9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

山东省各地2014届高三上学期期中考试试题分类汇编4:导数及其应用(含积分) Word版含答案


山东省各地 2014 届高三上学期期中考试试题分类汇编 导数及其应用
一、选择题 1、 德州市 2014 高三期中) ( 已知函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x), x ? (0, 2013? ) , 则函数 f ( x)
x

的极大值之和为

e 2? (1 ? e 2012? ) A . e 2? ? 1
D.

e? (1 ? e2012? ) B . 1 ? e2?

e? (1 ? e1006? ) C . 1 ? e 2?

e? (1 ? e1006? ) 1 ? e?

答案:B 2、 桓台第二中学 2014 高三期中) f (x) 是定义在 R 上的奇函数, f (2) ? 0 ,当 x ? 0 时, ( 设 且 有

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 恒成立,则不等式 x 2 f ( x) ? 0 的解集是( 2 x
B. (-2,0) ∪(0,2) 外 国 语 学 C. (-∞,-2)∪(2,+∞) 校 2014 高

) D. (-∞,-2)∪(0,2)

A. (-2,0) ∪(2,+∞) 答案:D 3 、 ( 济 南











f ?( x)是函数f ( x)的导函数, 将y ? f ( x)和y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系
中,不可能正确的是( )

答案:D 4、 (济南一中等四校 2014 高三期中) 若 系为 A. S1 ? S2 ? S3 B. S2 ? S1 ? S3 C. S2 ? S3 ? S1 D. ,则 S , S , S 的大小关 1 2 3

S3 ? S2 ? S1

答案:B 5、 (济南一中等四校 2014 高三期中)

设定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , f '( x) 是 f ( x) 的导函数,当 x ? ? 0,1? 时, 0 ? f ( x) ? 1 ;当 x ? (0, 2) 且 x ? 1 时, x( x ? 1) f '( x) ? 0 .则方程 f ( x) ? lg x 根的个数为 A.12 答案:C

B.1 6

C.18

D.20

6、 (临沂市 2014 高三期中).若实数 a ? 条对称轴方程为 A. x ? 0 答案:B B. x ? ?

?

e

1

1 dx. 则函数 f ? x ? ? a sin x ? cos x 的图象的一 x
D. x ? ?

3? 4

C. ?

?
4

5? 4

7、 (临沂市 2014 高三期中) .已知函数 y ? ? xf ? ? x ? 的图象如图 (其中 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的 导函数) ,下面四个图象中, y ? f ? x ? 的图象可能是

答案:B 8、 (临沂市 2014 高三期中).直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln ? x ? a ? 相切时,a= A. ?1 答案:D B.1 C. ?2 D.2

9、 (青岛市 2014 高三期中)已知函数 f ( x) 的导函数图象如图所示,若 ?ABC 为锐角三角 形,则一定成立的是 A. f (cos A) ? f (cos B) B. f (sin A) ? f (cos B) C. f (sin A) ? f (sin B) D. f (sin A) ? f (cos B) 答案:D 10、 (山东师大附中 2014 高三期中)直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ax ? b 相切于点 A(1,
3

y

? O 1

x

3) ,则 2a+b 的值为( A.2 B.-1

) C.1 D.-2

答案:C 11、 (枣庄市 2014 高三期中)已知直线 y=x+l 与曲线 y=ln(x+a+l)相切,则实数 a 的值为 A、1 B.0 C.-1 D.2 答案:A 二、填空题 1、 (德州市 2014 高三期中)由曲线 y ? x 、直线 x ? 2 以及 y ? 0 所围成的图形面积
2





8 答案: 3
2、 (菏泽市 2014 高三期中) .函数 y ? x 与 y ? kx(k ? 0) 的图像所围成的阴影部分的面积
2



9 ,则 k ? 2



答案:3 3、 (桓台第二中学 2014 高三期中)已知函数 y ? ln( x ? 1) ? 程 答案:y=2x 4、 (济南外国语学校 2014 高三期中)已知直线 y ? 3x ? 1 与曲线 y ? x ? mx ? n 相切于点
3

x ,则在 x=0 处的切线方 x ?1

(1,4) ,则 m ? _____。
答案:0

( 5、 (青岛市 2014 高三期中)曲线 y ? 2sin x 0 ? x ? ? ) 与直线 y ? 1 围成的封闭图形的面积
为 答案: 2 3 ? .

2? 3

? x 2 , x ? [0,1) ? 6、 (山东师大附中 2014 高三期中)设 f ( x ) ? ? 1 (其中 e 为自然对数的底数) , 2 ? , x ? [1, e ] ?x


?

e2

0

f ( x)dx 的值为
7 3



答案:

7、 (威海市 2014 高三期中)

?

?

0

( x ? sin x)dx ? ____________.

答案:

?2
2

?2

8、 (潍坊市 2014 高三期中) 答案:7

? 3t
1

2

2

dt ?

.

11、 (文登市 2014 高三期中)

?

3 2 1 2

(2 x ?

1 )dx = x2



答案:

10 3

12、 (枣庄市 2014 高三期中) 答案:B 三、解答题 1、 (德州市 2014 高三期中)已知 f ( x) ? ?

1 2 ax ? x ? ln(1 ? x) ,其中 a ? 0 。 2

(1)若 x ? 3 是函数 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)若 f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值是 0,求 a 的取值范围。 解: (1)由题意得 f ?( x) ? 由 f ?(3) ? 0 ? a ?

?ax 2 ? (a ? 1) x , x ? (?1, ??) x ?1

1 ,经检验符合题意 4 1 (2)令 f ?( x) ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? ? 1 a
①当 0 ? a ? 1时, x1 ? x2

f ( x) 与 f ?( x) 的变化情况如下表

x
f ?( x) f ( x)

(?1,0)
?


0 0

1 (0, ? 1) a

1 ?1 a
0

1 ( ? 1, ??) a
?


?


f (0)

1 f ( ? 1) a

1 ? f ( x) 的单调递增区间是 (0, ? 1) 。 a 1 f ( x) 的单调递增减区间是 (?1,0) , ( ? 1, ??) a
②当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递减区间是 (?1, ??) ③当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0

f ( x) 与 f ?( x) 的变化情况如下表

x
f ?( x) f ( x)

1 (?1, ? 1) a
?


1 ?1 a
0

1 ( ? 1, 0) a

0 0

(0, ??)
?


?


1 f ( ? 1) a

f (0)

1 ? f ( x) 的单调递增区间是 ( ? 1, 0) 。 a 1 f ( x) 的单调递增减区间是 (?1, ? 1) , (0, ??) a
综上,当 0 ? a ? 1时, f ( x) 的单调递增区间是 (0,

1 ? 1) 。 a

1 f ( x) 的单调递增减区间是 (?1,0) , ( ? 1, ??) a 1 当 a ? 1 , f ( x) 的单调递增区间是 ( ? 1, 0) 。 a 1 f ( x) 的单调递增减区间是 (?1, ? 1) , (0, ??) a
(3)由(2)可知 当 0 ? a ? 1时, f ( x) 在 (0, ??) 的最大值是 f ( ? 1) 但 f ( ? 1) ? f (0) ? 0 ,所以 0 ? a ? 1不合题意 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减

1 a

1 a

f ( x) ? f (0) 可得 f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值为 f (0) ? 0 ,符合题意 ? f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值为 0 时, a 的取值范围是 a ? 1 。

2、 (菏泽市 2014 高三期中)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 。
3

(1)求 a, b 的值;
3

(2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值。
2

解:(Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b

由于 f ( x) 在点 x ? 2 处取得极值

故有 ?

12a ? b ? 0 ? f ?(2) ? 0 ? ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ? 4 a ? b ? ?8 ?b ? ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ( x) ? x3 ? 12 x ? c , f ?( x) ? 3x 2 ? 12

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, ?2) 上为增

函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数. 由此可知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极小值

f (2) ? c ? 16













16 ? c ? 28



c ? 12





f (?

3 ?)

c?9

? f 2

1

, (2) c ? ) ,? f c? ?3 ? 16 ?? 49 ( ? 因此 f ( x) 上 [?3,3] 的最小值 3

为 f (2) ? ?4

3、 (菏泽市 2014 高三期中) (选做 A)已知函数 f ( x)

a ? x ln x, g ( x) ? x3 ? x 2 ? 3 。 x

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整 数M ;

1 2 2 2 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ? x ln x , f '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , f (1) ? 2 , f '(1) ? ?1 , x x
(3)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. 所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 ; (2)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 3x( x ? ) ,
3 2

???? 4 分

2 3

x
g '( x)
g ( x)

0
0

2 (0, ) 3 ?
递减

2 3

2 ( , 2] 3

2

0
极(最)小值 ?

?
85 27
递增

?3

1

由上表可知: g ( x)min ? g ( ) ? ?

2 3

85 , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 27

?

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x)max ? g ( x)min ?

112 , 27

所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; (3)对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s) ? g (t ) 成立

???? 9 分

1 2 1 等价于:在区间 [ , 2] 上,函数 f ( x) 的最小值不小于 g ( x) 的最大值, 2 1 由(2)知,在区间 [ , 2] 上, g ( x) 的最大值为 g (2) ? 1。 2 1 f (1) ? a ? 1 ,下证当 a ? 1 时,在区间 [ , 2] 上,函数 f ( x) ? 1 恒成立。 2 1 a 1 当 a ? 1 且 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? ? x ln x ? ? x ln x , 2 x x 1 1 记 h( x) ? ? x ln x , h '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , h ' ( 1? 0 ) x x 1 1 当 x ? [ ,1) , h '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 ? 0 ;当 x ? (1, 2] , 2 x 1 h '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 ? 0 , x 1 1 所以函数 h( x) ? ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递减,在区间 (1, 2] 上递增, x 2

h( x) min ? h(1) ? 1,即 h( x) ? 1 ,
所以当 a ? 1 且 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? 1 成立, 即对任意 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s) ? g (t ) 。 (3)另解:当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ?

1 2

1 2

???? 15 分

1 2

a ? x ln x ? 1恒成立 x

等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, 记 h( x) ? x ? x ln x , h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ,
2

h ' ( 1? 。 ) 0

记 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) ? ?3 ? 2ln x ,由于 x ? [ , 2] ,

1 2

m '( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 ,

所以 m( x) ? h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减,

1 2

当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 , 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在区间 (1, 2] 上递减,
2

1 2

1 2

所以 h( x) max ? h(1) ? 1,所以 a ? 1 。

???? 15 分

4、 (菏泽市 2014 高三期中) (选做 B)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x 。 2

(1)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x) 的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若 a ? 1 ,求证:在区间 [1, ??) 上,函数 f ( x) 的图像在函数 g ( x) ? 下方。 (1)解 由于函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

2 3 x 的图像的 3

[1 分]

当 a=-1 时,f′(x)=x- 令 f′(x)=0 得 x=1 或 x=-1(舍去), [3 分]
[来

[2 分]

当 x∈(0,1)时,f′(x)<0, 因此函数 f(x)在(0,1)上是单调递减的,

[4 分] [5 分]

当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,因此函数 f(x)在(1,+∞)上是单调递增的, 则 x=1 是 f(x)极小值点,…………6 分

所以 f(x)在 x=1 处取得极小值为 f(1)=

[7 分]

(2) 证明

设 F(x)=f(x)-g(x)=

x2+ln x-

x3,

则 F′(x)=x+

-2 x2= [10 分] [11 分]



[9 分]

当 x>1 时,F′(x)<0,

故 f(x)在区间[1,+∞)上是单调递减的,

又 F(1)=-6<0,[12 分]

1

∴在区间[1,+∞)上,F(x)<0 恒成立.即 f(x)—g(x)<0 恒成立 即 f(x)<g(x)恒成立. [13 分] 因此,当 a=1 时,在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图像在函数 g(x)图像的下方.[14 分] 5、 (桓台第二中学 2014 高三期中)设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x ,其中 b 为常数.
2

(1)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(2)若函数 f ( x) 的有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x) 的极值点

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x ? 2x ? b 2 2 ? 解 f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? x x x
2

( x ? 0)

?当 b ?

1 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2 1 (2)①由(Ⅰ)得,当 b ? 时,函数 f ( x) 无极值点. 2
②b ?

(2 x ? 1) 2 1 1 时, f ' ( x) ? ? 0 有两个相同的解 x ? , 2x 2 2

1 1 但当x ? (0, )时,f ' ( x) ? 0; 当x ? ( ,??)时, f ' ( x) ? 0 时, 2 2 1 ? b ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, ?) 上无极值点. ? 2
③当 b ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 1 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? ? , x2 ? ? 2 2 2 2 2
时 ,

? i) b ? 0

x1 ?

1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0,??),舍去 2 2



而x 2 ?

1 1 ? 2b ? ? 1 ? (0,??) , 2 2
此时 f ?( x) , f ( x) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(0, x 2 )

x2

( x2, ?) ?

?


0
极小值

?


f ( x)

由此表可知:? b ? 0 时, f ( x) 有惟一极小值点 , x 2 ? ii) 当0 ? b ?

1 1 ? 2b , ? 2 2

1 时,0< x1 ? x 2 <1 此时, f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表: 2

x
f ?( x)

(0, x1 )

x1

( x1,x2 )

x 2 sj.fjjy.org

( x2, ?) sj.f ?
jjy.org

?
增 sj.fjjy.org

0
极大值

?


0
极小值

?


f ( x)

由此表可知: 0 ? b ?

1 1 ? 2b 1 时 , f ( x) 有 一 个 极 大 值 x1 ? ? 和一个极小值点 2 2 2

x2 ?

1 1 ? 2b ; ? 2 2
1 时 f ( x) 有极值点; 2

综上所述:当且仅当 b ?

当 b ? 0 时, f ( x) 有惟一极小值点 , x ?

1 1 ? 2b ; ? 2 2

当 0?b?

1 1 ? 2b 1 时 , f ( x) 有 一 个 极 大 值 点 x ? ? 和一个极小值点 2 2 2

x?

1 1 ? 2b ? 2 2

6、 (济南外国语学校 2014 高三期中)已知函数 f ( x) ? x ln x . (I)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (II)若 f ( x) ? ? x ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(III)过点 A(?e , 0) 作函数 y ? f ( x) 图像的切线,求切线方程 解: (Ⅰ)? f '( x) ? ln x ? 1? f '( x) ? 0 得 ln x ? ?1

?2

?2分 ?4分

1 1 ? 0 ? x ? ?函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ; e e 6 2 (Ⅱ)? f ( x) ? ? x ? ax ? 6 即 a ? ln x ? x ? x

x 2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 6 ? 设 g ( x) ? ln x ? x ? 则 g '( x) ? x2 x2 x
当 x ? (0, 2) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (2, ??) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;

? 6分

? g ( x) 最小值 g (2) ? 5 ? ln 2 ?实数 a 的取值范围是 (??,5 ? ln 2] ; ? 7 分
(Ⅲ)设切点 T ( x0 , y0 ) 则 k AT ? f '( x0 ) ?

x0 ln x0 ? ln x0 ? 1 即 e2 x0 ? ln x0 ? 1 ? 0 1 x0 ? 2 e
? 10 分

设 h( x) ? e x ? ln x ? 1 ,当 x ? 0 时 h '( x) ? 0 ? h( x ) 是单调递增函数
2

? h( x) ? 0 最多只有一个根,又 h(

1 1 1 1 ) ? e2 ? 2 ? ln 2 ? 1 ? 0 ? x0 ? 2 2 e e e e 1 ? 12 分 由 f '( x0 ) ? ?1 得切线方程是 x ? y ? 2 ? 0 . e

7、 (济南一中等四校 2014 高三期中)设函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为正
x

实数. (l)若 x=0 是函数 g ( x) 的极值点,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) 在 (1, ??) 上无最小值,且 g ( x) 在 (1, ??) 上是单调增函数,求 a 的取值范 围;并由此判断曲线 g ( x) 与曲线 y ? 解:(1) 由 g (0) ? 1 ? a ? 0 得 a ? 1
'

1 2 ax ? ax 在 (1, ??) 交点个数. 2
-----------------------2 分 ------------3 分 ------------5 分

f ( x) 的定义域为: (0, ??)

f ' ( x) ? 1 ?
'

1 x

函数 f ( x) 的增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1)

(2)由 f ( x ) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

若 0 ? a ? 1 则 f (x) 在 (1,??) 上有最小值 f (a ) 当 a ? 1时, f (x) 在 (1,??) 单调递增无最小值.
x

-------------------7 分

∵ g (x) 在 (1,??) 上是单调增函数∴ g'( x ) ? e ? a ? 0 在 (1,??) 上恒成立 ∴a ? e 综上所述 a 的取值范围为 ?1,e ? 此时 g ( x) ? -----------------9 分 ---------------10 分

2e x 2e x 2e x ( x ? 2) 1 2 , ax ? ax 即 a ? 2 , 令h( x) ? 2 ? h '( x) ? 2 x x x3
-----------------------13 分

则 h(x)在 (0, 2) 单减, 在(2, ??) 单增, 极小值为 h(2) ?

e2 ? e . 故两曲线没有公共点. 2
x 2

-----------14

8、 (临沂市 2014 高三期中)已知函数 f ? x ? ? a ? x ? x ln a,其中a ? 1 . (I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若方程 f ? x ? ? m ? 0 在区间 ? ?1,1? 上有两个不相等实数根,求实数 m 的取值范围.

9、 (青岛市 2014 高三期中)已知函数 f ( x) ? e ?
x

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 2 x ? b ,求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)如果函数 g ( x) ? f ( x) ? (a ? ) x 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,证明: a ?
2

1 2

e . 2

解: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? e ? x ? a ,
x

∴ f ?(0) ? 1 ? a . 于是由题知 1 ? a ? 2 ,解得 a ? ?1 .………………………………………………2 分 ∴ f ( x) ? e ?
x

∴ f (0) ? 1 ,

1 2 x ?x. 2

于是 1 ? 2 ? 0 ? b ,解得 b ? 1.……………………………………………………4 分 (Ⅱ)由题意 f ?( x) ? 0 即 e ? x ? a ? 0 恒成立,
x

∴ a ? e ? x 恒成立.……………………………………………………5 分
x

设 h( x) ? e ? x ,则 h?( x) ? e ? 1 .
x x

当 x 变化时, h?( x) 、 h( x ) 的变化情况如下表:

∴ h( x) min

x h?( x) h( x ) ? h(0) ? 1 ,

(??, 0)
?
减函数

0 0
极小值

(0, ?) ?

?
增函数

∴ a ? 1 …………………………………………………………………………8 分 (Ⅲ)由已知 g ( x) ? e x ?
x

1 2 1 x ? ax ? ax 2 ? x 2 ? e x ? ax 2 ? ax , 2 2

∴ g ?( x) ? e ? 2ax ? a . ∵ x1 , x2 是函数 g ( x) 的两个不同极值点(不妨设 x1 ? x2 ) , ∴ e ? 2ax ? a ? 0 ( ? )有两个不同的实数根 x1 , x2 ………………………10 分
x

1 时,方程( ? )不成立 2 e x (2 x ? 1) ex ex 则a ? ,令 p( x) ? ,则 p?( x) ? (2 x ? 1) 2 2x ?1 2x ? 1 1 由 p?( x) ? 0 得: x ? 2 当 x 变化时, p ( x) , p?( x) 变化情况如下表: 1 1 1 (??, ? ) (? , ) x 2 2 2 p( x) ? ?
当x??

1 2 0

1 ( , ??) 2 ?
单调递 增

p?( x)

单调递 减

单调 递减

极 小值

∴当 x ? (??, ? ) 时,方程( ? )至多有一解,不合题意;……………12 分 当 x ? (? , ??) 时,方程( ? )若有两个解,则 a ? p ( ) ? 所以, a ?

1 2

1 2

1 2

e 2

e ………………………………………………………13 分 2
2 x

10、 (山东师大附中 2014 高三期中)已知函数 f ( x) ? ( x ? ax)e ( x ? R), a 为实数。 (1)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 的单调增区间; (2)若 f (x) 在闭区间[-1,1]上为减函数,求 a 的取值范围。

11、(威海市 2014 高三期中)已知函数

f ( x) ? a ln x ? x ?

a ?1 . x

(Ⅰ)若 a ? 4 ,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f ( x) 在定义域内无极值,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)已知 a ? 4 ,∴ f ( x) ? 4ln x ? x ?

[

3 , ( x ? 0) x

--------------------1 分

f ?( x) ?

4 3 ? x2 ? 4 x ? 3 ?1 ? 2 ? x x x2

------------------------------------2 分 ------------------------------------3 分

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 3 . 当 0 ? x ? 1或x ? 3 时, f ?( x) ? 0 当 1 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0

------------------------------------4 分 ------------------------------------5 分 ----------------------------------6 分

f (1) ? 2, f (3) ? 4ln 3 ? 2
∴ f ( x) 取得极小值 2,极大值 4ln 3 ? 2 . (Ⅱ) f ( x) ? a ln x ? x ?

a ?1 , ( x ? 0) x
------------------------------------7 分

f ?( x) ?

a a ? 1 ? x 2 ? ax ? (a ? 1) ?1 ? 2 ? x x x2

f ( x) 在定义域内无极值,即 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 在定义域上恒成立。
即方程 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上无变号零点。 设 g ( x) ? ? x ? ax ? (a ? 1) ,根据图象可得
2

-----------------------------------9 分

?? ? 0 ?a ? 或 ? ? 0 ,解得 a ? 2 ??0 ?2 ? g (0) ? 0 ?
∴实数 a 的取值范围为 a ? 2

------------------------------------11 分

------------------------------------12 分
2

12 、( 潍 坊 市 2014 高 三 期 中 ) 已 知 f ( x) ? a l n x ? 1) , g ( x) ? x ? bx , (

F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ,其中 a, b ? R 。
(I)若 y ? f (x) 与 y ? g (x) 的图像在交点(2, k )处的切线互相垂直,求 a, b 的值; (II)若 x ? 2 是函数 F (x) 的一个极值点, x 0 和 1 是 F (x) 的两个零点,且 x 0 ∈ ( n, n ? 1) n ? N ,求 n ; (III) b ? a ? 2 时, x1 ,x 2 是 F (x) 的两个极值点, x1 - x 2 |>1 时, 当 若 当| 求证: F ( x1 ) | - F (x) |>3-4 ln 2 。 解: f ?( x) ?

a , g ?( x) ? 2 x ? b …………………………1 分 x ?1
? f (2) ? g (2) ?0 ? 4 ? 2b ,即 ? ……………………2 分 ? f ?(2) ? g ?(2) ? ?1 ? a ( 4 ? b ) ? ?1

由题知 ?

1 ? ?a ? ? 解得 ? 2 ?b ? ?2 ?
(II) F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) = a ln x ? ( x ? bx) , F ?( x) ?
2

a ? 2x ? b x

?a ? F ?( 2) ? 0 ? ?4?b ? 0 由题知 ? ,即 ? 2 解得 a =6, b =-1……………………6 分 ? F (1) ? 0 ?1 ? b ? 0 ?
∴ F (x) =6 ln x -( x - x ) F ?( x) ? ,
2

6 ? (2 x ? 3)( x ? 2) ? 2x ? 1= x x

∵ x >0,由 F ?(x) >0,解得 0< x <2;由 F ?(x) <0,解得 x >2

∴ F (x) 在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减, 故 F (x) 至多有两个零点,其中 x1 ∈(0,2) x 2 ∈(2, +∞)…………7 分 , 又 F (2) > F (1) =0, F (3) =6( ln 3 -1)>0, F (4) =6( ln 4 -2)<0 ∴ x 0 ∈(3,4) ,故 n =3 ……………………9 分
2

(III)当 b ? a ? 2 时, F (x) = a ln x ? [ x ? (a ? 2) x] ,

F ?( x) ?

a ? (2 x ? a)( x ? 1) , ? 2 x ? (a ? 2) = x x

由题知 F ?(x) =0 在 (0, +∞) 上有两个不同根 x1 ,x 2 , a <0 且 a ≠-2, 则 此时 F ?(x) =0 的两根为-

a ,1,……………………10 分 2
a2 a 2 -1|>1,则 + a +1>1, a +4 a >0 4 2

由题知|-

又∵ a <0,∴ a <-4,此时-

a >1 2

则 F (x) 与 F ?(x) 随 x 的变化情况如下表:

x
F ?(x)
F (x)

(0,1) -

1 0 极小值

(1, - +

a ) 2

- 0

a 2

(- -

a ,+∞) 2

极大值

∴| F ( x1 ) - F (x) |= F (x) 极大值- F (x) 极小值=F(- = a ln( ―

a )―F(1) 2

a 1 2 )+ a ―1,…………11 分 2 4 a 1 2 a 1 设 ? (a) ? a ln(? ) ? a ? 1 ,则 ? ?(a) ? ln(? ) ? a ? 1 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 , ? ??(a) ? ? ,∵ a <-4,∴ >― ,∴ ? ??(a) ? ? >0, a 2 a 4 a 2
∴ ? ?(a) 在(―∞,―4)上是增函数, ? ?(a) < ? ?(?4) ? ln 2 ? 1 ? 0 从而 ? (a ) 在(―∞,―4)上是减函数,∴ ? (a ) > ? (?4) =3-4 ln 2 所以| F ( x1 ) - F (x) |>3-4 ln 2 。

13、 (文登市2014高三期中)设函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2bx. 2

(Ⅰ)当 a ? ?3, b ? 1 时,求函数 f (x) 的最大值; (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ?

1 2 a 1 ,其图象上存在一点 P ( x0 , y0 ) , ax ? 2bx ? ( ? x ? 3 ) 2 x 2

使此处切线的斜率 k ?

1 ,求实数 a 的取值范围; 2

(Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ?

1 2 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值. 2

解:(Ⅰ)依题意, f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? ?3, b ? 1 时, f ( x) ? ln x ?

3 2 x ? 2x , 2

1 1 ? 3x 2 ? 2 x ……………………2 分 f ?( x) ? ? 3x ? 2 ? x x
由 f ?( x) ? 0 ,得 3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ?
2

1 3

由 f ?( x) ? 0 ,得 3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ?
2

1 或 x ? ?1 3

1 1 ? x ? 0 ,? f ( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减; 3 3 1 5 所以 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ? ln 3 ? ,此即为最大值……………………4 分 3 6
(Ⅱ) F ( x) ? ln x ? ∴ a ≥ (?

x ?a 1 a 1 1 , x ? [ ,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? , 在 x0 ? [ ,3] 上有解, x0 2 x 2 2

1 1 1 1 1 2 x0 ? x0 ) min , x0 ? [ ,3] ? ? x0 2 ? x0 ? ? ( x0 ? 1)2 ? 2 2 2 2 2 1 2 9 3 3 所以 当 x0 ? 3 时, ? x 0 ? x 0 取得最小值 ? ? 3 ? ? ,? a ? ? ……………8 分 2 2 2 2
x2 x2 x2 ? (Ⅲ)方法 1 由 2mf ( x) ? x 得 2m ? ,令 G ( x) ? , f ( x) ln x ? x ln x ? x
2

G?( x) ?

x(2 ln x ? x ? 1) (ln x ? x) 2

令 g ( x) ? 2ln x ? x ? 1, g ?( x) ?

2 ? 1 ? 0 ,∴ g ( x) 在 (0, ??) 单调递增,……………10 分 x

而 g (1) ? 0 , ∴在 x ? (0,1), g ( x) ? 0 , G?( x ? , x ?1 ? , ( )g x ? 即 ) 0 在 , ? ( ) 0 ∴ G ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增,……………12 分

, G?( x ? , 即 ) 0

1 2 时方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解. 14 分 2 2 方法 2:因为方程 2mf ( x) ? x 2 有唯一实数解,所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解,
∴ G ( x) 极小值= G (1) ? 1,令 2m ? 1 ,即 m ? 设 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx ,则 g ?( x) ?
2

2 x 2 ? 2mx ? 2m . 令 g ?( x) ? 0 , x
m?
2 m? 4 2

x ? mx ? m ? 0 因 为 m ? 0 x ? ,
2

所 0 , 以 x1 ?

m ? 0 ( 舍 去 ),

m ? m 2 ? 4m , 2 当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减, 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递增, x2 ?
当 x ? x2 时, g ( x) 取最小值 g ( x2 ) . 若方程 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解,
2

……………10 分

则必有 ?

? 2 ? g ( x2 ) ? 0 ? x2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 ? 0 即? 2 ? x2 ? mx2 ? m ? 0 ? g ?( x2 ) ? 0 ?

所以 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0, 因为 m ? 0, 所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0(?) ……………12 分 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时, h( x ) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解. ∵ h(1) ? 0 ,∴方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即

m ? m 2 ? 4m 1 ? 1 ,解得 m ? ………14 分 2 2

14、 (枣庄市 2014 高三期中)已知定义在 R 上的函数 f (x)总有导函数 f '( x) ,定义

x ? R,e=2.71828 一是自然对数的底数. (1)若 f(x)>0,且 f(x)+ f '( x) <0,试分别判断函数 F(x)和 G(x)的单调性: (2)若 f(x)=x2 一 3x+3,x ? R. ①当 x ? [-2, t] (t>1)时,求函数 F(x)的最小值: ②设 g(x)=F(x)+(x 一 2) e ,是否存在[a,b]
x

使得

=[a,b]?若存在,请求出一组 a,b 的值:若不存在,请说明理由.


赞助商链接

相关文档:


更多相关文章:
...届高三最新模拟数学理试题分类汇编4:导数及其应用
福建省各地 2014 届高三最新模拟数学理试题分类汇编 导数及其应用一、选择题 1、 (福建省四地六校 2014 届高三 12 月第三次月考) 已知函数 f ( x) ? sin...
高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编:导数及其应用
北京部分区 2016 届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编 导数及其应用一、选择题 1、(东城区 2016 届高三上学期期中)曲线 A、x=1 B、y= 处的切线方程...
高三数学模拟试题分类汇编导数及其应用(含积分)
广东省各地 2014 届高三 11 月模拟数学理试题分类汇编 导数及其应用一、选择题 1、 (汕头市潮师高级中学 2014 届高三上学期期中)已知函数 y ? f (x) 是...
...届高三上学期考试数学试题分类汇编:导数及其应用 Wo...
江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。江苏省 13 市 2017 高三上学期考试数学试题分类汇编 导数...
...届高三最新考试数学文试题分类汇编:导数及其应用 Wo...
湖北省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。湖北省各地 2017 届高三最新考试数学文试题分类汇编 导数及其...
...学期考试数学文试题分类汇编:导数及其应用 Word版含...
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。北京市部分区 2017 届高三上学期考试数学文试题分类汇编 ...
...学期考试数学理试题分类汇编:导数及其应用 Word版含...
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案...12 、 (北京市第中学 2017 届高三上学期期中) 设函数 f ( x) ? ? a...
...届高三最新考试数学文试题分类汇编:导数及其应用 Wo...
湖北省2017届高三最新考试数学文试题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案 湖北省各地 2017 届高三最新考试数学文试题分类汇编 导数及其应用一、选择、填空题 2017.02...
...2018届高三最新数学文试题分类汇编:导数及其应用 Wo...
湖北省各地2018届高三最新数学文试题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。湖北省各地 2018 届高三最新数学文试题分类汇编 导数及其应用 一...
导数及其应用2014,3,23
导数及其应用2014,3,23_高二数学_数学_高中教育_教育专区。导数应用 2014 届高三上学期期中考试试题分类汇编 导数及其应用一、选择题 1、 (德州市 2014 高三期中...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图