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高中数学第一章集合1-1第2课时集合的表示学业分层测评苏教版必修1

高中数学第一章集合 1-1 第 2 课时集合的表示学业分层测评 苏教版必修 1
(建议用时:45 分钟) [学业达标]
一、填空题 1.已知 x∈N,则方程 x2+x-2=0 的解集用列举法可表示为 ________. 【解析】 x2+x-2=0 的根为 x=1 或 x=-2,又 x∈N,∴x=1. 【答案】 {1} 2.已知 A={-1,-2,0,1},B={x|x=|y|,y∈A},则 B= ________. 【解析】 当 y=-1,-2,0,1 时对应的 x=1,2,0,1,故 B= {1,2,0}. 【答案】 {0,1,2} 3.已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素 的个数是________. 【解析】 列表如下: 可见 B 中元素有 0,1,2,-1,-2. 【答案】 5 4.下列各组集合中,满足 P=Q 的有________.(填序号) ①P={(1,2)},Q={(2,1)};
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②P={1,2,3},Q={3,1,2}; ③P={(x,y)|y=x-1,x∈R},Q={y|y=x-1,x∈R}. 【解析】 ①中 P,Q 表示的是不同的两点坐标; ②中 P=Q;③中 P 表示的是点集,Q 表示的是数集. 【答案】 ② 5.已知 x,y 为非零实数,则集合 M=可简化为________. 【解析】 当 x>0,y>0 时,m=3, 当 x<0,y<0 时,m=-1-1+1=-1. 若 x,y 异号,不妨设 x>0,y<0, 则 m=1+(-1)+(-1)=-1. 因此 m=3 或 m=-1,则 M={-1,3}. 【答案】 {-1,3} 6.设集合 A={4x,x-y},B={4,7},若 A=B,则 x+y= ________. 【解析】 ∵A=B,∴或解得或 ∴x+y=-5 或-. 【答案】 -5 或-12 7.若集合 A={-1,2},集合 B={x|x2+ax+b=0},且 A=B,则 a+b 的值为________. 【解析】 ∵A=B,∴-1,2 是方程 x2+ax+b=0 的根, 由韦达定理得∴a=-1,b=-2, ∴a+b=-3. 【答案】 -3
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8.已知集合 A=,B={x2,x+y,0},若 A=B,则 x2 017+y2

018=________,A=B=________.

【解析】 由题知 x≠0,∴y=0,则 A={x,0,1},B={x2,x,0},

∴x2=1,∴x=±1,y=0.

当 x=1 时,A 中有两个 1,与元素的互异性矛盾,

当 x=-1 时,符合题意,此时 A=B={-1,0,1},

x2 017+y2 018=-1.

【答案】 -1 {-1,0,1}

9.用描述法表示下列集合:

(1)











_________________________________________________;

(2) 被 3 除 余 2 的 正 整 数 的 集 合 :

________________________________;

(3) 平 面 直 角 坐 标 系 中 坐 标 轴 上 的 点 组 成 的 集 合 :

_________________.

【答案】 (1){x|x=2k,k∈N*}

(2){x|x=3k+2,k∈N}

(3){(x,y)|xy=0}

二、解答题

10.试分别用列举法和描述法表示下列集合.

(1)方程 x2-9=0 的所有实数根组成的集合;

(2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.

【解】 (1)x2-9=0,∴x=±3,

列举法表示为{-3,3},

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描述法表示为{x|x2-9=0}. (2)大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18,19. 列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}, 描述法表示为{x|10<x<20,x∈Z}.
[能力提升] 1.若 A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示集合 B 为________. 【解析】 ∵t∈A,∴t2 可取值为 4,9,16,∴B={4,9,16}. 【答案】 {4,9,16} 2.设集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},且 A=B,则 a2 016 +b2 016=________. 【解析】 由题知 (1)或 (2) 解(1)得此时,A 中的三个元素均为 1,这与互异性矛盾. 解(2)得 a=-1 或 1(舍),此时 b=0, ∴a2 016+b2 016=1. 【答案】 1 3.设集合 M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q= {x|x = 3k - 1 , k∈Z} , 若 a∈M , b∈P , c∈Q , 则 a + b - c∈________(M,P,Q 中的一个). 【解析】 依据题意设 a=3k,b=3t+1,c=3m-1(k,t,m∈Z), 则 a+b-c=3(k+t-m)+2=3(k+t-m+1)-1,所以该元素具有集 合 Q 中元素的特征性质,应属于集合 Q. 【答案】 Q 4.已知集合 A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y},且 A=B,求 x
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与 y 的值. 【解】 ∵0∈B,A=B,∴0∈A. 若 x=0,则 A={0,0,-y}不成立, ∴x≠0. 又 y∈B,∴y≠0,∴只能 x-y=0. ∴x=y. 从而 A={0,x,x2},B={0,|x|,x}. ∴x2=|x|.∴x=0 或 x=1 或 x=-1. 经验证 x=0,x=1 均不合题意, ∴x=-1,即 x=-1,y=-1 适合. 5.已知集合 A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}. (1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A 中最多有一个元素,求 a 的取值范围; (3)若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围; (4)若 A=?,求 a 的取值范围. 【解】 (1)当 a=0 时,原方程变为 2x+1=0, 此时 x=-,符合题意; 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 为一元二次方程,Δ =4-4a=0,
即 a=1 时,原方程的解为 x=-1,符合题意.故当 a=0 或 a=1 时, 原方程只有一个解,此时 A 中只有一个元素.
(2)若 A 中最多有一个元素,则 A 中可能无任何元素,或者只有一 个元素,由(1)知当 a=0 时只有一个元素,当 a≠0 时,方程 ax2+2x +1=0 为一元二次方程,Δ =4-4a<0,即 a>1 时,A 为?;Δ =0,即 a=1 时,方程有两个相等的根,A 中有一个元素;故当 a=0 或 a≥1
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时 A 中最多有一个元素. (3)A 中至少有一个元素,即 A 中有一个或两个元素.由 Δ >0,得
a<1,结合(1)可知,a≤1. (4)A=?时,由(2)知,a>1.
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