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18学年高中数学第三章统计案例2独立性检验教学案北师大版选修2_3

§2 独立性检验 [对应学生用书P40] 1.2×2 列联表 - 设 A,B 为两个变量,每个变量都可以取两个值,变量 A:A1,A2= A 1;变量 B:B1,B2 - = B 1,用下表表示抽样数据 B A A1 A2 总计 并将此表称为 2×2 列联表. 2.χ 的计算公式 χ = 2 2 B1 a c a+c B2 b d b+d 总计 a+b c+d n=a+b+c+d a+b n ad-bc 2 c+d a+c b+d . 3.独立性判断的方法 (1)当 χ ≤2.706 时,没有充分的证据判定变量 A,B 有关联,可以认为变量 A,B 是没 有关联的; (2)当 χ >2.706 时,有 90%的把握判定变量 A,B 有关联; (3)当 χ >3.841 时,有 95%的把握判定变量 A,B 有关联; (4)当 χ >6.635 时,有 99%的把握判定变量 A,B 有关联. 2 2 2 2 (1)独立性检验是一种假设检验,在对总体的估计中,通过抽取样本,构造合适的统计 量,对假设的正确性进行判断. (2)使用 χ 统计量作 2×2 列联表的独立性检验时, 一般要求表中的 4 个数据都大于 5, 数据越大,越能说明结果的普遍性. 2 [对应学生用书P41] 1 2×2 列联表 [例 1] 在调查的 480 名男性中有 38 名患有色盲, 520 名女性中有 6 名患有色盲, 试作 出性别与色盲的列联表. [思路点拨] 在 2×2 列联表中,共有两类变量,每一类变量都有两个不同的取值,然 后出相应的数据,列表即可. [精解详析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表: 色盲 性别 男 女 患色盲 38 6 不患色盲 442 514 [一点通] 分清类别是作列联表的关键步骤,对所给数据要明确属于那一类. 1.下面是一个 2×2 列联表:则表中 a,b 处的值分别为( ) y1 x1 x2 总计 A.32,40 C.74,82 解析:a=53-21=32,b=a+8=40. 答案:A y2 21 25 46 总计 53 33 a 8 b B.42,50 D.64,72 2.某学校对高三学生作一项调查后发现:在平时的模拟考试中,性格内向的 426 名学 生中有 332 名在考前心情紧张, 性格外向的 594 名学生中在考前心情紧张的有 213 人. 试作 出 2×2 列联表. 解:列联表如下: 性格情况 考前心情 是否紧张 性格 内向 性格 外向 总计 2 考前心情紧张 考前心情不紧张 总计 332 94 426 213 381 594 545 475 1 020 独立性检验的应用 [例 2] (8 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从 该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270 (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? [思路点拨] 解答本题先分析列联表数,后计算 χ ,再与临界值比较,判断两个变量 是否相互独立. [精解详析] (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助, 因此在该地区老 70 年人中,需要帮助的老年人的比例的估计值为 ×100%=14%. 500 分) (2)χ = 2 2 - 200×300×70×430 2 ≈9.967. 分) 因为 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与 性别有关. 分) [一点通] 这类问题的解决方法为先确定 a,b,c,d,n 的值并求出 χ 的值,再与临 界值相比较,作出判断,解题时注意正确运用公式,代入数据准确计算. 2 3.在一个 2×2 列联表中,通过数据计算 χ =8.325,则这两个变量间有关系的可能性 为________. 答案:99% 4.某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生的一些情况,具体数据如 2 3 下表: 非统计专业 男 女 2 统计专业 10 20 13 7 则 χ ≈________,有________的把握判定主修统计专业与性别有关. 解析:χ = 业与性别有关. 答案:4.844 95% 5. (福建高考)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名, 25 周岁以下工人 200 名. 为 研究工人的日平均生产量是否与年龄有关, 现采用分层抽样的方法, 从中抽取了 100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和 “25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组:[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. 2 - 20×30×23×27 2 ≈4.844>3.841,故有 95%的把握认为主修统计专 (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? P(χ 2≥k) k 附:χ = 2 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 a+b n ad-bc 2 c+d a+c b+d 解:(1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60×0.05= 3(人


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