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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷一) 理科数学
样本数据 x1 , x 2 ,? x n 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

1 V ? Sh 3
其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式
[来源:Z。xx。k.Com]

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径 第I卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? x x ? 2, x ? R , B ? x (A) ? 0, 2 ? (2)已知复数 z ? (B) ? 0, 2 ?

?

?

?

x ? 4, x ? Z ,则 A ? B ?
(D) ?0,1, 2?

?

(C) ?0, 2?

?1 ? 3i ?
(B)

3 ?i

2

, z 是 z 的共轭复数,则 z ? z

(A)

1 4

1 2

(C)1

(D)2

(3)曲线 y ?

x 在点 ? ?1, ?1? 处的切线方程为 x?2
(B) y ? 2 x ? 1 (C) y ? ?2 x ? 3 (D) y ? ?2 x ? 2

(A) y ? 2 x ? 1

(4)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

?

2, ? 2 ,角速度为 1,那么点 P

?

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(5)已知命题

p1 :函数 y ? 2 x ? 2? x 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2 x ? 2? x 在 R 为减函数,
则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ? p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ? p2 ? 中,真命题是 (A) q1 , q3 (B) q2 , q3 (C) q1 , q4 (D) q2 , q4

(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒 ,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 (A)100 (B)200 (C)300 (D)400

(7)如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于

5 4 4 (B) 5 6 (C) 5 5 (D) 6
(A)
3 (8)设偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? x ? 8 ? x ? 0 ? ,则 x f ? x ? 2 ?>0 ?

?

?

(A) x x <- 2或x>4 (C) x x <0或x>6

?

?

(B) x x <0或x>4

?

? ?
?

?

?

(D) x x <- 2或x>2

?

1 ? tan 4 2 ? (9 )若 cos ? ? ? , ? 是第三象限的角,则 ? 5 1 ? tan 2 1 1 (A) ? (B) (C)2 (D) ?2 2 2
(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 (A) ? a
2

(B) ? a

7 3

2

(C)

11 2 ?a 3

(D) 5? a

2

? lg x , 0<x ? 10, ? (11)已知函数 f ? x ? ? ? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? c ? ,则 abc 的取 ? x ? 6, x>10 ? ? 2
值范围是 (A) ?1,10 ? (B) ? 5, 6 ? (C) ?10,12 ? (D) ? 20, 24 ?

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(12)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中 点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 3 6

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 5

(C)

x2 y 2 ? ?1 6 3

(D)

x2 y 2 ? ?1 5 4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答。第(22 ) 题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分

?

1

0

f ( x)dx ,先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x1 , x2 …, xN 和 y1 , y2 …, y N ,由此得到 N

个点( x1 , y1 ) (i=1,2,…,N),在数出其中满足 y1 ≤ f ( x1 ) ( (i=1,2,…,N) )的点数 N1 ,那么由随机 模拟方法可得积分

?

1

0

f ( x)dx 的近似值为

. .(写出三种) B(2,1).则圆 C 的方程为 .

(14)正视图为一个三角形的几何体可以是 (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 (16)在 ?ABC 中, 为边 BC 上一点, D BD=

1 DC, ?ABC =120°, AD=2, ?A 若 D C 2

的面积为 3 ? 3 , ?BAC = 则

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 l2 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? an ? 3?2 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式: (Ⅱ)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . (18)(本小题满分 12 分) 如圈,己知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD, AC ⊥BD 垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 中 点. (Ⅰ) 证明:PE⊥BC (Ⅱ)若 ?APB = ?ADB =60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成 角的正弦值.
2 n ?1

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(19)(本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结 果如下:

(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老 年人的比例?说明理由.

(20)(本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) 的左、 右焦点, F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相较于 A,B 两点, 过 a 2 b2

且 AF2 , AB , BF2 成等差数列. (Ⅰ)求 E 的离心率; (Ⅱ)设点 P(0,-1)满足 PA ? PB ,求 E 的方程.

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= e ? 1 ? x ? ax .
x 2

(Ⅰ)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围.
[来源:Z*xx*k.Com]

[来源:Zxxk.Com]

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请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔 、 、 在答题卡上把所选题目的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲

AC ? 如图,已知圆上的弧 ? = BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:
(Ⅰ) ?ACE = ?BCD ; (Ⅱ) BC ? BE ? CD ;
2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ? (Ⅰ)当 ? =

? x ? 1 ? t cos ? . ? x ? cos ? , (t 为参数) ,圆 C2 : ? ? y ? t sin ? , ? y ? sin ? ,

( ? 为参数),

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(Ⅱ)过坐标原 点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨迹的参数方程, 并指出它是 什么曲线 ;

[来源:Z§xx§k.Com]

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 设函数 f(x)= 2 x ? 4 ? 1 (Ⅰ)画 出函数 y=f(x)的图像; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围.

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