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2.3.1 双曲线及其标准方程(课堂版)


第2章 2.3.1 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 2 2 1.双曲线方程为 x -2y =1,则它的右焦点坐标为( ) ? 2 ? ? 5 ? ? ? ? A.? ,0? B.? ,0? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 6 ? ? C.? D.( 3,0) , 0 ? 2 ? ? ? 2 2 2.在方程 mx -my =n 中,若 mn<0,则方程表示的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 3.设 P 为双曲线 x -
2

)

=1 上的一点,F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若 12 |PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2 的面积为( ) A.6 3 B.12 C.12 3 D.24

y2

x2 y2 4.已知双曲线方程为 2- 2=1,点 A、B 在双曲线右支上,线段 AB 经过 a b 双曲线的右焦点 F2,|AB|=m,F1 为另一个焦点,则△ABF1 的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标是 4 12 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________.

x2

y2

- =1 上一点 P 到点(5,0)的距离为 15, 则点 P 到点(-5,0) 16 9 的距离为________. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)经过点 A(4 2,3),且 a=4; ? 2 3? ? (2)经过点 A? ?2, 3 ?、B(3,-2 2). ? ? 2 2 8.已知方程 kx +y =4,其中 k∈R,试就 k 的不同取值讨论方程所表示 6. 双曲线
1

x2

y2

的曲线类型.

x2 y2 9.(10 分)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)满足如下条件: a b (1)ab= 3;
21 ,交 y 轴于点 P,线段 PF 交双曲线 2 于点 Q,且|PQ|∶|QF|=2∶1,求双曲线的方程. (2)过右焦点 F 的直线 l 的斜率为

1、答案: C 2、答案: D 3、解析: 由已知得 2a=2,又由双曲线的定义得, |PF1|-|PF2|=2, 又|PF1|∶|PF2|=3∶2, ∴|PF1|=6,|PF2|=4. 又|F1F2|=2c=2 13. 2 2 6 +4 -52 由余弦定理得 cos ∠F1PF2= =0. 2×6×4 ∴三角形为直角三角形. 1 ∴S△PF1F2= ×6×4=12. 2 答案: B 4、解析: 设△ABF1 的周长为 C,则 C=|AF1|+|BF1|+|AB| =(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB| =(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB| =2a+2a+2m=4a+2m. 答案: B
2

5、解析:

∵ - =1, 4 12 ∴当 x=3 时,y=± 15. 又∵F2(4,0), ∴|AF2|=1,|MA|= 15, ∴|MF2|= 1+15=4.故填 4. 答案: 4 6、解析: 双曲线的焦点为(5,0)和(-5,0) 由||PF1|-|PF2||=8. ∴||PF1|-15|=8, ∴|PF1|=23 或|PF1|=7. 答案: 7 或 23

x2

y2

x2 y2 7、解析: (1)若所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 2 2 x y 则将 a=4 代入,得 - 2=1, 16 b 又点 A(4 2,3)在双曲线上,
∴ 32 9 - 2=1. 16 b
2

解得 b =9,则 - =1, 16 9

x2

y2

y2 x2 若所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 2 同上,解得 b <0,不合题意, x2 y2
∴双曲线的方程为

- =1. 16 9 2 2 (2)设双曲线的方程为 mx +ny =1(mn<0), ? 2 3? ? ∵点 A? ?2, 3 ?、B(3,-2 2)在双曲线上, ? ? 4 ? ?4m+ n=1, 3 ∴? 1 ? m = , ? 3 解之得? 1 n =- . ? ? 4

? ?9m+8n=1.

∴所求双曲线的方程为 - =1. 3 4 8、解析: (1)当 k=0 时,方程变为 y=±2,表示两条与 x 轴平行的直 线;
3

x2 y2

(2)当 k=1 时,方程变为 x +y =4 表示圆心在原点,半径为 2 的圆; (3)当 k<0 时,方程变为 - 4

2

2

y2

x2


=1,表示焦点在 y 轴上的双曲线; 4

(4)当 0<k<1 时,方程变为 + =1,表示焦点在 x 轴上的椭圆; 4 4

x

2

k y2

k
(5)当 k>1 时,方程变为 + =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆. 4 4

x

2

y2

k 9、解析: 设右焦点 F(c,0),点 Q(x,y),

21 (x-c), 2 ? 21 ? 令 x=0,得 p? , 0 ,- c? ? 2 ? ? ? 设直线 l:y= 则有 P→ Q =2Q→ F, ? 21 ? ? 所以?x,y+ =2(c-x,-y) c? 2 ? ? ? 21 ∴x=2(c-x)且 y+ c=-2y, 2 2 21 解得:x= c,y=- c. 3 6 ?2 21 ? ? 即 Q? ?3c,- 6 c?,且在双曲线上, ? ? ? ? ? 21 ? 2?2 ?2 2? 2 2 ?2 ∴b ? c? -a ?- =a b , c ? 6 ? ?3 ? ? 2 2 2 又∵a +b =c , 2 ? b2? 4? 7? ? ? ?a ∴ ?1+ 2?- ? 2+1? ?=1, a ? 12?b 9? ?
2 ? ? a =1 , b2 解得 2=3,又由 ab= 3,可得? 2 a ? ?b =3.

∴所求双曲线方程为 x - =1. 3
4

2

y2


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