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广州市六校2012届高三第一次联考数学(理数)


广州市六校 届高三第一次联考数学 理数) 数学( 广州市六校 2012 届高三第一次联考数学(理数)
第 Ⅰ 卷
一、选择题: 选择题: 1.设 U = R , A = {x | x > 0} , B = {x | x > 1} ,则 A ∩ CU B = A. {x | 0 ≤ x < 1} 2.已知 sin θ = B. {x | 0 < x ≤ 1} C. {x | x < 0} D. {x | x > 1}

3 ,且 θ 在第二象限,那么 2θ 在 4
B.第二象限
2

A.第一象限

C.第三象限

D.第四象限

3.已知命题 p : ?x ∈ R, x ? x + A. ?x ∈ R, x ? x +
2

1 <0 4 1 2 C. ?x ∈ R, x ? x + < 0 4
1 2 3

1 ≥ 0 ,则命题 p 的否定 ?p 是 4 1 2 B. ?x ∈ R, x ? x + ≤ 0 4 1 2 D. ?x ∈ R, x ? x + ≥ 0 4

4.已知 a = 2 , b = log

3 ,运算原理如右图所示,则输出的值为
B. 2

2 2 2 ?1 C. 2
A. 5.函数 f ( x ) = log 2 x ? A. ? 0,

D.

2 +1 2

? ?

1? ? 2?

1 的零点所在区间为 x ?1 ? B. ? ,1? C. (1, 2 ) ?2 ?

D. ( 2,3)

6.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ....

7.在△ OAB 中, OA = a, OB = b , OD 是 AB 边上的高,若 AD = λ AB ,则实数 λ 等于

uuu r

r uuu r

r

r r r a? b?a A. r r 2 | a?b|

(

)

r r r a? a ?b B. r r 2 | a?b|

(

)

r r r a? b?a C. r r | a?b|

(

)

r r r a? a ?b D. r r | a?b|

(

)

8.已知集合 A = {1, 2,3, 4} ,函数 f ( x ) 的定义域、值域都是 A ,且对于任意 i ∈ A , f ( i ) ≠ i ,设 a1 ,a2 ,

a2 a3 a4 ? ? a1 a3 , a4 是 1,2,3,4 的任意一个排列,定义数表 ? ? ,若两个数表对应位 f ( a1 ) f ( a2 ) f ( a3 ) f ( a4 ) ? ?
置上至少有一个数不同,就说这是两个不同的数表,那么满足条件的不同的数表共有 A.216 个 B.108 个 C.48 个 D.24 个

1

小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题:本大题共 小题, 必做题: (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题是必做题,每道试题考生都必须做答. 、 、 、 、 题是必做题,每道试题考生都必须做答. . 9.设 i 为虚数单位,复数 z 满足 iz = 1 ? i ,则 z =

1? ? 4 10.在二项式 ? x 2 + ? 的展开式中,含 x 项的系数为_____________. (用数字作答) x? ?
11. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶 员血液酒精浓度在 20 80 mg / 100mL (不含 80)之 间, 属于酒后驾车; 血液酒精浓度在 80 mg / 100mL (含 80)以上时,属醉酒驾车。 据有关调查,在一周内,某地区查处酒后驾车和醉 酒驾车共 500 人.如图是对这 500 人血液中酒精含量进行 检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人 数约为__________. 12.函数 f ( x ) = 2 x + 1 ? x ? 4 的最小值是 .

5

13.如果在一次试验中,某事件 A 发生的概率为 p ,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生偶数次的 概率为 . 选做题: 是选做题,考生只能从中 做一题 只能从中选 (二)选做题:第 14、15 题是选做题,考生只能从中选做一题. 、 14. 坐标系与参数方程选做题 (坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题)

1 ? ? x = ?2 2 + 2 t ? x = 1 + cos θ ? 曲线 C1 : ? ( θ 为参数)上的点到曲线 C2 : ? (t为参数) ? y = sin θ ? y = 1? 1 t ? 2 ?
上的点的最短距离为 . 15. 几何证明选讲选做题) (几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图,已知: △ ABC 内接于 O ,点 D 在 OC 的延长线上, AD 是 O 的切线,若 ∠B = 30° , AC = 1 ,则 AD 的长为



小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = cos x + 3 sin x cos x ?
2

(Ⅰ)若 x ∈ ? 0,

? ?

π?
2? ?

1 . 2

,求 f ( x ) 的最大值及取得最大值时相应的 x 的值;

(Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 f ?

? A? ? = 1 ,b=l, c = 4 ,求 a 的值. ?2?

2

17. (本题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = n .数列 {bn } 为等比数列,且 b1 = 1 , b4 = 8 .
2

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {cn } 满足 cn = abn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

18. (本题满分 13 分)
o 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 为 直 角 梯 形 , AD // BC , ∠BAD = 90 , PA ⊥ 底 面 ABCD ,

PA = AD = AB = 2 BC , M , N 分别为 PC , PB 的中点.
(Ⅰ)求证: PB ⊥ DM ; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值.

19. (本小题满分 14 分) 为了让更多的人参与 2011 年在深圳举办的“大运会” ,深圳某旅游公司向国内外发行总量为 2000 万张的 旅游优惠卡,其中向境外人士发行的是旅游金卡(简称金卡) ,向境内人士发行的是旅游银卡(简称银卡) 。 现有一个由 36 名游客组成的旅游团到深圳参观旅游,其中 中有

3 是境外游客,其余是境内游客。在境外游客 4

1 2 持金卡,在境内游客中有 持银卡. 3 3

(Ⅰ)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (Ⅱ)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 X ,求 X 的分布列及 数学期望 EX .

3

如图,已知抛物线 C 的顶点在原点 O ,焦点为 F ( 0,1) . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)在抛物线 C 上是否存在点 P ,使得过点 P 的直线交抛物线 C 于另一点 Q , 满足 PF ⊥ QF ,且

20. (本小题满分 14 分)

PQ 与抛物线 C 在点 P 处的切线垂直? 若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分)

设函数 f ( x ) = ln x - px + 1 ( p > 0 ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值点,并判断其为极大点还是极小值点; (Ⅱ)若对任意的 x>0,恒有 f ( x ) ≤ 0 ,求 p 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 2n 2 ? n ? 1 + 2 +L + 2 < (n ∈ N , n ≥ 2). . 2(n + 1) 22 3 n

4

届高三第一次联考数学 理数)参考答案 数学( 广州市六校 2012 届高三第一次联考数学(理数)参考答案
一、 B C A D C C B A 12. ? 二、 9. ?1 ? i ; 10. 10; 11.75;

9 ; 2

13.

1? n 1+ 1? 2 p) ? ? ( ? 2

选做题: 选做题: 14. 1; 15. 21. (本小题满分 14 分)

3

设函数 f ( x ) = ln x - px + 1 ( p > 0 ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值点,并判断其为极大点还是极小值点; (Ⅱ)若对任意的 x>0,恒有 f ( x ) ≤ 0 ,求 p 的取值范围;

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 2n 2 ? n ? 1 (Ⅲ)证明: 2 + 2 + L + < (n ∈ N , n ≥ 2). . 2(n + 1) 2 3 n2 解: (1)Q f ( x) = ln x ? px + 1,∴ f ( x)的定义域为(0,+∞) , 1 1 ? px f ′( x) = ? p = , …………2 分 x x 1 ∴ 令 f ′( x) = 0, x = ∈ (0,+∞), f ′( x)、f ( x)随x 的变化情况如下表: p 1 1 1 (0, ) ( , +  ) x p p p f '( x) + 0 - f ( x) ↗ 极大值 ↘ 1 从上表可以看出:当 p>0 时, f ( x) 有唯一的极大值点 x = . …………5 分 p 1 1 1 (Ⅱ) x= 处取得极大值 f ( ) = ln ,此极大值也是最大值, p p p 1 1 ∴ p ≥1 要使 f ( x) ≤ 0 恒成立,只需 f ( ) = ln ≤ 0 , p p ∴p 的取值范围为[1,+∞ ) . …………9 分 (Ⅲ)令 p=1,由(Ⅱ)知, ln x ? x + 1 ≤ 0,∴ ln x ≤ x ? 1, n ∈ N , n ≥ 2 Q 2 2 ∴ ln n ≤ n ? 1 , ln n 2 n 2 ? 1 1 ∴ 2 ≤ = 1? 2 …………11 分 2 n n n ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 1 1 1 ∴ 2 + 2 +L + ≤ (1 ? 2 ) + (1 ? 2 ) + L + (1 ? 2 ) 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 = (n ? 1) ? ( 2 + 2 + L + 2 ) 2 3 n 1 1 1 < (n ? 1) ? ( + +L+ ) 2 × 3 3× 4 n(n + 1) 1 1 1 1 1 1 = (n ? 1) ? ( ? + ? + L + ? ) 2 3 3 4 n n +1 1 1 2n 2 ? n ? 1 = (n ? 1) ? ( ? )= 2 n +1 2(n + 1)
∴结论成立. …………14 分

5

(Ⅰ) f ( x ) = cos x + 3 sin x cos x ? 三、 16.解:
2

1 2
……………4 分

1 + cos 2 x 3 1 π? ? + sin 2 x ? = sin ? 2 x + ? . 2 2 2 6? ? π π π 7π ∵ 0 ≤ x ≤ ,∴ ≤ 2 x + ≤ , 2 6 6 6 1 1 π? ? ∴ ? ≤ sin ? 2 x + ? ≤ 1 , 即 ? ≤ f ( x) ≤ 1 . 2 2 6? ? =
∴ f ( x )m a n = 1 ,此时 2 x + (Ⅱ)∵ f ?

π
6

=

π
2

,∴ x =

π
. ……………8 分

π? ? A? ? ? = sin ? A + ? = 1 , 6? ?2? ? π
6 < A+

6

在 ?ABC 中,∵ 0 < A < π , ∴

π
6

<

6 2 3 2 2 2 又 b = 1 , c = 4 ,由余弦定理得 a = 4 + 1 ? 2 × 4 × 1cos 60° = 13 , …………………………………………………12 分 故 a = 13 . 2 17.解: 解 (Ⅰ)∵ 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n = n ,
∴ 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = n 2 ? (n ? 1) 2 = 2n ? 1 . 当 n = 1 时, a1 = S1 = 1 亦满足上式, 故 an = 2n ? 1 ( n ∈ N ) .
*

A+

π

=

π

,A=

π

7π , 6
……………10 分



……………2 分

……………4 分

又数列 {bn } 为等比数列,设公比为 q , ∵ b1 = 1 , b4 = b1q = 8 , ∴ q = 2 .
3

……………6 分 ……………8 分

∴ bn = 2

n ?1

(n∈ N ) .
*
n

(Ⅱ) cn = abn = 2bn ? 1 = 2 ? 1 .

……………10 分

Tn = c1 + c2 + c3 + L cn = (21 ? 1) + (22 ? 1) + L + (2n ? 1) = (21 + 2 2 + L 2n ) ? n =
所以 Tn = 2
n +1

?2?n. ………………13 分 18.解: (Ⅰ)解法 1:∵ N 是 PB 的中点, PA = AB ,∴ AN ⊥ PB . ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ,所以 AD ⊥ PA . 又 AD ⊥ AB , PA ∩ AB = A ,∴ AD ⊥ 平面 PAB , AD ⊥ PB . 又 AD ∩ AN = A ,∴ PB ⊥ 平面 ADMN . ∵ DM ? 平面 ADMN ,∴ PB ⊥ DM . ………………6 分 解法 2:如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 BC = 1 , ? 1 ? 可得, A ( 0, 0, 0 ) , P ( 0, 0, 2 ) , B ( 2, 0, 0 ) , C ( 2,1, 0 ) , M ? 1, ,1? , D ( 0, 2, 0 ) . ? 2 ? uuu uuuu r r 3 ? ? 因为 PB ? DM = ( 2, 0, ?2 ) ? ? 1, ? ,1? = 0 ,所以 PB ⊥ DM . ………………6 分 2 ? ?
(Ⅱ)解法 1:取 AD 中点 Q ,连接 BQ 和 NQ ,则 BQ / / DC ,又 PB ⊥ 平面 ADMN ,∴ CD 与平面

2(1 ? 2n ) ?n. 1? 2

ADMN 所成的角为 ∠BQN .

6

设 BC = 1 ,在 Rt ?BQN 中,则 BN =

2 , BQ = 5 ,故 sin ∠BQN =
10 . ……………13 分 5

10 . 5

所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为

解法 2:因为 PB ? AD = ( 2, 0, ?2 ) ? ( 0, 2, 0 ) = 0 .

uuu uuur r

所以 PB ⊥ AD ,又 PB ⊥ DM ,所以 PB ⊥ 平面 ADMN ,

uuu uuur r

因此 PB, DC 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角.

uuu uuur r uuu uuur r PB ? DC 10 r 因为 cos PB, DC = uuu uuur = . 5 | PB || DC |
所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为

10 . 5

………………13 分

19.解: (Ⅰ)由题意得,境外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;境内游客有 9 人,其中 6 人持银卡。 , 设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” 事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡” , 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡” ..w.w.

P ( B ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) =
1 2 1 1 1 C9C21 C9C6C21 + 3 3 C36 C36

=

9 27 36 . + = 34 170 85 36 . …6 分 85

所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3

P ( X = 0) = P ( X = 2) =

C60C33 1 = , C93 84

P ( X = 1) =

1 C6C32 3 = C93 14

1 C62C3 15 C 3 15 = , P ( X = 3) = 6 = , 3 3 C9 28 C9 21

………10 分

所以 X 的分布列为 0 X

1

2

3

1 3 15 5 84 14 28 21 1 3 15 5 故 EX = 0 × + 1× + 2 × + 3 × = 2 . ……………………14 分 84 14 28 21 20. (Ⅰ)解:设抛物线 C 的方程是 x 2 = 2 py ,由于焦点为 F ( 0,1) ,

P

p = 1 ,即 p = 2 , 2 故所求抛物线 C 的方程为 x 2 = 4 y .


…………………4 分

(Ⅱ)解:设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,则抛物线 C 在点 P 处的切线斜率为 k = y ′ |x = x1 = 切线方程是: 直线 PQ 的方程是

x1 , 2

y=

x1 x ? y1 , 2 2 y = ? x + 2 + y1 . x1

…………………6 分

将上式代入抛物线 C 的方程,得

7

x2 +
故 x1 + x2 = ?

8 x ? 4 ( 2 + y1 ) = 0 , x1
…………………8 分

8 , x1 ? x2 = ?8 ? 4 y1 , x1 8 1 2 4 ∴ x2 = ? ? x1 , y2 = x2 = + y1 + 4 。 x1 4 y1 uuu r uuu r 又 FP = ( x1 , y1 ? 1) , FQ = ( x2 , y2 ? 1) , uuu uuu r r ∴ FP ? FQ = x1 x2 + ( y1 ? 1)( y2 ? 1)

= x1 x2 + y1 y2 ? ( y1 + y2 ) + 1

?4 ? ?4 ? = ?4 ( 2 + y1 ) + y1 ? + y1 + 4 ? ? ? + 2 y1 + 4 ? + 1 ? y1 ? ? y1 ?

( y ? 4 )( y1 + 1) = 1
uuu uuu r r

2

…………………12 分

令 FP ? FQ = 0 ,得 y1=4, 此时, 点 P 的坐标是 ( ±4, 4 ) . 经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点 P 存在, 其坐标为 ( ±4, 4 ) . 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = ln x - px + 1 ( p > 0 ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值点,并判断其为极大点还是极小值点; (Ⅱ)若对任意的 x>0,恒有 f ( x ) ≤ 0 ,求 p 的取值范围; …………………14 分

y1

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 2n 2 ? n ? 1 + 2 +L + 2 < (n ∈ N , n ≥ 2). . 2(n + 1) 22 3 n 解: (1)Q f ( x) = ln x ? px + 1,∴ f ( x)的定义域为(0,+∞) , 1 1 ? px f ′( x) = ? p = , …………2 分 x x 1 令 f ′( x ) = 0, x = ∈ (0,+∞), f ′( x )、f ( x )随x 的变化情况如下表: ∴ p 1 1 1 (0, ) ( , +  ) x p p p f '( x) + 0 - f ( x) ↗ 极大值 ↘ 1 从上表可以看出:当 p>0 时, f ( x ) 有唯一的极大值点 x = . …………5 分 p 1 1 1 (Ⅱ) x= 处取得极大值 f ( ) = ln ,此极大值也是最大值, p p p 1 1 要使 f ( x ) ≤ 0 恒成立,只需 f ( ) = ln ≤ 0 , ∴ p ≥1 p p ∴p 的取值范围为[1,+∞ ) . …………9 分 (Ⅲ)令 p=1,由(Ⅱ)知, ln x ? x + 1 ≤ 0,∴ ln x ≤ x ? 1, n ∈ N , n ≥ 2 Q
(Ⅲ)证明: ∴ ln n ≤ n ? 1 ,
2 2

ln n 2 n 2 ? 1 1 ∴ 2 ≤ = 1? 2 2 n n n

…………11 分

8



ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 1 1 1 + 2 + L + 2 ≤ (1 ? 2 ) + (1 ? 2 ) + L + (1 ? 2 ) 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 = (n ? 1) ? ( 2 + 2 + L + 2 ) 2 3 n 1 1 1 < (n ? 1) ? ( + +L+ ) 2 × 3 3× 4 n(n + 1) 1 1 1 1 1 1 = (n ? 1) ? ( ? + ? + L + ? ) 2 3 3 4 n n +1 1 1 2n 2 ? n ? 1 = (n ? 1) ? ( ? )= 2 n +1 2(n + 1)
…………14 分

∴结论成立.

9


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