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高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式课件苏教版必修_图文

第3章

三角恒等变换

§3.3 几个三角恒等式

学习目标

1.能运用所学知识,推导积化和差与和差化积公式、万能公式. 2.能利用所学公式进行三角恒等变换.

问题导学

题型探究

达标检测

问题导学
知识点一 思考 积化和差与和差化积公式

新知探究 点点落实

利用两角和差的正弦公式能否用sin(α+β)与sin(α-β)表示sin αcos β
? ?sin?α+β?=sin αcos β+cos αsin β, ∵? ? ?sin?α-β?=sin αcos β-cos αsin β,

和cos αsin β?


∴sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β. 1 即 sin αcos β=2[si n(α+β)+sin(α-β)].
1 同理得 cos αsin β=2[sin(α+β)-sin(α-β)].
答案

答案

和差化积公式

α+β α-β 2sin 2 cos 2 sin α+sin β= . α+β α-β 2cos 2 sin 2 sin α-sin β= . α+β α-β 2cos 2 cos 2 cos α+cos β= . α+β α-β -2cos 2 cos 2 cos α-cos β= .

答案

知识点二

万能代换公式

α 思考 结合前面所学倍角公式,能否用 tan2表示 sin α? α α α α 2sin 2cos 2 2tan 2 2tan 2 α α 答 sin α=2sin 2cos 2= = ,即 sin α = . 2α 2α 2α 2α cos 2+sin 2 1+tan 2 1+tan 2
2 1 - t 2t 2t α 设 tan 2=t,则 sin α= 2,cos α= 2,tan α= 2. 1 +t 1+t 1-t

答案

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题型探究
类型一 三角函数式求值问题

重点难点 个个击破

α α 例 1 已知 α 为第三象限角,且 cos 2>0,tan α=3,求 tan 2的值. α 2tan 2 解 ∵tan α=3,∴ =3, α 1-tan22 1 10 1 10 α α α 2α ∴3tan 2+2tan 2-3=0,∴tan 2=-3+ 3 或 tan 2=-3- 3 . α α ∵cos 2>0,α 为第三象限角,∴2为第四象限角, 1 10 α α 所以 tan 2<0,∴tan 2=-3- 3 .
反思与感悟 解析答案

跟踪训练 1

3 θ 3 已知 θ∈(π,2π)且 sin 2=5,求:

sin θ (1) ;(2)sin θ+2cos θ. 1+cos θ

解析答案

类型二 三角函数式化简问题
α α 例 2 化简( α-tan 2)(1+tan αtan 2). tan2 1 α α 解 ( α-tan 2)(1+tan αtan 2) tan2 1
1+cos α 1-cos α sin α 1-cos α =( sin α - sin α )(1+cos α· sin α )

1-cos α 2cos α 1 2cos α 2 = sin α (1+ cos α )= sin α · = . cos α sin α
反思与感悟 解析答案

跟踪训练 2

2π 2 4π 化简:cos A+cos ( 3 +A)+cos ( 3 +A).
2 2

4π 8π 1-cos 2A 1-cos? 3 +2A? 1-cos? 3 +2A? 解 原式= + + 2 2 2 3 1 4π 8π =2-2[cos 2A+cos( 3 +2A)+cos( 3 +2A)]
3 1 2π =2-2[cos 2A+2cos(2π+2A)cos 3 ]
3 1 3 =2-2[ cos 2A-cos(2π+2A)] =2.

解析答案

类型三

辅助角公式的应用

π 解 ∵f(4)=1, π π 2π 2π ∴sin 4+asin 4cos 4-cos 4=1,解得 a=2,

∴f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x
π =sin 2x-cos 2x= 2sin(2x-4),

故 f(x)的最小正周期为 π,最小值为- 2.
解析答案



π π π 令 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2(k∈Z),

π 3π 得 kπ-8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z).
π 3π 又 x∈[0,2],∴0≤x≤ 8 ,

3π ∴f(x)的单调递增区间是[0, 8 ].

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 3

π 已知函数 f(x)=2cos xsin(x+3)- 3sin2x+sin xcos x.

(1)求函数f(x)的单调递减区间; (2) 将函数f(x) 的图象向右平移 m个单位,使所得函数为偶函数,求 m的最 小正值.

解析答案

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达标检测

1

2

3

4

解析答案

1

2

3

4

4 -5

解析

cos 2-sin 2 cos θ= 2θ 2θ cos 2+sin 2






1-tan 2 1-32 4 = = 2=- . θ 5 1+3 2 1+tan 2

解析答案

1
? π? ? x,x∈?0,2? ?的最小值为 ? ?

2

3

4

3.函数 f(x)=sin x-cos
解析 f( x ) =

-1

.

? ? π? π? ? ? ? 2sin?x-4?,x∈?0,2? ?. ? ? ? ?

π π π ∵-4≤x-4≤4,
∴f(x)min=
? π? ? 2sin?-4? ?=-1. ? ?

解析答案

1

2

3

4

4.求函数f(x)=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值. 解 3sin(x+20°)+5sin(x+80°)

=3sin(x+20°)+5sin(x+20°)cos 60°+5cos(x+20°)sin 60°
11 5 3 = 2 sin(x+20° )+ 2 cos(x+20° ) =
?5 3? ?11? ? ? ? ?2 ? ?2 ? ? x + 20° + φ ? ?, + φ ) = 7sin ? ? +? ? sin( x+20° ? ? ?2? ? 2 ?

11 5 3 其中 cos φ=14,sin φ= 14 .

所以f(x)max=7.
解析答案

规律与方法
1.学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法 的理解,要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在 公式推导过程中记忆公式和运用公式.
2.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ), 其中 φ 满足: ①φ 与点 b b a (a,b)同象限;②tan φ=a(或 sin φ= 2 2,cos φ= 2 2). a +b a +b

3.研究形如f(x)=asin x+bcos x的函数性质,都要运用辅助角公式化 为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式 .因此辅助角公式是三角 函数中应用较为广泛的一个重要公式,也是高考常考的考点之一.对 一些特殊的系数a,b应熟练掌握,
例如 sin x± cos x=
? π? ? ? 2sin?x± ?;sin 4 ? ? ? π? ? ? x=2sin?x± ?等. 3 ? ?

x± 3cos

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本课结束



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