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江苏省如东县2013-2014学年度高三第一学期期末四校联考数学试题


2013

2014 学年度第一学期期末 数学
x ?1 ? 0}, 则CU ( M ? N ) = x?2

高三联考试卷
1.已知全集 U=R,集合 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | 2.若

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)

▲ .



a ? 1 ? bi ,其中 a, b 都是实数, i 是虚数单位,则 a ? bi = 1? i



3.某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本.已 知女生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是



人.

4.集合 A={2,3},B={1,2,3}, 从 A,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于 4 的概率是




开始 条件,则

5.若“ 0 ? x ? 1 ”是“ ( x ? a)[ x ? (a ? 2)] ? 0 ”的充分不必要 实数 a 的取值范围是 ▲ . 6.按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为

S=0,i=1 ▲ .
T=3i-1 S=S+T i= i+1 i>5? 是 输出 S 否

7.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 , 48 成等差数列,则

?an ? 的前 8 项和为





8 . 长 方 体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1中 , AB ? BC ? 3, AA 1 ? 2 ,则四面体

A1 BC1 D 的体积为
9.函数 y ? ? ?
?





kx ? 1,(?3 ? x ? 0)

y
结束
8? 3
5? 3

8? 2sin(? x ? ? ),(0 ? x ? )(?? ? ? ? ? ) ? 3 ?

的图像如图,则 k ? ? ? ? =
?



. -3 O

x

-2 ? ? ? ? ? ? x ? y1 10 . 已 知 平 面 向 量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,若 a ? 2, b ? 3, a ? b ? ?6 ,则 1 的值 为 x2 ? y 2




x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x2 ? y 2 ? b2 ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 引圆 O 2 a b

11.已知椭圆 C :

的 两 条 切 线 , 切 点 分 别 为 A, B , 满 足 ?APB ? 60? , 则 椭 圆 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是




·1 ·

12 . 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 对 ?x ? R , 有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) , 且 当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??)
2

P

上至少有三个零点,则 a 的取值范围是 ▲ . 13.如图,点 C 为半圆的直径 AB 延长线上一点,AB=BC=2,过动 点 P 作半圆的切线 PQ,若 PC ? 3PQ ,则 ?PAC 的面积的最大值 Q 为





A

B

C

14.已知三次函数 f ( x) ?

a 3 b 2 a ? 2b ? 3c 的最小值为 x ? x ? cx ? d (a ? b) 在R上单调递增,则 3 2 b?a





二.解答题:(本大题共 6 个小题,共 90 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) ?? ?1 15.已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? ? , x ? R . 3 6? ? ? 5? ? (1)求 f ? ? 的值; ? 4 ?
?? ? ? ? 10 6 ? ? ? 的值 (2)设 ? , ? ? ? ?0, ? , f ? 3? ? ? ? ,f ? 3? ? 2? ? ? ,求 cos
? 2? ? 2 ? 13 5 2

16. 如图,四边形 ABCD 为平行四边形, 四边形 ADEF 是正方形, 且 BD⊥平面 CDE, H 是 BE 的中点,G 是 AE,DF 的交点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)求证:面 ADEF⊥面 ABCD.

·2 ·

17.某企业有两个生产车间分别在 A 、 B 两个位置, A 车间有 100 名员工, B 车间有 400 名员工。 现要在公路 AC 上找一点 D ,修一条公路 BD , 并在 D 处建一个食堂, 使得所有员工均在此食堂用 餐。已知 A 、 B 、 C 中任意两点间的距离均有 1km ,设 ?BDC ? ? ,所有员工从车间到食堂步行 的总路程为 s . (1)写出 s 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 s 最少.
D A

C

第 17 题图

B

18.已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于 焦点.

1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x 2 ? 8 3 y 的 2

(1)求椭圆C的方程;(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点,(i) 若直线AB的斜率为

1 ,求四边形APBQ面积的最大值;(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直 2
y P B O A Q x

线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

·3 ·

19.已知各项均为正数的数列 ?a n ?前 n 项的和为 S n ,数列 an

? ? 的前 n 项的和为 T
2

n

,且

? Sn ? 2 ?

2

? 3Tn ? 4, n ? N * .

⑴证明数列 ?a n ?是等比数列,并写出通项公式;
* ⑵若 Sn ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,求 ? 的最小值;
2

⑶若 an , 2 an ?1 , 2 an ? 2 成等差数列,求正整数 x, y 的值.

x

y

20.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) ,a ? R . x ?1

(1)若 x ? 2 是函数 f ( x) 的极值点,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围; (3)设 m, n 为正实数,且 m ? n ,求证:

m?n m?n . ? ln m ? ln n 2

·4 ·

2013

2014 学年度第一学期 数学
x ?1 ? 0}, 则CU ( M ? N ) x?2
. {x|x≤2}

高三联考试卷
1.已知全集 U=R,集合 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | 2.若

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)

a ? 1 ? bi ,其中 a, b 都是实数, i 是虚数单位,则 a ? bi = 1? i

5

3.某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本.已 知女生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是 人.答案:760 1 3

4.集合 A={2,3},B={1,2,3}, 从 A,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于 4 的概率是 5.若“ 0 ? x ? 1 ”是“ ( x ? a)[ x ? (a ? 2)] ? 0 ”的充分不必要 实数 a 的取值范围是 开始

条件,则

[?1, 0]
40

S=0,i=1
T=3i-1 S=S+T i= i+1 i>5? 是 输出 S 否 体

6.按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为

7.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 , 48 成等差数列,则

?an ? 的前 8 项和为 .

255

8.长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, AB ? BC ? 3, AA 1 ? 2 ,则四面

A1 BC1 D 的体积为_____________.6
kx ? 1, (?3 ? x ? 0) ? ? 9.函数 y ? ? 8? 2sin(? x ? ? ), (0 ? x ? )( ?? ? ? ? ? ) ? 3 ?

y

结束
8? 3
5? 3

? 的图像如图,则 k ? ? ? = ?
?
?

-3 O 1 -2

x
x1 ? y1 的值为 x2 ? y 2

10.已知平面向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,若 a ? 2, b ? 3, a ? b ? ?6 ,则
? 2 3

?

?

? ?

11.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b2 ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 引圆 O 2 a b
·5 ·

的两条切线 , 切点分别为 A, B , 满足 ?APB ? 60? , 则椭圆 C 的离心率的取值范围是
3 ,1) 2



[

12 . 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 对 ?x ? R , 有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) , 且 当 x ? [2,3] 时 , f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 , 若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零点 , 则 P
2

a 的取值范围是

(0,

3 ) 3
Q A B C

13.如图,点 C 为半圆的直径 AB 延长线上一点,AB=BC=2, 过动点 P 作半圆的切线 PQ,若 PC ? 3PQ ,则 ?PAC 的面积的 最大值为
33

3 5?7 a 3 b 2 a ? 2b ? 3c 则 的最小值为 x ? x ? cx ? d (a ? b) 在R上单调递增, 2 3 2 b?a 二.解答题:(本大题共 6 个小题,共 90 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

14. 已知三次函数 f ( x) ?

15.已知函数 f ? x ? ? 2sin ?

?? ?1 x ? ?, x ? R . 6? ?3

(1)求 f ?

? 5? ? 4

? ? 的值; ?

(2)设 ? , ? ? ?0, 【答案】 解: (1) f ?

? ? 10 6 ? ?? ? ?? ? 的值 , f ? 3? ? ? ? ,f ? 3? ? 2? ? ? ,求 cos ? 2 ? 13 5 2 ? 2? ?
? ? ? 5? ? ? ? ? ? 2sin ? 2 ? ? 2sin ? 4 ? ? 12 6 ?

? 5? ? 4

??????????6 分

(2) f ? 3? ?

? ?

??

10 5 12 ? ?? ? ? 2sin ? ? ,? sin ? ? , ? ? ?0, ? ,? cos ? ? 2? 3 13 13 ? 2?

?8 分

?? ?? 6 3 4 ? ? ? ?? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ? cos ? ? , ? ? ?0, ? ? sin ? ? ; ?10 分 2? 2? 5, 5 5 ? ? ? 2?

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

12 3 5 4 16 ? ? ? ? . 13 5 13 5 65
·6 ·

????12 分

? ? ? 9 130 ? ?? ? , ? ? ?0, ? ,? cos ? . 2 130 ? 2?
16.如图,四边形 ABCD 为平行四边形,四边形 ADEF 是正方形,且 BD⊥平面 CDE,H 是 BE 的中点,G 是 AE,DF 的交点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)求证:面 ADEF⊥面 ABCD. 证明:⑴ G 是 AE , DF 的交点,∴ G 是 AE 中点,又 H 是 BE 的中 点, ∴ 中, GH // AB , ?E A B

?????14分

????????2 分

∵ABCD 为平行四边形 ∴AB∥CD ∴ GH // CD , 又∵ CD ? 平面CDE, GH ? 平面CDE ∴ GH // 平面 CDE ⑵? BD ? 平面CDE , 所以 BD ? ED , 又因为四边形 AFED 为正方形, ??????9 分 ???????7 分 ????????4 分

? ED ? AD ,
? AD ? BD ? D ,
ED ? 面ABCD ,? ED ? 面AFED 面AFED ? 面ABCD .

??????10 分

??????12 分

??????????14 分

17.某企业有两个生产车间分别在 A 、 B 两个位置, A 车间有 100 名员工, B 车间有 400 名员工。现要 在公路 AC 上找一点 D ,修一条公路 BD ,并在 D 处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐。已 知 A 、 B 、 C 中任意两点间的距离均有 1km ,设 ?BDC ? ? ,所有员工从车间到食堂步行的总路程
A

为s.
·7 · D

C

B

(1)写出 s 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 s 最少 解: (1)在 ?BCD 中,?

BD BC CD , ? ? 0 sin ? sin(120 0 ? ? ) sin 60

??????2 分

3 sin(120 0 ? ? ) 。??????????4 分 sin(120 0 ? ? ) ,则 AD ? 1 ? ? BD ? 2 , CD ? sin ? sin ? sin ?

3 cos? ? 4 ,其中 ? sin(120 0 ? ? ) 2? 。 ??6 分 s ? 400 ? 2 ? 100[1 ? ] ? 50 ? 50 3 ? ?? ? sin ? sin ? sin ? 3 3

(2)

? sin ? ? sin ? ? (cos? ? 4) cos? 1 ? 4 cos? 。???????8 分 ? 50 3 ? 2 sin ? sin 2 ? 1 令 s' ? 0 得 cos? ? 。 4 1 ? 2? 记 cos? 0 ? , ? 0 ? ( , ????????10 分 ) 4 3 3 1 当 cos? ? 时, s' ? 0 , 4 1 当 cos? ? 时, s' ? 0 , 4 s' ? ?50 3 ?
所以 s 在 ( 在 (? 0 ,

?

2? ) 上,单调递增, 3
1 时, s 取得最小值。 4
??????????12 分

3

, ? 0 ) 上,单调递减,

所以当 ? ? ? 0 ,即 cos? ?

3 1 cos? ? sin ? sin(120 0 ? ? ) 15 2 此时, sin ? ? , AD ? 1 ? ? 1? 2 4 sin ? sin ?
1 1 3 cos? 1 3 4 1 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 sin ? 2 2 15 2 10 4
答:当 AD ?

1 5 ? 时,可使总路程 s 最少。 2 10
·8 ·

??????????14 分

18.已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于 焦点. (1)求椭圆C的方程;

1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x 2 ? 8 3 y 的 2

(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点, (i)若直线AB的斜率为

1 ,求四边形APBQ面积的最大值; 2

(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由. y x2 y2 P 解:(1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)

a

b

c 1 则 b ? 2 3 . 由 ? , a 2 ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 4 a 2
∴椭圆 C 的方程为

B O A Q ???????????4 分 x

x2 y 2 ? ?1 16 12

(2)(i)解:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ?

1 x?t, 2

代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 x 2 ? tx ? t 2 ? 12 ? 0 16 12

由 ? ? 0 ,解得 ? 4 ? t ? 4 由韦达定理得 x1 ? x 2 ? ?t , x1 x 2 ? t ? 12 .
2

???????????6 分

四边形 APBQ 的面积 S ? ∴当 t ? 0 , S max ? 12 3

1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 2
???????????9 分

(ii)解:当 ?APQ ? ?BPQ ,则 PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2)

? y ? 3 ? k ( x ? 2)??? (1) ? 由 ? x2 y 2 ? 1?? (2) ? ? ?16 12
(1)代入(2)整理得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0
·9 ·

???11 分

x1 ? 2 ?

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2
? 8k (?2k ? 3) 8k (2k ? 3) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
[来源

同理 PB 的直线方程为 y ? 3 ? ? k ( x ? 2) ,可得 x 2 ? 2 ? ∴ x1 ? x2 ?

16k 2 ? 12 ?48k , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

?????14 分

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x 2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k 1 ? ? ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 2

所以 AB 的斜率为定值

1 2

???????????16 分

19.已知各项均为正数的数列 ?a n ?前 n 项的和为 S n ,数列 an

? ? 的前 n 项的和为 T
2

n

,且

? Sn ? 2 ?

2

? 3Tn ? 4, n ? N * .

⑴证明数列 ?a n ?是等比数列,并写出通项公式;
* ⑵若 Sn ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,求 ? 的最小值;
2

⑶若 an , 2 an ?1 , 2 an ? 2 成等差数列,求正整数 x, y 的值.

x

y

Tn 是数列 {a n } 的前 n 项和, (1) 因为 ( Sn ? 2)2 ? 3Tn ? 4 , 其中 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和, 且 an ? 0 ,
2

当 n ? 1时,由 (a1 ? 2)2 ? 3a12 ? 4 ,解得 a1 ? 1 ,??????????????2 分 当 n ? 2 时,由 (1 ? a2 ? 2)2 ? 3(1 ? a2 2 ) ? 4 ,解得 a2 ?
2 2

1 ; ??????????4 分 2

由 ( S n ? 2) ? 3Tn ? 4 ,知 ( S n ?1 ? 2) ? 3Tn ?1 ? 4 ,两式相减得
2 ( S n?1 ? S n )( S n?1 ? S n ? 4) ? 3a n ?1 ? 0 ,即 ( S n ?1 ? S n ? 4) ? 3a n ?1 ? 0 ,????5 分

亦即 2S n ?1 ? S n ? 2 ,从而 2Sn ? Sn ?1 ? 2,(n ≥ 2) ,再次相减得

1 a 1 1 an ?1 ? an ,(n ≥ 2) ,又 a 2 ? a1 ,所以 n ?1 ? , (n ≥1) an 2 2 2
所以数列 {a n } 是首项为 1,公比为 其通项公式为 a n ?

1 的等比数列, ?????????????7 分 2

1 2
n ?1

n ? N* . ????????????????????8 分

·10·

n ?1? ?1? 1? ? ? n 1 ? n ? ? ? 2 ? ? 2?1 ? ? 1 ? ? , ? 4 ? ? 4 ?1 ? ? 1 ? ? , (2)由(1)可得 S ? T ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n 1 1 3? ? ?4? ? ? ? ?2? ? ? 1? ? 1? 4 2

n

??10 分

* 若 S n ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,
2

只需 ? ?

Sn Tn

2

?1? 1? ? ? 6 2 * 对 n ? N 恒成立, ? 3 ? ?n ? 3 ? n 2 ?1 ?1? 1? ? ? ?2?

n

因为 3 ?

6 ? 3 对 n ? N * 恒成立,所以 ? ≥ 3 ,即 ? 的最小值为 3;????12 分 2 ?1
n
x y

(3)若 a n ,2 a n ?1 ,2 a n ? 2 成等差数列,其中 x, y 为正整数,则

1 2

, n ?1

2x 2y 成等差数列, , 2 n 2 n ?1

整理得 2 x ? 1 ? 2 y ?2 ,?????????????????????????14 分 当 y ? 2 时,等式右边为大于 2 的奇数,等式左边是偶数或 1,等式不能成立, 所以满足条件的 x, y 值为 x ? 1, y ? 2 .?????????????????16 分 20.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) ,a ? R . x ?1

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 f ( x) 的极值点,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设 m, n 为正实数,且 m ? n ,求证: 解: (Ⅰ) f ?( x) ?
'

m?n m?n . ? ln m ? ln n 2

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ( x ? 1) 2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a ) x ? 1 ? ? . ??2 分 ? x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 x ( x ? 1) 2

由题意知 f (2) ? 0 ,代入得 a ? 从而切线斜率

9 ,经检验,符合题意。 4

1 k ? f ' (1) ? ? ,切点为 ?1, 0 ? , 8
???4 分

切线方程为 x ? 8 y ? 1 ? 0 (Ⅱ) f ?( x) ?

x 2 ? (2 ? 2a ) x ? 1 . x( x ? 1) 2
·11·

因为 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,所以 f ?( x) ? 0在(0, ??) 上恒成立. ???6 分

即x 2 ? (2 ? 2a ) x ? 1 ? 0在(0, ??)上恒成立. 1 当x ? (0, ??)时,由x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0, 得2a ? 2 ? x ? . x 1 1 1 设g ( x) ? x ? , x ? (0, ??).g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2. x x x 1 所以当且仅当x ? , 即x ? 1时, g ( x)有最小值2. x
所以2a ? 2 ? 2.所以a ? 2. 所以 a 的取值范围是 (??, 2].
(Ⅲ)要证 ?????8 分

m m m?n m ? n ,只需证 n ? 1 n ? 1 , ? ? ln m ? ln n 2 m 2 ln n
2( m m ? 1) 2( ? 1) m n . 只需证 ln ? n ? 0. m m n ?1 ?1 n n

即证 ln m ? n

????12 分

………………………………….16 分

·12·


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