逆用及变形应用: 1=sin2α+cos2α, sin2α=1-cos2α, cos2α=1-sin2α. 考点一 同角三角函数基本关系式的应用 1 [训练 1] (1)若 3sin α+cos α=0,则 2 的值为( cos α+2sin αcos α 10 A. 3 5 B. 3 2 C. 3 D.-2 ) 解析 (1)3sin α+cos α=0? 1 cos α≠0?tan α=- , 3 cos2α+sin2α 1 = 2 cos α+2sin αcos α cos2α+2sin αcos α 1+tan2α = = 1+2tan α ? 1? ? ?2 - 1+? ? ? 3? 10 = . 2 3 1-

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