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2011年上海市各区中考数学二模试卷及答案


2011 年上海市徐汇区中考数学二模试卷
一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1.下列运算正确的是( ) A.a +a =a
2 2 4

B.

(a 为实数)

C.a ÷a =a

3

2

D. (a ) =a

2

3

5

2.汶川地震时温总理曾说:“多么小的问题,乘 13 亿,都会变得很大;多么大的经济总量,除以 13 亿,都会变得 很小. ”预计到 2011 年年末, 我国人口总量约达 1 400 000 000 人, 若每人每天浪费 0.5 升水, 全国每天就浪费水 ( ) A.7×10 升
8

B.7×10 升

9

C.6.5×10 升

8

D.6.5×10 升 ) D.第四象限

9

3. (2010?宁洱县)一次函数 y=﹣x+3 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

4.如图,小明为了测量其所在位置 A 点到河对岸 B 点之间的距离,沿着与 AB 垂直的方向走了 10 米,到达点 C, 测得∠ACB=α,那么 AB 的长为( )

A.10cosa 米

B.10sina 米

C.10cota 米

D.10tana 米 )

5.一次体育课上,15 名男生跳高成绩如下表,他们跳高成绩的中位数和众数分别是( 跳高成绩(m) 跳高人数 A.3,5 1.50 1 1.55 3 1.60 2 1.65 5 1.70 3 1.75 1 D.1.65,1.70

B.1.65,1.65

C.1.70,1.65

6.如图,将边长为 3 的等边△ ABC 沿着

平移,则 BC′的长为(



A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 7.在直角坐标平面内,点 A(﹣2,1)关于 y 轴的对称点 A′的坐标是 _________ . 8. (2011?济宁)函数 9.分解因式:2a ﹣8=
2

中,自变量 x 的取值范围是 _________ . _________ .

10.方程 _________ .

的解是

11.方程 2x +x+m=0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 _________ . 12.抛物线 y=﹣2x 向左平移 2 个单位,向上平移 1 个单位后的抛物线的解析式是 _________ . 13.布袋中有除颜色以外完全相同的 8 个球,3 个黄球,5 个白球,从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为 _________ . 14.一次函数 y=kx+b 的图象如图所示,当 y>0 时,x 的取值范围是 _________ .
2

2

15.如图,把一块直角三角板放在直尺的一边上,如果∠2=65°,那么∠1= _________ °.

16.Rt△ ABC 中,AD 为斜边 BC 上的高,若 S△ ABC=4S△ ABD,则

= _________ .

17.如图,在直角坐标平面内,△ ABO 中,∠ABO=90°,∠A=30°,OB=1,如果△ ABO 绕原点 O 按顺时针方向旋 转到 OA′B′的位置,那么点 B′的坐标是 _________ .

18.如图,方格纸中每个小正方形的边长为 1,△ ABC 和△ DEF 的顶点都在格点上(小正方形的顶点) .P1,P2, P3,P4,P5 是△ DEF 边上的 5 个格点,请在这 5 个格点中选取 2 个作为三角形的顶点,使它和点 D 构成的三角形 与△ ABC 相似,写出所有符合条件的三角形 _________ .

三、解答题(共 7 小题,满分 78 分) 19. tan60°.

20.先化简再求值:

,其中



21.作为国际化的大都市,上海有许多优秀的旅游景点.某旅行社对 4 月份本社接待的 2000 名外地游客来沪旅游 的首选景点作了一次调查,调查结果如下图表.

(1)填上频数和频率分布表中空缺的数据,并补全统计图; (2)由于五一黄金周、6 月高三学生放假,该社接待外来旅游的人数每月比上月按,60%的速度增长,预计该旅行 社 6 月将接待外地来沪的游客的人数是 _________ . (3)该旅行社预计 10 月黄金周接待外地来沪的游客将达 5200 人,请你估计首选景点是外滩的人数约是 _________ . 22.如图,正方形 ABCD 中,M 是边 BC 上一点,且 BM= (1)若 试用 .

(2)若 AB=4,求 sin∠AMD 的值.

23.如图,在⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,连接 AC,将△ ACE 沿 AC 翻折得到△ ACF,直线 FC 与 直线 AB 相交于点 G. (1)证明:直线 FC 与⊙O 相切; (2)若 OB=BG,求证:四边形 OCBD 是菱形.

24.如图,已知抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,D 为 OC 的中点,直线 AD 交抛物线 于点 E(2,6) ,且△ ABE 与△ ABC 的面积之比为 3:2. (1)求直线 AD 和抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 F,点 Q 为直线 AD 上一点,且△ ABQ 与△ ADF 相似,直接写出点 Q 点的坐 标.

2

25.在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=4,AD=5,CD=5.E 为底边 BC 上一点,以点 E 为圆心,BE 为 半径画⊙E 交线段 DE 于点 F. (1)如图,当点 F 在线段 DE 上时,设 BE=x,DF=y,试建立 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当以 CD 为直径的⊙O 与⊙E 相切时,求 x 的值; (3)连接 AF、BF,当△ ABF 是以 AF 为腰的等腰三角形时,求 x 的值.

2011 年上海市徐汇区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1.下列运算正确的是( ) A.a +a =a
2 2 4

B.

(a 为实数)

C.a ÷a =a

3

2

D. (a ) =a

2

3

5

考点:同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;二次根式的性质与化简。 专题:计算题。 分析:根据合并同类项的法则,二次根式的性质,同底数幂的除法及幂的乘方的运算性质,对各选项计算后利用排 除法求解. 2 2 2 解答:解:A、根据合并同类项时,把系数相加字母和字母的指数不变,得 a +a =2a ,故选项错误; B、根据二次根式的性质,得 =|a|,故选项错误;
3 2

C、根据同底数幂的除法,底数不变指数相减,得 a ÷a =a,故选项正确; 2 3 6 D、根据幂的乘方,底数不变指数相乘,得(a ) =a ,故选项错误. 故选 C. 点评:本题考查合并同类项的法则,二次根式的性质,同底数幂的除法及幂的乘方的运算性质,属于基础题型,比 较简单. 2.汶川地震时温总理曾说:“多么小的问题,乘 13 亿,都会变得很大;多么大的经济总量,除以 13 亿,都会变得 很小. ”预计到 2011 年年末, 我国人口总量约达 1 400 000 000 人, 若每人每天浪费 0.5 升水, 全国每天就浪费水 ( ) A.7×10 升 B.7×10 升 C.6.5×10 升 D.6.5×10 升 考点:科学记数法—表示较大的数。 专题:计算题。 n 分析: 全国每天浪费的水=每人每天浪费水量×我国总人数, 然后用科学记数法的表示形式为 a×10 的形式, 其中 1≤|a| <10,n 为整数. 解答:解:0.5×1400000000=7×10 , 故选 A. n 点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示 时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 3. (2010?宁洱县)一次函数 y=﹣x+3 的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点:一次函数的性质。 分析:根据比例系数得到相应的象限,进而根据常数得到另一象限,判断即可. 解答:解:∵k=﹣1<0, ∴一次函数经过二四象限; ∵b=3>0, ∴一次函数又经过第一象限, ∴一次函数 y=﹣x+3 的图象不经过第三象限, 故选 C. 点评:用到的知识点为:k<0,函数图象经过二四象限,b>0,函数图象经过第一象限. 4.如图,小明为了测量其所在位置 A 点到河对岸 B 点之间的距离,沿着与 AB 垂直的方向走了 10 米,到达点 C, 测得∠ACB=α,那么 AB 的长为( )
8 8 9 8 9

A.10cosa 米 B.10sina 米 C.10cota 米 D.10tana 米 考点:解直角三角形的应用-方向角问题。 专题:数形结合。 分析:在直角△ ABC 中,已知∠α 及其邻边,求∠α 的对边,根据三角函数定义即可求解. 解答:解:在直角△ ABC 中,tanα= ,

∴AB=10?tanα. 故选 D. 点评:本题考查了解直角三角形的知识,难度不大,注意掌握三角函数的基本概念,及正切的概念和运算. 5.一次体育课上,15 名男生跳高成绩如下表,他们跳高成绩的中位数和众数分别是( 跳高成绩(m) 跳高人数 1.50 1 1.55 3 1.60 2 1.65 5 1.70 3 1.75 1 )

A.3,5 B.1.65,1.65 C.1.70,1.65 D.1.65,1.70 考点:众数;中位数。 专题:图表型。 分析:根据中位数和众数的定义,从小到大(或从大到小)重新排列后,第 8 个数就是中位数,出现次数最多的数 为众数作答. 解答:解:在这 15 个数中,从小到大(或从大到小)重新排列后,处于中间位置的第 8 个数是 1.65,所以中位数 是 1.65. 在这一组数据中 1.65 是出现次数最多的,故众数是 1.65. 所以这 15 名男生跳高成绩的中位数和众数分别是 1.65,1.65. 故选 B. 点评:本题为统计题,考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中 间的那个数(最中间两个数的平均数) ,叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求 重新排列,就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数.

6.如图,将边长为 3 的等边△ ABC 沿着

平移,则 BC′的长为(



A. B. C. D. 考点:等边三角形的性质;平移的性质。 专题:计算题。 分析:过 C′作 C′H⊥A′B 于 H,根据等边三角形的性质求出 AH 的长,根据勾股定理求出 C′H 的长,再根据勾股定 理即可求出答案. 解答:解:过 C′作 C′H⊥A′B 于 H, ∵将边长为 3 的等边△ ABC 沿着 平移得到△ A′B′C′,

∴三角形 A′B′C′是等边三角形,边长等于 3,

∴AH= AB= ,

根据勾股定理得:C′H=

=



BC′= 故选 C.

=

=3



点评:本题主要考查了平移的性质,等边三角形的性质等知识点,解此题的关键是作高求出高的长度. 二、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 7.在直角坐标平面内,点 A(﹣2,1)关于 y 轴的对称点 A′的坐标是 (2,1) . 考点:关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标。 专题:应用题。 分析:根据平面直角坐标系中任意一点 P(x,y) ,关于 y 轴的对称点的坐标是(﹣x,y) ,即关于纵轴的对称点, 纵坐标不变,横坐标变成相反数,这样就可以求出 A 的对称点的坐标. 解答:解:根据平面直角坐标系中关于纵轴的对称点,纵坐标不变,横坐标变成相反数, ∴点 A(﹣2,1)关于 y 轴的对称点是(2,1) . 故答案为: (2,1) . 点评:本题主要考查了平面直角坐标系中关于纵轴的对称点,纵坐标不变,横坐标变成相反数,难度较小. 8. (2011?济宁)函数 中,自变量 x 的取值范围是 x≥0 . 考点:函数自变量的取值范围;二次根式有意义的条件。 分析:根据二次根式的意义,被开方数不能为负数,据此求解. 解答:解:根据题意,得 x≥0. 点评:函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 9.分解因式:2a ﹣8= 2(a+2) (a﹣2) . 考点:提公因式法与公式法的综合运用。 专题:因式分解。 分析:先提取公因式 2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 2 解答:解:2a ﹣8 2 =2(a ﹣4) , =2(a+2) (a﹣2) . 故答案为:2(a+2) (a﹣2) . 点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法 进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
2

10.方程

的解是

x=2 . 考点:解分式方程。 专题:计算题。 分析:观察可得最简公分母是(x+2) ,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解. 解答:解:方程的两边同乘(x+2) ,得 x =4, 解得 x=±2. 经检验:x=﹣2 是原方程的增根. ∴原方程的解为:x=2. 故答案为 x=2. 点评: 本题考查了分式方程的解法: (1) 解分式方程的基本思想是“转化思想”, 把分式方程转化为整式方程求解. (2) 解分式方程一定注意要验根.
2 2

11.方程 2x +x+m=0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是

m<



考点:根的判别式。 2 2 分析:本题是对根的判别式的应用,因为方程 2x +x+m=0 有两个不相等的实数根,所以△ =b ﹣4ac>0,然后列出 关于 m 的不等式求解即可. 解答:解:∵方程 2x +x+m=0 有两个不相等的实数根, 2 ∴△=b ﹣4ac>0, 2 即 1 ﹣4×2×m>0, 解这个不等式得:m< . 故本题答案为: . 点评:总结:一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0? 方程有两个不相等的实数根; (2)△ =0? 方程有两个相等的实数根; (3)△ <0? 方程没有实数根. 12.抛物线 y=﹣2x 向左平移 2 个单位,向上平移 1 个单位后的抛物线的解析式是 2 y=﹣2(x+2) +1 . 考点:二次函数图象与几何变换。 专题:动点型。 分析:易得原抛物线的顶点坐标,及新抛物线的顶点,用顶点式表示出新的抛物线解析式,把新的顶点代入即可. 解答:解:∵原抛物线的顶点为(0,0) ,抛物线 y=﹣2x 向左平移 2 个单位,向上平移 1 个单位后, ∴新抛物线的顶点为(﹣2,1) , 2 设新抛物线的解析式为 y=﹣2(x﹣h) +k, 2 ∴所得抛物线的函数表达式为 y=﹣2(x+2) +1. 2 故答案为:y=﹣2(x+2) +1. 点评:考查二次函数的平移问题;用到的知识点为:平移不改变二次项的系数;平移看顶点的平移即可. 13.布袋中有除颜色以外完全相同的 8 个球,3 个黄球,5 个白球,从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为 . 考点:概率公式。 专题:计算题。
2 2 2

分析:根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 解答:解:根据题意可得:一袋中装有 5 个白球,3 个黄球,共 8 个, 任意摸出 1 个,摸到白球的概率是 . 故答案为: . 点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果, 那么事件 A 的概率 P(A)= .

14.一次函数 y=kx+b 的图象如图所示,当 y>0 时,x 的取值范围是 x<2 .

考点:一次函数的图象。 专题:数形结合。 分析:首先根据图象可知,该一次函数 y=kx+b 的图象经过点(2,0) 、 (0,3) .因此可确定该一次函数的解析式为 y= .由于 y>0,根据一次函数的单调性,那么 x 的取值范围即可确定.

解答:解:由图象可知一次函数 y=kx+b 的图象经过点(2,0) 、 (0,3) . ∴可列出方程组 ,解得 b=3、k= , ,

∴该一次函数的解析式为 y= ∵ <0,y>0,

∴当 y>0 时,x 的取值范围是 x<2. 故答案为 x<2. 点评:本题主要考查了一次函数的图象性质,要掌握一次函数的单调性以及 x、y 交点坐标的特殊性才能灵活解题. 15.如图,把一块直角三角板放在直尺的一边上,如果∠2=65°,那么∠1= 25 °.

考点:平行线的性质。 专题:计算题。 分析:根据平行线的性质得到∠2=∠CDE=65°,因为∠CDF=90°,即可求出∠1 的度数. 解答:解:∵AB∥ED, ∴∠2=∠CDE, ∵∠2=65°, ∴∠CDE=65°, ∵∠CDF=90°,

∴∠1=90°﹣65°=25°, 故答案为:25°.

点评:本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握,能求出∠CDE 的度数是解此题的关键. 16.Rt△ ABC 中,AD 为斜边 BC 上的高,若 S△ ABC=4S△ ABD,则 = .

考点:相似三角形的判定与性质。 分析:利用直角三角形的性质,判定三角形相似,进一步利用相似三角形的面积比等于相似比的性质解决问题. 解答:解:如图, ∵∠CAB=90°,且 AD⊥BC, ∴∠ADB=90°, ∴∠CAB=∠ADB,且∠B=∠B, ∴△CAB∽△ADB, 2 ∴(AB:BC) =△ ADB:△ CAB, 又∵S△ ABC=4S△ ABD,则 S△ ABD:S△ ABC=1:4, ∴AB:BC=1:2.

点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质以及相似三角形的面积比等于相似比. 17.如图,在直角坐标平面内,△ ABO 中,∠ABO=90°,∠A=30°,OB=1,如果△ ABO 绕原点 O 按顺时针方向旋 转到 OA′B′的位置,那么点 B′的坐标是 ( , ) .

考点:坐标与图形变化-旋转。 专题:计算题。 分析:由旋转的性质可知∠B′OA′=∠BOA=90°﹣∠A=60°,OB′=OB=1,过 B′作 B′C⊥x 轴,垂足为 C,解 Rt△ OB′C 求 OC、B′C,确定点 B′的坐标. 解答:解:过 B′作 B′C⊥x 轴,垂足为 C, 由旋转的性质,得∠B′OA′=∠BOA=90°﹣∠A=60°,OB′=OB=1, 在 Rt△ OB′C 中,OC=OB′×cos60°=1× = , B′C=OB′×sin60°=1× ∴点 B′( , ) . = ,

点评:本题考查了坐标系里的旋转变换.关键是明确旋转前后,对应点到旋转中心的距离相等,对应角相等,通过 解直角三角形解题. 18.如图,方格纸中每个小正方形的边长为 1,△ ABC 和△ DEF 的顶点都在格点上(小正方形的顶点) .P1,P2, P3,P4,P5 是△ DEF 边上的 5 个格点,请在这 5 个格点中选取 2 个作为三角形的顶点,使它和点 D 构成的三角形 与△ ABC 相似,写出所有符合条件的三角形 △ DP2P5、△ DP2P4、△ DP4P5 .

考点:相似三角形的判定。 专题:网格型。 分析:设网格的边长为 1,两个三角形的三边对应成比例,那么这两个三角形相似,我们把 D 点和另外两点连接, 三边和△ ABC 对应成比例的三角形即为所求的三角形. 解答:解:设网格的边长为 1. 则 AC= ,AB= ,BC= . 连接 DP2P5, DP5= ,DP2= ,P2P5= . ∵ = = ,

∴△ACB∽△DP5P2. 同理可找到△ DP2P4,DP4P5 和△ ACB 相似. 故答案为:△ DP2P5,DP2P4,DP4P5. 点评:本题是在网格型图形中找相似三角三角形,关键是知道相似三角形的判定定理,三边对应成比例,是相似三 角形. 三、解答题(共 7 小题,满分 78 分) 19. tan60°.

考点:特殊角的三角函数值;二次根式的混合运算。 专题:计算题。 分析:分别根据二次根式、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算 即可. 解答:解: =2 =3 + ﹣( +3 . +3 . ﹣1)+( +1)+ tan60°

故答案为:3

点评:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角 函数值,熟练掌握二次根式及绝对值等考点的运算.

20.先化简再求值:

,其中



考点:分式的化简求值。 专题:计算题。 分析:先把分式的分子、分母因式分解,再把除法转化成乘法,最后计算减法.然后再把 a 的值代入计算即可. 解答:解: 当 时,原式= = . = = ,

点评:本题考查了分式的化简求值.分子、分母能因式分解的先因式分解;除法要统一为乘法运算. 21.作为国际化的大都市,上海有许多优秀的旅游景点.某旅行社对 4 月份本社接待的 2000 名外地游客来沪旅游 的首选景点作了一次调查,调查结果如下图表.

(1)填上频数和频率分布表中空缺的数据,并补全统计图; (2)由于五一黄金周、6 月高三学生放假,该社接待外来旅游的人数每月比上月按,60%的速度增长,预计该旅行 社 6 月将接待外地来沪的游客的人数是 5120 . (3)该旅行社预计 10 月黄金周接待外地来沪的游客将达 5200 人,请你估计首选景点是外滩的人数约是 1690 . 考点:频数(率)分布表;用样本估计总体;条形统计图。 专题:数形结合。 分析: (1)首先根据某一景点的频数与频率求出总人数,再根据频数分布直方图上的数据可填写人民广场的人数, 再求频率即可解答. (2)根据有理数的乘方计算方法列出算式解答即可. (3)用总数乘以频率即可解答. 解答: (1)

; (2)2000×(1+60%)×(1+60%)=5120 人; (3)5200×0.325=1690 人. 故答案为:5120、1690. 点评:本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.读图时要全面细致,同时,解题方法要灵 活多样,切忌死记硬背,要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题.

22.如图,正方形 ABCD 中,M 是边 BC 上一点,且 BM= (1)若 试用



(2)若 AB=4,求 sin∠AMD 的值.

考点:*平面向量。 专题:计算题。 分析: (1)根据正方形的性质和题目中的线段的关系,表示出 DM 的向量; (2)分别在不同的直角三角形中利用勾股定理求得 AM、DM,然后在作出 DM 边上的高,利用面积相等求出此高, 利用三角函数定义求得正弦值即可. 解答:解: (1)∵正方形 ABCD, ∴AD∥BC,AB∥CD,且 AB=CD=BC=AD, ∵BM= ∴ ∴ = = , , = = , =

(2)∵AB=4,且 BM= ∴MC=3,BM=1,



在 Rt△ DMC 中,DM= 在 Rt△ ABM 中,AM= 过点 A 作 AE⊥DM 于 E,S△ ADM= ∴ .

. . ,

在 Rt△ AEM 中,sin∠AMD= 点评:本题考查了平面向量和锐角三角函数的相关知识,在一般三角形中求某角的函数值时,需要首先构造直角三 角形. 23.如图,在⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,连接 AC,将△ ACE 沿 AC 翻折得到△ ACF,直线 FC 与 直线 AB 相交于点 G. (1)证明:直线 FC 与⊙O 相切; (2)若 OB=BG,求证:四边形 OCBD 是菱形.

考点:切线的判定;菱形的判定;翻折变换(折叠问题) 。 专题:证明题。 分析: (1)如图,连接 OC,首先可以由 OA=OC 得到∠1=∠2,根据翻折可以得到∠2=∠3,由此即可证明直线 FC 与⊙O 相切; (2)由于 OB=BG,由直径 AB 垂直弦 CD 可以得到 CB=BD,而 OB=OC=OD,由此可以得到 OB=OC=OD=BD, 然后即可证明题目的结论. 解答:证明: (1)连接 OC, ∵OA=OC,∴∠1=∠2 由翻折得,∠1=∠3,∠F=∠AEC=90°. ∴∠2=∠3. ∴OC∥AF.∴∠OCG=∠F=90°. ∵点 C 在圆上 ∴直线 FC 与⊙O 相切. (2)证法一: 在 Rt△ OCG 中,∵OB=BG,∴ ∵直径 AB 垂直弦 CD,∴ ∴CB=BD,∵OB=OC=OD ∴BC=OC=OD=BD ∴四边形 OCBD 是菱形. 证法二:在 Rt△ OCG 中, ∵OB=BG ,

∴BC= OG=OB, ∵OB=OC, ∴CB=CO ∵AB 垂直于弦 CD, ∴OE=EB ∵直径 AB 垂直弦 CD, ∴CE=ED ∴四边形 OCBD 是平行四边形, ∵AB 垂直于弦 CD, ∴四边形 OCBD 是菱形.

点评:本题考查了切线的判定,垂径定理等知识点.其中要证某直线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心 与这点(即为半径) ,再证垂直即可. 24.如图,已知抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,D 为 OC 的中点,直线 AD 交抛物线 于点 E(2,6) ,且△ ABE 与△ ABC 的面积之比为 3:2. (1)求直线 AD 和抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 F,点 Q 为直线 AD 上一点,且△ ABQ 与△ ADF 相似,直接写出点 Q 点的坐 标.
2

考点:二次函数综合题。 专题:探究型。 分析: (1)先根据△ ABE 与△ ABC 的面积之比为 3:2,E(2,6)可求出 C、D 两点的坐标,用待定系数法可求出 直线 AD 的解析式,进而可求出 A 点坐标,再根据 A、C、E 三点的坐标即可求出抛物线的解析式; (2)先根据△ ABQ 与△ CED 相似求出 B、F 两点的坐标,再根据△ ABQ∽△AFD 或△ ABQ∽△ADF 时三角形的 对应边成比例即可求出 AQ 的长,从而求出 Q 点的坐标. 解答:解: (1)∵△ABE 与△ ABC 的面积之比为 3:2,E(2,6) , ∴C(0,4) ,D(0,2) , 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b, 由题意得 ∴A(﹣1,0) . ,解得 ,直线 AD 的解析式为 y=2x+2,

抛物线经过 A、C、E 三点,得
2

解得



所求抛物线的解析式为:y=﹣x +3x+4. (2)当△ ABQ 与△ CED 相似时, 由(1)有 B(4,0) ,F( ,0) ①若△ ABQ∽△AFD, = ,即 = ,AQ=2 ,Q(1,4)

②若△ ABQ∽△ADF,

=

,即

=

,AQ=

,Q( ,5) .

点评:本题考查的是用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式,相似三角形的判定与性质,在解答(2)时要 注意分类讨论. 25.在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=4,AD=5,CD=5.E 为底边 BC 上一点,以点 E 为圆心,BE 为 半径画⊙E 交线段 DE 于点 F. (1)如图,当点 F 在线段 DE 上时,设 BE=x,DF=y,试建立 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当以 CD 为直径的⊙O 与⊙E 相切时,求 x 的值; (3)连接 AF、BF,当△ ABF 是以 AF 为腰的等腰三角形时,求 x 的值.

考点:切线的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理。 专题:几何综合题。 分析: (1)想要建立线段与线段之间的函数关系式,就要想办法将这些线段构造在一个图形中,故我们可过点 D 作 DG⊥BC 交点 G,利用圆与直线的位置关系和勾股定理,即可容易的得出函数关系式. (2) 本题主要是分情况来讨论, ①是外切; ②是内切; 分别根据各相切之间的关系及函数关系式即可得出 x 的值. (3)这一问主要是利用数据线的全等、勾股定理以及以求得的函数关系式来进行解答. 解答:解: (1)如图 1,过点 D 作 DG⊥BC 于点 G. 可得 DG=AB=4,BG=AD,GC=3,BC=8,EG=5﹣x; 在 Rt△ DEG 中, 2 2 2 2 2 2 ∴DE =EG +DG ,即(x+y) =4 +(5﹣x) ; ∴y= 定义域:0<x≤4; (2)设 CD 的中点 O,连接 EO,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H. OC= ,OH=2,HC= ,EH=8﹣x﹣ ; ①⊙O 与⊙E 外切时,OE=x+ 在 Rt△ OEH 中,OE =OH +EH ,
2 2 2

(负值舍去)

∴2 +(8﹣x﹣ ) =(x+ ) ∴4+x ﹣13x+ ∴18x=40, 化简并解得 x= ;

2

2

2

2

=x +5x+

2



②⊙O 与⊙E 内切时,OE=|x﹣ | 在 Rt△ OEH 中,OE =OH +EH , ∴2 +(8﹣x﹣ ) =(x﹣ ) , ∴4+x ﹣13x+ ∴8x=40, 化简并解得 x=5; 综上所述,当⊙O 与⊙D 相切时,x=5 或 ;
2 2 2 2 2 2 2

=x ﹣5x+

2



(3)如图 2,连接 AF,AE, 当 AF=AB=4 时,由 BE=EF,AE=AE,有△ ABE 和△ AEF 全等, ∴∠AFE=∠ABE=90°,即 AF⊥DE 在 Rt△ AFD 中,DF= 由 y= =3; =3,解得 x=2;

如图 3,当 FA=FB 时,过点 F 作 QF⊥AB 于点 Q,有 AQ=BQ,且 AD∥BC∥FQ, ∴DF=EF, =x,x= (负值舍去) ;

综上所述,当△ ABF 是以 AF 为腰的等腰三角形时, x=2 或 .

点评:本题综合考查了学生对梯形和圆之间的位置关系,利用切线的性质和函数关系式,以及合理的辅助线,方可 对本题有一个完善的解答,本题具有一定的难度,属于压轴性题目,望同学们多加练习和总结.

2011 年上海市闸北区中考数学二模试卷
一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1. 根据国家统计局 1 月 28 日发布 《2010 年国民经济和社会发展统计公报》 , 去年全年国内生产总值﹙GDP﹚为 397983 亿元.用科学记数法保留三个有效数字为( ) 5 5 5 4 A.3.97×10 亿元 B.0.39×10 亿元 C.3.98×10 亿元 D.3.98×10 亿元 2. (2010?丽水)某班 50 名学生的一次英语听力测试成绩分布如下表所示(满分 10 分) : 成绩(分) 人数(人) 0 0 1 0 2 0 3 1 4 0 5 1 6 3 7 5 8 6 9 15 10 19

这次听力测试成绩的众数是( ) A.5 分 B.6 分 C.9 分

D.10 分 )

3. (2010?宁波)下列各图是选自历届世博会徽中的图案,其中是中心对称图形的是(

A.

B.

C. )

D.

4. (2010?嘉兴)设 a>0,b>0,则下列运算错误的是( A. = ? B. = + C. (

) =a

2

D.

=

5. (2006?宜昌)下列四边形①等腰梯形,②正方形,③矩形,④菱形的对角线一定相等的是( A.①②③ B.①②③④ C.①② D.②③



6. (2010?绍兴)已知 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,P3(x3,y3)是反比例函数 y= 的图象上的三点,且 x1<x2<0 <x3,则 y1、y2、y3 的大小关系是( ) A.y3<y2<y1 B.y1<y2<y3

C.y2<y1<y3

D.y2<y3<y1

二、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分)

7.计算:

= _________ .
3

8. (2011?南昌)因式分解:x ﹣x= _________ .

9.不等式组

的解是 _________ .

10.方程 _________ . 11.如果函数
2

的解是

,那么

=

_________ .

12.将二次函数 y=﹣x +2 的图象向右平移 1 个单位后,所得图象的函数解析式是 _________ . 13. (2010?丽水)玉树地震灾区小朋友卓玛从某地捐赠的 2 种不同款式的书包和 2 种不同款式的文具盒中,分别取 一个书包和一个文具盒进行款式搭配,则不同搭配的可能有 _________ 种.

14.如果 与 是互为相反向量,那么

=

_________ .

15.如图,边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无 缝隙) ,若拼成的矩形一边长为 3,则另一边长是 _________ .

16.已知在△ ABC 中,AB=AC=5,BC=8,点 G 为重心,那么 GA= _________ .

17. (2009?鸡西) 如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧 (图中的 垂足为 D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是

) , 点 O 是这段弧的圆心, C是

上一点, OC⊥AB,

_________ m.

18. (2010?金华)如图在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E,F,O 分别是 AB,CD,AD 的中点,以 O 为圆心,以 OE 为半径画弧 EF.P 是 上的一个动点,连接 OP,并延长 OP 交线段 BC 于点 K,过点 P 作⊙O 的切线,分别交 =3,则 BK= _________ .

射线 AB 于点 M,交直线 BC 于点 G.若

三、解答题(共 7 小题,满分 78 分) 19.计算: .

20.解方程:

21. (2010?荆州)2010 年,世博会在我国的上海举行,在网上随机调取了 5 月份中的某 10 天持票入园参观的人数, 绘成下面的统计图.根据图中的信息回答下列问题: (1)求出这 10 天持票入园人数的平均数、中位数和众数; (2)不考虑其它因素的影响,以这 10 天的数据作为样本,估计在世博会开馆的 184 天中,持票入园人数超过 30 万人的有多少天?

22. (1)如图,给出四个条件:①AE 平分∠BAD,②BE 平分∠ABC,③AE⊥EB,④AB=AD+BC.请你以其 中三个作为命题的条件,写出一个能推出 AD∥BC 的正确命题,并加以证明; (2)请你判断命题“如图,AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC.”是否正确,并说明 理由.

23.如图,已知矩形 ABCD 中,BC=6,AB=8,延长 AD 到点 E,使 AE=15,连接 BE 交 AC 于点 P. (1)求 AP 的长; (2)若以点 A 为圆心,AP 为半径作⊙A,试判断线段 BE 与⊙A 的位置关系并说明理由; (3)已知以点 A 为圆心,r1 为半径的动⊙A,使点 D 在动⊙A 的内部,点 B 在动⊙A 的外部,求动⊙A 的半径 r1 的取值范围.

24. (2010?金华)已知点 P 的坐标为(m,0) ,在 x 轴上存在点 Q(不与 P 点重合) ,以 PQ 为边作正方形 PQMN, 使点 M 落在反比例函数 y=﹣ 的图象上.小明对上述问题进行了探究,发现不论 m 取何值,符合上述条件的正方 形只有两个,且一个正方形的顶点 M 在第四象限,另一个正方形的顶点 M1 在第二象限. (1)如图所示,若反比例函数解析式为 y=﹣ ,P 点坐标为(1,0) ,图中已画出一符合条件的一个正方形 PQMN, 请你在图中画出符合条件的另一个正方形 PQ1M1N1,并写出点 M1 的坐标;M1 的坐标是 _________ . (2)请你通过改变 P 点坐标,对直线 M1M 的解析式 y﹦kx+b 进行探究可得 k﹦ _________ ,若点 P 的坐标为 (m,0)时,则 b﹦ _________ ; (3)依据(2)的规律,如果点 P 的坐标为(6,0) ,请你求出点 M1 和点 M 的坐标.

25.直线
2

分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°后得到△ COD,抛物线

y=ax +bx+c 经过 A、C、D 三点. (1)写出点 A、B、C、D 的坐标; (2)求经过 A、C、D 三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点 G 的坐标; (3)在直线 BG 上是否存在点 Q,使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与△ COD 相似?若存在,请求出点 Q 的坐 标;若不存在,请说明理由.

2011 年上海市闸北区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1. 根据国家统计局 1 月 28 日发布 《2010 年国民经济和社会发展统计公报》 , 去年全年国内生产总值﹙GDP﹚为 397983 亿元.用科学记数法保留三个有效数字为( ) 5 5 5 4 A.3.97×10 亿元 B.0.39×10 亿元 C.3.98×10 亿元 D.3.98×10 亿元 考点:科学记数法与有效数字。 分析:科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值是易错点,由于 397983 亿有 14 位,所以可以确定 n=14﹣1=13.有效数字的计算方法是:从左边第一个不是 0 的数字起,后面所有的数字都是 有效数字.用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关,与 10 的多少次方无关. 13 13 解答:解:397983 亿=3.97983×10 ≈3.98×10 . 故选 C. 点评:此题主要考查了科学记数法的表示方法,以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法. 2. (2010?丽水)某班 50 名学生的一次英语听力测试成绩分布如下表所示(满分 10 分) : 成绩(分) 人数(人) 0 0 1 0 2 0 3 1 4 0 5 1 6 3 7 5 8 6 9 15 10 19
n

这次听力测试成绩的众数是( ) A.5 分 B.6 分 C.9 分 D.10 分 考点:众数。 专题:图表型。 分析:本题考查统计的有关知识,众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个,由此即可确定 众数. 解答:解:依题意得 10 在这组实际中出现的次数最多,有 19 次, ∴这组实际的众数为 10 分. 故选 D. 点评:此题考查了众数的定义,注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据,它反映了一组数据的多数水平,一 组数据的众数可能不是唯一的. 3. (2010?宁波)下列各图是选自历届世博会徽中的图案,其中是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

考点:中心对称图形。 分析:根据中心对称图形的概念作答.在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转 180 度,旋转后的图形能和原 图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋转点,就叫做中心对称点. 解答:解:A、不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,使它绕这一点旋转 180 度以后,能够与它本身重 合,即不满足中心对称图形的定义.不符合题意; B、不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,使它绕这一点旋转 180 度以后,能够与它本身重合,即不满 足中心对称图形的定义.不符合题意; C、是中心对称图形,符合题意; D、不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,使它绕这一点旋转 180 度以后,能够与它本身重合,即不满 足中心对称图形的定义.不符合题意. 故选 C.

点评:掌握中心对称图形的概念.特别注意,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合. 4. (2010?嘉兴)设 a>0,b>0,则下列运算错误的是( A. = ? B. = + C. ( ) ) =a
2

D.

=

考点:二次根式的混合运算。 分析:分别根据二次根式的乘除法及二次根式的加法法则进行逐一分析即可. 解答:解:A、正确,符合二次根式乘法的逆运算; B、错误,不符合二次根式的加法法则; C、正确,符合二次根式乘法法则; D、正确,符合二次根式的除法法则. 故选 B. 点评:本题考查的是二次根式的乘除法及加法法则,比较简单. 5. (2006?宜昌)下列四边形①等腰梯形,②正方形,③矩形,④菱形的对角线一定相等的是( A.①②③ B.①②③④ C.①② D.②③ 考点:等腰梯形的性质;菱形的性质;矩形的性质;正方形的性质。 分析:可以根据这四个四边形的性质来进行分析,从而得到答案. 解答:解:等腰梯形的两条对角线相等; 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角; 矩形的对角线相等; 正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角. 所以等腰梯形,正方形以及矩形的对角线一定相等,故选 A. 点评:考查等腰梯形、正方形、矩形、菱形的性质. )

6. (2010?绍兴)已知 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,P3(x3,y3)是反比例函数 y= 的图象上的三点,且 x1<x2<0 <x3,则 y1、y2、y3 的大小关系是( ) A.y3<y2<y1 B.y1<y2<y3 考点:反比例函数图象上点的坐标特征。 专题:函数思想。

C.y2<y1<y3

D.y2<y3<y1

分析:先根据反比例函数 y= 的系数 2>0 判断出函数图象在一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小,再 根据 x1<x2<0<x3,判断出 y1、y2、y3 的大小. 解答:解:∵k>0,函数图象如图,则图象在第一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小, 又∵x1<x2<0<x3, ∴y2<y1<y3. 故选 C.

点评: 本题考查了由反比例函数的图象和性质确定 y2, y1, y3 的关系. 注意是在每个象限内, y 随 x 的增大而减小. 不 能直接根据 x 的大小关系确定 y 的大小关系. 二、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分)

7.计算:

= 2 .

考点:立方根。 分析:求 是多少,即求 8 的立方根是多少,根据立方根的定义即可求解.
3

解答:解:∵2 =8, ∴ =2.
3

点评:本题主要考查了立方根的概念的运用.如果一个数 x 的立方等于 a,即 x 的三次方等于 a(x =a) ,那么这个 数 x 就叫做 a 的立方根,也叫做三次方根.注意:本题求
3

是多少,即求 8 的立方根是多少.

8. (2011?南昌)因式分解:x ﹣x= x(x+1) (x﹣1) . 考点:提公因式法与公式法的综合运用。 2 2 分析:本题可先提公因式 x,分解成 x(x ﹣1) ,而 x ﹣1 可利用平方差公式分解. 3 解答:解:x ﹣x, 2 =x(x ﹣1) , =x(x+1) (x﹣1) . 点评:本题考查了提公因式法,公式法分解因式,先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解,分解因式 一定要彻底.

9.不等式组

的解是 ﹣2<x≤2 .

考点:解一元一次不等式组。 专题:计算题。 分析:把不等式组中不等式的解集在数标轴上表示出来,看两者有无公共部分,从而解出解集. 解答:解: 由①得,x≤2, 由②得,x>﹣2, 把解集在数轴上表示: ,

∴原不等式组的解集是﹣2<x≤2, 故答案为﹣2<x≤2. 点评:主要考查了一元一次不等式解集的求法,其简便求法就是用口诀求解,求不等式组解集的口诀:同大取大, 同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解) . 10.方程 x=2 . 考点:无理方程。 专题:计算题;因式分解。 分析:由于 原方程检验. ,由此可以得到每一个因式等于 0,这样就可以求出方程的解,但是一定要代入 的解是

解答:解:∵ ∴x﹣3=0 或 =0,



∴x=3 或 x=2. 但是当 x=3 时,方程没有意义,所以舍去, 故 x=2. 故答案为:x=2. 点评:此题主要考查了无理方程的解法,一般是把方程两边同时平方确定根号,然后化为整式方程即可求解,但是 求出的方程的解一定代入原方程检验.

11.如果函数 考点:函数值。 分析:把 x=

,那么

=



直接代入函数 f(x)=

即可求出函数值. 时,f( )= = = ﹣1.

解答:解:因为函数 f(x)=

,所以当 x=

点评:本题比较容易,考查求函数值. (1)当已知函数解析式时,求函数值就是求代数式的值; (2)函数值是唯一的,而对应的自变量可以是多个. 12.将二次函数 y=﹣x +2 的图象向右平移 1 个单位后,所得图象的函数解析式是 2 y=﹣(x﹣1) +2 . 考点:二次函数图象与几何变换。 专题:动点型。 分析:易得原抛物线的顶点为(0,2) ,根据相应的平移得到新抛物线的顶点,利用平移不改变二次项的系数及顶 点式可得新抛物线. 解答:解:∵原抛物线的顶点为(0,2) , ∴向右平移 1 个单位后,得到的顶点为(1,2) , 设抛物线的顶点为 y=﹣(x﹣h) +k, 2 ∴可得抛物线 y=﹣(x﹣1) +2. 2 故答案为:y=﹣(x﹣1) +2. 点评:本题考查了二次函数的平移问题;用到的知识点为:二次函数的平移,不改变二次项的系数,改变顶点即可. 13. (2010?丽水)玉树地震灾区小朋友卓玛从某地捐赠的 2 种不同款式的书包和 2 种不同款式的文具盒中,分别取 一个书包和一个文具盒进行款式搭配,则不同搭配的可能有 4 种. 考点:可能性的大小。 分析:列举出所有情况即可. 解答:解:每种书包有 2 种不同款式的文具盒搭配,2 种书包就有 2×2=4 种搭配方式. 点评:注意本题是求总的搭配方式.
2 2

14.如果 与 是互为相反向量,那么 考点:*平面向量。

=



分析:根据互为相反向量的知识,即可求得 + = . 解答:解:∵ 与 是互为相反向量,

∴ + = . 故答案为: . 点评:此题考查了互为相反向量的知识.注意互为相反向量的两个向量的和为 .

15.如图,边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无 缝隙) ,若拼成的矩形一边长为 3,则另一边长是 2m+3 .

考点:完全平方公式的几何背景。 专题:几何图形问题。 分析:由于边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无 缝隙) ,那么根据正方形的面积公式,可以求出剩余部分的面积,而矩形一边长为 3,利用矩形的面积公式即可求出 另一边长. 解答:解:依题意得剩余部分为 2 2 2 2 (m+3) ﹣m =m +6m+9﹣m =6m+9, 而拼成的矩形一边长为 3, ∴另一边长是(6m+9)÷3=2m+3. 故答案为:2m+3. 点评:本题主要考查了多项式除以单项式,解题关键是熟悉除法法则. 16.已知在△ ABC 中,AB=AC=5,BC=8,点 G 为重心,那么 GA= 2 . 考点:三角形的重心;等腰三角形的性质;勾股定理。 专题:计算题。 分析:根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一,利用勾股定理求出 AD 的长,再利用重心的性质即可求 出 GA 的长. 解答:解:∵AB=AC=5,BC=8,点 G 为重心, ∴AD⊥BC,CD= BC= ×8=4, ∴AD= ∴GA=2. 故答案为:2. = =3,

点评:此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握,解答此题的关键是明确等腰三角形的中线、角平分线和垂线 三线合一.此题难度不大,属于基础题.

17. (2009?鸡西) 如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧 (图中的 垂足为 D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是 250

) , 点 O 是这段弧的圆心, C是 m.

上一点, OC⊥AB,

考点:垂径定理的应用;勾股定理。 分析:根据垂径定理和勾股定理可得. 解答:解:设半径为 r, 则 OD=r﹣CD=r﹣50, ∵OC⊥AB, ∴AD=BD= AB, 在直角三角形 AOD 中,AO =AD +OD , 即 r =( ×300) +(r﹣50) =22500+r +2500﹣100r, r=250m. 这段弯路的半径是 250m. 点评:相关链接: 垂径定理:垂直于弦的直径平分并且平分弦所在的弧. 勾股定理:在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. 18. (2010?金华)如图在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E,F,O 分别是 AB,CD,AD 的中点,以 O 为圆心,以 OE 为半径画弧 EF.P 是 上的一个动点,连接 OP,并延长 OP 交线段 BC 于点 K,过点 P 作⊙O 的切线,分别交 =3,则 BK= .
2 2 2 2 2 2 2

射线 AB 于点 M,交直线 BC 于点 G.若

考点:切线的性质。 专题:动点型。 分析:根据 MG 与⊙O 相切得 OK⊥MG.设直线 OK 交 AB 的延长线于点 H,易证∠MGB=∠BHK.根据三角函数 定义,tan∠MGB=tan∠BHK= = ,从而有 AH=3,BH=3BK.因为 AB=2,所以 BH=1,可求 BK.

P 为动点,当 P 接近 F 点时,本题另有一个解. 解答:解: (1)若 OP 的延长线与射线 AB 的延长线相交,设交点为 H.如图 1, ∵MG 与⊙O 相切, ∴OK⊥MG. ∵∠BKH=∠PKG, ∴∠MGB=∠BHK. ∵ =3,

∴tan∠BHK= . ∴AH=3AO=3×1=3,

BH=3BK. ∵AB=2, ∴BH=1, ∴BK= .

(2)若 OP 的延长线与射线 DC 的延长线相交,设交点为 H.如图 2, 同理可求得 BK= .

综上所述,本题应填



点评:此题考查了切线的性质及三角函数等知识点,综合性强,难度较大. 本题需要特别注意有 2 个解,不要漏解. 三、解答题(共 7 小题,满分 78 分) 19.计算: 考点:实数的运算。 分析:由于 ﹣ |= , .3 = ;注意分数指数的意义:
﹣1



=

=

= ,∵1﹣

<0,∴|1

﹣1.利用这些即可求解.

解答:解:原式= = = .

点评:此题主要考查了实数的运算,解题应特别注意:分数指数的分子是该数的次数,分母是该数开方的根指数.

20.解方程: 考点:解一元二次方程-因式分解法;解分式方程。 专题:计算题。 分析:本题的最简公分母是(x+1) (x﹣1) ,方程两边都乘最简公分母,可把分式方程转换为整式方程求解. 解答:解:方程两边都乘(x+1) (x﹣1) , 得(x﹣1) +5(x+1)=4, 2 x ﹣2x+1+5x+5=4, 2 x +3x+2=0, 解得 x=﹣2 或 x=﹣1. 经检验 x=﹣1 是增根. ∴原方程的解是:x=﹣2. 点评: (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,方程两边都乘最简公分母,把分式方程转化为整式方程求解. (2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根. 21. (2010?荆州)2010 年,世博会在我国的上海举行,在网上随机调取了 5 月份中的某 10 天持票入园参观的人数, 绘成下面的统计图.根据图中的信息回答下列问题: (1)求出这 10 天持票入园人数的平均数、中位数和众数; (2)不考虑其它因素的影响,以这 10 天的数据作为样本,估计在世博会开馆的 184 天中,持票入园人数超过 30 万人的有多少天?
2

考点:条形统计图;用样本估计总体;算术平均数;中位数;众数。 专题:图表型。 分析: (1)根据平均数,中位数,众数的概念计算; (2)由样本估计总体. 解答:解: (1)平均数: (20+13+21+18+34+30+31+35+38+31)÷10=27.1(万人) , 这 10 天的人数从小到大的排列为:13,18,20,21,30,31,31,34,35,38, ∴中位数=(30+31)÷2=30.5(万人) , 由于 31 万出现了两次,其它数均为 1 次,故众数是 31(万人) ; (2)估计世博会 184 天中,持票入园超过 30 万人的天数是: .

点评: 本题考查的是条形统计图的综合运用, 读懂统计图, 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. 条 形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.除此之外,本题也考查了平均数、中位数、众数的认识. 22. (1)如图,给出四个条件:①AE 平分∠BAD,②BE 平分∠ABC,③AE⊥EB,④AB=AD+BC.请你以其 中三个作为命题的条件,写出一个能推出 AD∥BC 的正确命题,并加以证明; (2)请你判断命题“如图,AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC.”是否正确,并说明 理由.

考点:全等三角形的判定与性质。 专题:证明题;开放型。 分析: (1)要证明 AD∥BC,无非是要证明∠D 和∠C 互补,可以通过构建全等三角形来将∠D 和∠C 转换成一组 互补角.从而得出平行的结论.可在 AB 上取点 M,使 AM=AD,关键是证三角形 AME,AED 以及三角形 MEB、 BEC 全等,那么缺什么条件,就选什么条件. (2)不正确,根据(1)的推理过程,E 是 CD 中点,是得不出两三角形全等的.因此不正确. 解答:解: (1)如:①②④? AD∥BC. 证明:在 AB 上取点 M,使 AM=AD, 连接 EM,∵AE 平分∠BAD, ∴∠MAE=∠DAE. 又∵AM=ADAE=AE, ∴△AEM≌△AED. ∴∠D=∠AME. 又∵AB=AD+BC, ∴MB=BC. ∴△BEM≌△BCE. ∠C=∠BME, 故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°. ∴AD∥BC. (2)不正确. 作等边三角形 ABM, AE 平分∠BAM,BE 平分∠ABM, 且 AE、BE 交于 E, 连接 EM,则 EM⊥AB, 过 E 作 ED∥AB 交 AM 于 D,交 BM 与 C, 则 E 是 CD 的中点. 而 AD 和 BC 相交于点 M. ∴命题:“AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC”是不正确的.

点评:本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定,本题中通过全等三角形来得出角相等,是解题的关键. 23.如图,已知矩形 ABCD 中,BC=6,AB=8,延长 AD 到点 E,使 AE=15,连接 BE 交 AC 于点 P.

(1)求 AP 的长; (2)若以点 A 为圆心,AP 为半径作⊙A,试判断线段 BE 与⊙A 的位置关系并说明理由; (3)已知以点 A 为圆心,r1 为半径的动⊙A,使点 D 在动⊙A 的内部,点 B 在动⊙A 的外部,求动⊙A 的半径 r1 的取值范围.

考点:圆与圆的位置关系;矩形的性质;点与圆的位置关系;直线与圆的位置关系;相似三角形的判定与性质。 专题:几何综合题。 分析: (1)首先根据四边形 ABCD 是矩形,可证得 AE∥BC,可以列出比例式求出 AP 的值; (2)作 AH⊥BE,垂足为 H,首先求出 BE 的长,然后根据 AB?AE=BE?AH 式子求出 AH 的长,最后比较 AH 和 半径的大小; (3)根据两圆相切,圆心距和半径之间的关系进行解答. 解答:解: (1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AE∥BC, ∴△BPC∽△EPA, ∵AB=8,BC=6, ∴AC=10, ∵ 即 解得: . ,

(2)∵AB=8,AE=15, ∴BE=17. 作 AH⊥BE,垂足为 H, 则 AB?AE=BE?AH, ∴ ∵ , .

∴⊙A 与 BE 相交. (3)如图,点 D 在动⊙A 的内部,点 B 在动⊙A 的外部, 则动圆 A 半径的取值范围为 6<r1<8.

点评:本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点,解答本题的关键是利用好三角形相似和垂径定理等知识点,本题 比较复杂,需要同学们做题时认真仔细.

24. (2010?金华)已知点 P 的坐标为(m,0) ,在 x 轴上存在点 Q(不与 P 点重合) ,以 PQ 为边作正方形 PQMN, 使点 M 落在反比例函数 y=﹣ 的图象上.小明对上述问题进行了探究,发现不论 m 取何值,符合上述条件的正方 形只有两个,且一个正方形的顶点 M 在第四象限,另一个正方形的顶点 M1 在第二象限. (1)如图所示,若反比例函数解析式为 y=﹣ ,P 点坐标为(1,0) ,图中已画出一符合条件的一个正方形 PQMN, 请你在图中画出符合条件的另一个正方形 PQ1M1N1,并写出点 M1 的坐标;M1 的坐标是 (﹣1,2) . (2)请你通过改变 P 点坐标,对直线 M1M 的解析式 y﹦kx+b 进行探究可得 k﹦ ﹣1 ,若点 P 的坐标为(m,0) 时,则 b﹦ m ; (3)依据(2)的规律,如果点 P 的坐标为(6,0) ,请你求出点 M1 和点 M 的坐标.

考点:反比例函数综合题;正方形的性质。 专题:探究型。 分析: (1)根据要求,画出符合条件的另一个正方形 PQ1M1N1,即可写出点 M1 的坐标; (2)由于四边形 PQMN 与四边形 PQ1M1N1 都是正方形,结合图象分析,可得出 M1、P、M 三点共线,再求得直 线 M1M 的斜率,代入 P 点坐标,求得 b=m; (3)依据(2)的规律,如果点 P 的坐标为(6,0) ,则直线 M1M 的解析式为 y=﹣x+6,又点 M(x,y)在反比例 函数 y=﹣ 的图象上,故 x?(﹣x+6)=﹣2,解此方程,求出 x 的值,进而得出点 M1 和点 M 的坐标. 解答:解: (1)如图,画出符合条件的另一个正方形 PQ1M1N1, 则容易看出 M1 的坐标为(﹣1,2) ; (2)由于四边形 PQMN 与四边形 PQ1M1N1 都是正方形, 则∠MPN=∠Q1PM1=45°,∠Q1PN1=90°,∴∠M1PM=180°, ∴M1、P、M 三点共线,由 tan∠Q1PM1=1, 可知不管 P 点在哪里,k﹦﹣1; 把 x=m 代入 y=﹣x+b,得 b=m; (3)由(2)知,直线 M1M 的解析式为 y=﹣x+6, 则 M(x,y)满足 x?(﹣x+6)=﹣2, 解得 x1=3+ ,x2=3﹣ , ∴y1=3﹣ ,y2=3+ . ∴M1,M 的坐标分别为(3﹣ ,3+ ) , (3+

,3﹣

) .

点评:此题综合考查了反比例函数的性质,正方形等多个知识点.此题难度稍大,综合性比较强,注意对各个知识 点的灵活应用. 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°后得到△ COD,抛物线

25.直线
2

y=ax +bx+c 经过 A、C、D 三点. (1)写出点 A、B、C、D 的坐标; (2)求经过 A、C、D 三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点 G 的坐标; (3)在直线 BG 上是否存在点 Q,使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与△ COD 相似?若存在,请求出点 Q 的坐 标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。 专题:计算题。 分析: (1)求出直线与 x 轴、y 轴的交点坐标,得到△ AOB,旋转后得到△ COD,由图即可得到点 A、B、C、D 的 坐标; (2)设出二次函数的一般式,将 A、C、D 三点的坐标代入列出方程组即可求解; (3)先假设存在,根据相似三角形的判定列出比例式,计算点 Q 的坐标,若能计算出来,则存在;否则不存在. 解答:解: (1)A(3,0) ,B(0,1) ,C(0,3) ,D(﹣1,0) ; (4 分) (2)∵抛物线 y=ax +bx+c 经过 C 点, ∴c=3. (1 分) 又∵抛物线经过 A,C 两点, ∴ 解得
2 2

, (2 分)

∴y=﹣x +2x+3(1 分)

∴y=﹣x +2x+3=﹣(x﹣1) +4, ∴顶点 G(1,4) . (1 分) (3)解:过点 G 作 GH⊥y 轴垂足为点 H, ∵ , , ∵tan∠BAO= ,tan∠GBH= , ∴∠GBH=∠BAO(1 分) ∵∠BAO+∠ABO=90°, ∴∠GBH+∠ABO=90°, ∴∠GBA=90°, ∴∠ABQ=∠DOC=∠AOB(1 分) ①当 即 ∴BQ= , (1 分) 时,△ ODC∽△BQA,

2

2

过点 Q 作 QN⊥y 轴,垂足为点 N,设 Q(x,y) , ∵ , , ,

∵tan∠GBH= , ∴BN=1, ∴ , (2 分)

②同理可得:Q3(3,10) ,Q4(﹣3,﹣8) . (2 分)

点评:此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题、旋转变换及待定系数法求函数解析式及点的存在性问题,综 合性很强,难度较大,要仔细对待.

上海市浦东新区 2011 年 4 月中考模拟数学试卷
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.下列各式中,正确的是 (A) a 6 ? a 6 ? a 12 ; (C) (?a 2 ) 3 ? (?a 3 ) 2 ; ( )

(B) a 4 ? a 4 ? a16 ; (D) (a ? b) 2 ? (b ? a) 2 . ) (C) 8x ; (D) x 2 ? y 2 .

2.下列根式中,属于最简二次根式的是( (A)

1 ; x

(B) x 2 y ;

3.如果反比例函数 y ? (A) (

1 ,2) ; 2

k 的图像经过点(-1,2) ,那么这个反比例函数的图像一定经过点( x 1 (B) ( ? ,2) ; (C) (2,-1) ; (D) (-2,-1) . 2



4.为了奖励学习有进步的学生,老师请小杰帮忙到文具店买了 20 本练习簿和 10 支水笔,共花了 36 元.已知每支 水笔的价格比每本练习簿的价格贵 1.2 元,如果设练习簿每本为 x 元,水笔每支为 y 元,那么下面列出的方程组中 正确的是( )

? x ? y ? 1.2 , (A) ? ?20 x ? 10 y ? 36 ; ? x ? y ? 1.2 , (C) ? ?10 x ? 20 y ? 36 ;

? y ? x ? 1.2 , (B) ? ?20 x ? 10 y ? 36 ; ? y ? x ? 1.2 , (D) ? ?10 x ? 20 y ? 36 .

5.已知在△ABC 中,点 D、点 E 分别在边 AB 和边 AC 上,且 AD=2DB,AE=2EC, AB ? a , AC ? b ,用 a 、 b 表示 向量 DE 正确的是( (A) ) (B)

1 1 a ? b; 2 2

1 1 b? a; 2 2

(C)

2 2 a ? b; 3 3

(D)

2 2 b? a. 3 3

6.下列说法中,正确的是( ) (A)每个命题都有逆命题; (B)每个定理都有逆定理; (C)真命题的逆命题也是真命题; (D)假命题的逆命题也是假命题. 二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7. (?3) 2 的平方根等于 8.函数 y ? .

2 x ?1

的定义域是



9.方程

1 的解是 2



10.如果关于 x 的方程 2 x ? a ? x 的一个根为 3,那么 a=



11.已知关于 x 的方程 x 2 ? mx ? ?2 有两个相等的实数根,那么 m 的值是



12.在一次函数 y ? (4 ? m) x ? 2m 中,如果 y 的值随自变量 x 的值增大而减小,那么这个一次函数的图像一定不经 过第 象限. 13. 请写出一个图像的对称轴为 y 轴, 且经过点 (2,-4) 的二次函数解析式, 这个二次函数的解析式可以是 . 14.如果从数字 1、2、3、4 中,任意取出两个数字组成一个两位数,那么这个两位数是奇数的概率是 . 15.正十边形的中心角等于 度. 16.已知⊙O 的直径为 6cm,点 A 在直线 l 上,且 AO=3cm,那么直线 l 与⊙O 的位置关系是 . 17.已知在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD=CD,AC⊥AB,那么 cot B = . 18.已知在三角形纸片 ABC 中,∠C=90 度,BC=1,AC=2,如果将这张三角形纸片折叠,使点 A 与点 B 重合,折痕 交 AC 于点 M,那么 AM= . 三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 求不等式组 ? x ? 5

?4 x ? x ? 6 , ? 2 x ? 7 的整数解. ? ? 3 ? 2

20. (本题满分 10 分) 先化简,再求值:

x2 ?1 x 2 ? 2x ? ? x ,其中 x ? 2 . x 2 ? 2 x ? 1 x 2 ? 3x ? 2

21. (本题满分 10 分) 如图, 已知 AB 是⊙O 的直径, CD⊥AB, 垂足为点 E, 如果 BE=OE, 的周长. A O

C

AB=10cm,求△ACD B

E D

22. (本题满分 10 分) 在 2010 年上海世博会举行期间,某初级中学组织全校学生参观

(第 21 题图)

世博园,亲身体验

“城市让生活更美好”的世博理念.为了解学生就学校统一组织参观过的 5 个场馆的最喜爱程度,随机抽取该校部 分学生进行问卷调查(每人应选且只能选一个场馆),数据整理后,绘制成如下的统计图:
学生数(名) 64 45 男生 女生

38 30 20 10 15 30

42

6 最喜爱的场馆

航空馆 汽车馆 泰国馆 中国馆 震旦馆 (第 22 题图)

请根据统计图提供的信息回答下列问题: (1)本次随机抽样调查的样本容量是 ; (2)本次随机抽样调查的统计数据中,男生最喜爱场馆的中位数是 名; (3)估计该校女生最喜爱泰国馆的约占全校学生数的 %(保留三个有效数字) ; (4)如果该校共有 2000 名学生,而且六、七、八年级学生人数总和比九年级学生人数的 3 倍还多 200 名,试 通过计算估计该校九年级学生最喜爱中国馆的人数约为多少名?

23. (本题满分 12 分,其中每小题各 6 分) 已知:如图,在△ABC 中,M 是边 AB 的中点,D 是边 BC 延长线上一点,DC= (1)求证:MN∥BC; (2)当∠ACB 为何值时,四边形 BDNM 是等腰梯形?并证明你的猜想. A M B N

1 BC,DN∥CM,交边 AC 于点 N. 2

C
(第 23 题图)

D

24. (本题满分 12 分,其中第(1)小题 3 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 5 分) 如图,已知在直角坐标平面内,点 A 的坐标为(3,0) ,第一象限内的点 P 在直线 y=2x 上,∠PAO=45 度. (1)求点 P 的坐标; (2)如果二次函数的图像经过 P、O、A 三点,求这个二次函数的解析式,并写出它的图像的顶点坐标 M; (3)如果将第(2)小题中的二次函数的图像向上或向下平移,使它的顶点落在直线 y=2x 上的点 Q 处,求△ APM 与△APQ 的面积之比. y
3 2 1

O

1

2

3

x

(第 24 题图)

25. (本题满分 14 分,其中第(1)小题 3 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 6 分) 如图,已知在△ABC 中,AB=4,BC=2,以点 B 为圆心,线段 BC 长为半径的弧交边 AC 于点 D,且∠DBC=∠BAC, P 是边 BC 延长线上一点,过点 P 作 PQ⊥BP,交线段 BD 的延长线于点 Q.设 CP=x,DQ=y. (1)求 CD 的长; (2)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)当∠DAQ=2∠BAC 时,求 CP 的值. A

Q D B C
(第 25 题图)

P

2011 年浦东新区中考数学预测卷参考答案及评分说明
一、选择题: 1.D; 2.D; 3.C; 4.B; 5.D; 6.A. 二、填空题: 7. ? 3 ; 8. x > ? 1 ; 9. x ? 2 ; 10.3; 11. ? 2 2 ; 12.三;

13. y ? ? x 2 等(满足 4 a ? c ? ?4 即可) ; 17.

14.

1 ; 2

15.36;

16.相交或相切;

3 5 ; 18. . 3 4 三、解答题: 19.解:由①得 x > ? 2 .?????????????????????????(2 分) 由②得 x ≤ 1 . ??????????????????????????(2 分) ∴原不等式组的解集为 ? 2 < x ≤ 1 . ????????????????(3 分) ∴原不等式组的整数解为 ?1,0,1. ????????????????(3 分)
20.解:原式 ?

( x ? 1)( x ? 1) x( x ? 2) 1 ? ? ????????????????(2 分) 2 ( x ? 2)( x ? 1) x ( x ? 1)

x ?1 1 ????????????????????????(2 分) ? x ?1 x ?1 x .??????????????????????????(2 分) ? x ?1 ?
当 x ? 2 时,原式 ? 21.解:联结 OC. ∵AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB,∴ CE ? DE ?

2 2 ?1

? 2 ? 2 .???????????????(4 分)

1 CD .?????????(2 分) 2

∵AB=10cm,∴AO=BO=CO=5cm.?????????????????(1 分) ∵BE=OE,∴ BE ? OE ?

5 15 cm, AE ? cm.????????????(1 分) 2 2

在 Rt△COE 中,∵CD⊥AB,∴ OE 2 ? CE 2 ? OC 2 . ∴ CE ?

5 3 cm.?????????????????????????(2 分) 2

∴ CD ? 5 3 cm.?????????????????????????(1 分) 同理可得 AC ? 5 3 cm, AD ? 5 3 cm.???????????????(2 分) ∴△ACD 的周长为 15 3 cm.????????????????????(1 分) 22.解: (1)300; ????????????????????????????(2 分) (2)30;?????????????????????????????(2 分) (3)12.7﹪;???????????????????????????(2 分) (4)设该校九年级学生人数为 x 名.?????????????????(1 分) 根据题意,得 2000 ? x ? 3 x ? 200 .??????????????(1 分) 解方程,得 x ? 450 .????????????????????(1 分) ∴

64 ? 42 . ? 450 ? 159 (名) 300

答:估计该校九年级学生喜欢中国馆的人数约为 159 名.??????(1 分) 23. (1)证法一:取边 BC 的中点 E,联结 ME.???????????????(1 分) ∵BM=AM,BE=EC,∴ME∥AC.???????????????(1 分) ∴∠MEC=∠NCD. ∵ CD ?

1 BC ,∴ CD ? CE . 2

∵DN∥CM,∴∠MCE=∠D. ∴△MEC≌△NCD.?????????????????????(1 分) ∴ CM ? DN . ????????????????????????(1 分) 又∵CM∥DN,∴四边形 MCDN 是平行四边形.?????????(1 分) ∴MN∥BC.?????????????????????????(1 分) 证法二:延长 CD 到 F,使得 DF ? CD ,联结 AF.??????????(1 分)

1 BC , CD ? DF ,∴ BC ? CF .????????????(1 分) 2 ∵ BM ? AM ,∴MC∥AF.??????????????????(1 分)
∵ CD ? ∵MC∥DN,∴ND∥AF.???????????????????(1 分) 又∵ CD ? DF ,∴ CN ? AN .?????????????????(1 分) ∴MN∥BC.?????????????????????????(1 分) (2)解:当∠ACB=90°时,四边形 BDNM 是等腰梯形.??????????(1 分) 证明如下: ∵MN∥BD,BM 与 DN 不平行,∴四边形 BDNM 是梯形.?????(2 分) ∵∠ACB=90°, BM ? AM ,∴ CM ? BM ? AM . ???????(2 分) ∵ CM ? DN ,∴BM ? DN. ??????????????????(1 分) ∴四边形 BDNM 是等腰梯形. 24.解: (1)过点 P 作 PH⊥OA,垂足为点 H. ∵点 P 在直线 y ? 2 x 上,∴设点 P 的坐标为 ( x,2 x) .???????(1 分) ∵∠PAO=45°,PH⊥OA,∴∠PAO=∠APH=45°. ∴PH=AH=2x. ∵点 A 的坐标为(3,0) ,∴ x ? 2 x ? 3 . ∴ x ? 1 .??????????????????????????(1 分) ∴点 P 的坐标为(1,2) .????????????????????(1 分) (2)设所求的二次函数解析式为 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) . ∵图像经过 P(1,2) 、O(0,0) 、A(3,0)三点,

?2 ? a ? b ? c , ? ∴ ?0 ? c , ??????????????????????(1 分) ?0 ? 9a ? 3b ? c . ? ?a ? ?1 , ? 解得 ?b ? 3 , ?????????????????????????(1 分) ?c ? 0 . ?
∴所求的二次函数解析式为 y ? ? x 2 ? 3x .????????????(1 分)

3 9 , ) .??????????????????(1 分) 2 4 3 (3)根据题意,得点 Q 的坐标为( ,3) .?????????????(1 分) 2 1 1 9 ∵ S ?AQO ? ? 3 ? 3 ? , S ?APO ? ? 3 ? 2 ? 3 , 2 2 2 1 1 9 1 1 3 9 15 S四边形AMPO ? ? 1 ? 2 ? ? (2 ? ) ? ? ? ? ? , 2 2 4 2 2 2 4 4 15 3 ∴ S ?APM ? ? 3 ? ,????????????????????(2 分) 4 4
顶点 M 的坐标为(

9 3 ? 3 ? .?????????????????????(1 分) 2 2 1 ∴△APM 与△APQ 的面积之比为 .??????????????(1 分) 2 3 另解:根据题意,得点 Q 的坐标为( ,3) .?????????????(1 分) 2 3 3 设图像的对称轴与直线 AP 相交于点 N,则点 N 的坐标为( , ) . 2 2 9 3 3 3 3 ∴ MN ? ? ? , QN ? 3 ? ? . 4 2 4 2 2 1 ∴ MN ? QN .???????????????????????(1 分) 2 S ?APQ ?


S ?PMN 1 S ?AMN 1 ? , ? .??????????????????(2 分) S ?PQN 2 S ?AQN 2

∴△APM 与△APQ 的面积之比为

1 .??????????????(1 分) 2

25.解: (1)∵∠DBC=∠BAC,∠BCD=∠ACB,∴△BDC∽△ABC.??????(1 分)

CD BC .????????????????????????(1 分) ? BD AB ∵ AB ? 4 , BC ? BD ? 2 ,∴ CD ? 1 .?????????????(1 分)
∴ (2)∵BC=BD,∴∠BCD=∠BDC. ∵∠DBC=∠BAC,∠BCD=∠ACB,∴∠ABC=∠BDC. ∴∠ABC=∠ACB. ∴AC=AB=4.?????????????????????????(1 分) 作 AH⊥BC,垂足为点 H. ∴BH=CH=1. 作 DE⊥BC,垂足为点 E,可得 DE∥AH.

CE CD CE 1 ,即 ? ? . CH CA 1 4 1 7 ∴ CE ? , BE ? . ????????????????????(1 分) 4 4 1 x? y DQ EP 4 . ??????????(1 分) 又∵DE∥PQ,∴ ,即 ? ? 7 2 BD BE 4
∴ 整理,得 y ?

8 2 x ? .?????????????????????(1 分) 7 7

定义域为 x>0.????????????????????????(1 分) (3)∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA,∠DCB=∠ABD+∠DBC, ∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA. ∵∠DAQ=2∠BAC,∠BAC=∠DBC,∴∠ABD=∠DQA.??????(1 分) ∴AQ=AB=4. ????????????????????????(1 分) 作 AF⊥BQ,垂足为点 F,可得 QF ? ∴ 32 ? (

y?2 y?2 , DF ? . 2 2

y?2 2 y?2 2 ) ? 42 ? ( ) .????????????????(1 分) 2 2 7 解得 y ? . ?????????????????????????(1 分) 2

8 2 7 x ? ? . ???????????????????????(1 分) 7 7 2 45 45 解得 x ? ,即 CP ? .???????????????????(1 分) 16 16


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闵行区 2010 学年第二学期九年级质量调研考试 数 学 试 卷
(考试时间 100 分钟,满分 150 分) 考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题. 2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答 题一律无效. 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1.数轴上任意一点所表示的数一定是 (A)整数; (A) (-3,2) ; (B)有理数; (B) (-2,-3) ; (C)无理数; (C) (-2, 3) ; (D)实数. (D) (2,3). 2.已知点 A 与点 B(2,-3)关于 y 轴对称,那么点 A 的坐标为

3.用换元法解分式方程 (A) y 2 ? y ? 3 ? 0 ; (C) 3 y 2 ? y ? 1 ? 0 ;

x2 ? 1 3 x x2 ?1 ? 2 +1 ? 0 ,如果设 ? y ,那么原方程化为关于 y 的整式方程是 x x ?1 x
(B) y 2 ? 3 y ? 1 ? 0 ; (D) 3 y 2 ? y ?1 ? 0 .

4.已知直线 y ? k x ? b 经过第一、二、三象限,那么直线 y ? b x ? k 一定不经过 (A)第一象限; (B)第二象限; 5.关于长方体有下列三个结论: ① 长方体中每一个面都是长方形;② 长方体中每两个面都互相垂直; ③ 长方体中相对的两个面是全等的长方形. 其中结论正确的个数有 (A)0 个; (B)1 个; (C)2 个; (D)3 个. 6.已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 3、5,⊙O1 上一点 A 与⊙O2 的圆心 O2 的距离等于 6,那么下列关于⊙O1 和⊙O2 的位置关系的结论一定错误的是 (A)两圆外切; (B)两圆内切; (C)两圆相交; (D)两圆外离. (C)第三象限; (D)第四象限.

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.计算: ( 2 a3 )2 ? 8.分解因式: x3 ? 2 x ? ▲ ▲ . .

9.已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? 4 x ? m ? 0 有两个实数根,那么 m 的取值范围 是 ▲ . ▲ . ▲ . 10.方程 2 x ? 3 ? x 的解是 11.已知函数 f ( x ) ?

1 ,那么 f ( ? 1) ? 1? 2 x

12.写出一个反比例函数的解析式,使其图像在每个象限内,y 的值随 x 的值的增大而增大,那么这个函数的解析 式可以是 ▲ .(只需写出一个符合题意的函数解析式)
2

13.将二次函数 y ? 2( x ?1) ? 3 的图像沿着 y 轴向上平移 3 个单位,那么平移后的二次函数图像的顶点坐标是 ▲ . ▲ . ▲ . 14.掷一枚质地均匀的骰子,掷得的点数是合数的概率为

???? ??? ? ? ??? ? ? 15. 已知: 在△ABC 中, DE // BC, 点 D、 E 分别在边 AB、 AC 上, 且 AD = 2BD, 如果 AB ? a , 那么 DE = AC ? b , ? ? (用向量 a 、 b 的式子表示)
16. 某飞机在 1500 米的上空测得地面控制点的俯角为 60°, 那么此时飞机与地面控制点的距离为 果保留根号) ▲

米. (结

17.经过测量,不挂重物时弹簧长度为 6 厘米,挂上 2.5 千克的重物时弹簧长度为 7.5 厘米,那么弹簧长度 y(厘米) 与所挂重物的质量 x(千克)的函数解析式为 ▲ . 18. 已知: 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°, AC = BC, AB = 6. 如 平行移动 2 个单位后得 △ A′B′C′ ,那么 △ CA′B 的面积为 三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 先化简,再求值: x ? 1 ? ( x ? 1 ) ,其中 x ? 2 ? 2 . x x 20. (本题满分 10 分) A
(第 18 题图)

C

果将△ ABC 在直线 AB 上 ▲ .

B

?2( x ? 1) ? 3 x ? 4 , 解不等式组: ? 并把解集在数轴上表示出来. ? 4 x 3 x ?1 ? ? 2 . ? 4 ? 3
-1 0 1

21. (本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 已知:如图,BC 是⊙O 的弦,点 A 在⊙O 上,AB = AC = 10, sin ?ABC ? 求: (1)弦 BC 的长; (2)∠OBC 的正切的值. O B C A
4 . 5

(第 21 题图)

22. (本题共 3 小题,第(1)小题 3 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 4 分,满分 10 分) 某校九年级 260 名学生进行了一次数学测验,随机抽取部分学生的成绩进行分析,这些成绩整理后分成五组, 绘制成频率分布直方图 (如图所示) , 从左到右前四个小组的频率分别为 0.1、 0.2、 0.3、 0.25, 最后一组的频数为 6. 根 据所给的信息回答下列问题: (1)共抽取了多少名学生的成绩? (2)估计这次数学测验成绩超过 80 分的 0.030 (3) 如果从左到右五个组的平均分分别为 那么估计这次数学测验成绩的平均分约为多
0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.1 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 分数 (第 22 题图) 0.2 0.3 0.25

频率 组距

学生人数约有多少名? 55、68、74、86、95 分, 少分?

23. (本题共 2 小题, 每小题 6 分, 满分 12 分) 已知:如图,在直角梯形 ABCD 中,AD // BE⊥CD, 垂足为点 E, 点 F 在 BD 上, 联结 AF、 (1)求证:AD = ED; (2)如果 AF // CD,求证:四边形 ADEF 是菱形.

BC , AB⊥AD , BC = CD , EF.

A

D

F

E

B

(第 23 题图)

C

… … … … … 24. (本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 3 分,满分 12 分) … … … 如图,已知:抛物线 y ? x2 ? b x ? 3 与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C,并且 = OC. … OA … … … (1)求这条抛物线的解析式; y … … (2)过点 C 作 CE // x 轴,交抛物线于点 E,设抛物 线的顶点为点 D,试判 … … l … 断△CDE 的形状,并说明理由; … (3)设点 M 在抛物线的对称轴 l 上,且△MCD 的面 积等于△ CDE 的面积, … … 请写出点 M 的坐标(无需写出解题步骤) . … O x A B … … … E C … … D … … … (第 24 题图) 25. (本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2) 、 (3) 小题每小题 5 分,满分 …密 … 14 分) …封 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,联结 BE,∠ABE = 30°,BE = DE,联结 BD.点 M 为线段 DE 上的任意 … … 线 一点,过点 M 作 MN // BD,与 BE 相交于点 N. … (1)如果 AB ? 2 3 ,求边 AD 的长; …内 … (2)如图 1,在(1)的条件下,如果点 M 为线段 DE 的中点,联结 CN.过点 M 作 MF⊥CN,垂足为点 F,求 …不 … …准 …

线段 MF 的长; (3)试判断 BE、MN、MD 这三条线段的长度之间有怎样的数量关系?请证明你的结论. E M E M

A N

D

A

D

N F

B
(第 25 题图)

C

B
(图 1)

C

闵行区 2010 学年第二学期九年级质量调研考试 数学试卷参考答案以及评分标准
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.D;2.B;3.A;4.D;5.C;6.B. 二.填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
1 1 7. 4 a 6 ;8. x ( x ? 2 )( x ? 2 ) ;9. m ? 4 ;10.x = 3;11. 3 ;12. y ? ? (正确即可) ;13. (1,0) ;14. ; x 3 3 ? ? 5. 2 b ? 2 a ;16. 1000 3 ;17. y ? 3 x ? 6 ;18.6 或 12. 3 3 5

三.解答题(本大题共 7 题,满分 78 分)
2 19.解:原式 ? x ? 1 ? x ? 1 ???????????????????????(2 分) x x

? ?

x ?1 x ? 2 ???????????????????????(2 分) x x ?1 1 .?????????????????????????(2 分) x ?1

当 x ? 2 ? 2 时, 原式 ?
1 ????????????????????????(1 分) 2 ? 2 ?1

?

1 2 ?1

? 2 ? 1 .????????????????????????(3 分)
20.解:由 得 解得
2 (x ? 1 ? ) x3 ? , 4
? x ? 2 .?????????????????????????(3 分) x ? ?2 .

由 得 解得

4 x 3x ? 1 ? ? 2, 3 4
. 7x ? 2 1
x ? 3 .?????????????????????????(3 分)

所以,原不等式组的解集为 ?2 ? x ? 3 .?????????????(2 分) 在数轴上画出不等式组的解集正确.???????????????(2 分)

21.解: (1)联结 AO,AO 的延长线与弦 BC 相交于点 D. 在⊙O 中,∵ AB = AC,∴

? .??????????(1 分) A B? ?A C
4 , 5

又∵ AD 经过圆心 O,∴ AD⊥BC,BC = 2BD.???????(1 分) 在 Rt△ ABD 中, AB = 10, sin ?ABC ? ∴
4 A D? A B ?s i n ? A B C ? 1 0? 5

. ? 8 ????????????(2 分)

于是,由勾股定理得 (2)设⊙O 的半径 OB = r.

B D?

A2 B ? A2D? 1 0 2 ?8 2 ?. 6

∴ BC = 12.???????????????????????(1 分) 在⊙O 中,由 OA = OB = r,得 OD = 8 – r. 在 Rt△ OBD 中,利用勾股定理,得 即得 解得 ∴
25 .∴ 4
BD2 ? OD2 ? OB2 ,

36 ? (8 ? r )2 ? r 2 .??????????????????(2 分)
r? OB ? 25 .???????????????(1 分) 4

OD ? 8 ?

25 7 ? .???????????????????(1 分) 4 4



7 OD 4 7 .???????????????(1 分) tan ?OBC ? ? ? BD 6 2 4

22.解: (1)最后一组的频率为 1 – 0.1 – 0.2 – 0.3 – 0.25 = 0.15. ??????(1 分) 所以 6 ÷ 0.15 = 40(名) . ?????????????????(1 分) 所以,共抽取了 40 名学生的成绩.?????????????(1 分) (2)成绩超过 80 分的组频率之和为 0.25 +0.15 = 0.4.???????(1 分) 所以 0.4 ×260 = 104(名) .????????????????(1 分) 所以,估计这次数学测验超过 80 分的学生人数约有 104 名.??(1 分) (3)五个组的频数分别为 4、8、12、10、6.???????????(1 分) 加权平均数为
v? ? 5 5? 4? 6 8 ? 8 ? 7? 4 1? 2 8 ?6 ? 1 0 ?9 5 6 ????(1 分) 4 ? 8 ? 1 2? 1 0 ? 6 3082 ? 77.05 .??????????????(1 分) 40

所以,估计这次数学测验成绩的平均分约为 77.05 分. ?????(1 分 23.证明: (1)∵ BC = CD,∴ ∠CDB =∠CBD.???????????(1 分) ∵ ∴ AD // BC,∴ ∠ADB =∠CBD. ∠ADB =∠CDB.??????????????????(1 分) ∠BAD =∠BED = 90°. ???(1 分)

又∵ AB⊥AD,BE⊥CD,∴

于是,在△ABD 和△EBD 中, ∵ ∴ ∴ ∴ ∠ADB =∠CDB,∠BAD =∠BED,BD = BD, △ABD≌△EBD.??????????????????(2 分) AD = ED.?????????????????????(1 分) ∠AFD =∠ADF,即得 AF = AD. ??????????(1 分)

(2)∵ AF // CD,∴ ∠AFD =∠EDF. ???????????(1 分) 又∵ AD = ED,∴ AF = DE. ?????????????(1 分) 于是,由 AF // DE,AF = DE, 得四边形 ADEF 是平行四边形.??????????????(2 分) 又∵ AD = ED, ∴ 四边形 ADEF 是菱形.????????????????(1 分) C(0,-3) .??????????(1 分)

24.解: (1)当 x = 0 时,得 y = -3.∴

∵ OA = OC,∴ OA = 3,即得 A(-3,0) . ???????(1 分) 由点 A 在抛物线 y ? x2 ? b x ? 3 上, 得
9? 3 b ? 3? . 0

解得 b = 2.???????????????????????(1 分) ∴ 所求抛物线的解析式是 y ? x2 ? 2 x ? 3 .??????????(1 分) (2)由 CE // x 轴,C(0,-3) ,可设点 E(m,-3) . 由点 E 在抛物线 y ? x2 ? 2 x ? 3 上, 得 . m2 ? 2 m ? 3? ? 3

解得 m1 = -2,m2 = 0. ∴ E(-2,-3) . ????????????????????(1 分) 又∵

y ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 4 ,

∴ 顶点 D(-1,-4) .??????????????????(1 分) ∵

CD ? ( ? 1 ? 0) 2 ? ( ? 4 ? 3) 2 ? 2 , ED ? ( ? 1 ? 2) 2 ? ( ? 4 ? 3) 2 ? 2 ,
CE = 2,
2 2 CD ? ED ?

∴ CD = ED,且

. C2 E

∴ △ CDE 是等腰直角三角形. ??????????????(3 分) (3)M1(-1,-2) ,M2(-1,-6) . ????(3 分,其中只写出一个得 2 分) 25.解: (1)由矩形 ABCD,得 AB = CD,∠A =∠ADC = 90°. 在 Rt△ABE 中,∵ ∠ABE = 30°, AB ? 2 3 , ∴
3 A E? A B ?t a n ? A B E ? 2 3? 3

, ? 2BE = 2AE = 4.????(2 分)

又∵ BE = DE,∴ DE = 4. 于是,由 AD = AE +DE,得 (2)联结 CM. 在 Rt△ABD 中, BD ? AB2 ? AD2 ? 12 ? 36 ? 4 3 .?????(1 分) ∴ BD = 2AB,即得 ∠ADB = 30°. ∵ MN // BD,∴ ∠AMN =∠ADB = 30°.??????????(1 分) 又∵ MN // BD,点 M 为线段 DE 的中点, AD = 6.???????????(2 分)

∴ DM = EM = 2, MN ? EM ? 1 . BD ED 2 ∴
MN ? 1 BD ? 2 3 .??????????????????(1 分) 2

在 Rt△CDM 中, tan ?CMD ? CD ? 2 3 ? 3 . MD 2 ∴ ∠CMD = 60°,即得 CM = 4,∠CMN = 90°.??????(1 分) 由勾股定理,得

CN ? MN 2 ? CM 2 ? 12 ?16 ? 2 7 .
4 2 1 ???????????(1 分) . 7

于是,由 MF⊥CN,∠CMN = 90°, 得

MF ?

MN ? CM 2 3? 4 ? ? CN 2 7

(3) BE ? DM ? 3 MN . ???????????????????(1 分) 3 证明如下:过点 E 作 EF⊥BD,垂足为点 F. ∵ BE = DE,EF⊥BD,∴ BD = 2DF.??????????(1 分) 在 Rt△DEF 中,由 ∠EDB = 30°, 得
3 D F? D E ?c o s ? E D B ? 2

,即得 DE

.????(1 分) B D? 3 B E

∵ MN // BD, ∴
MN E N DM BN , ,即得 ? ? BD E B DE BE

MN EN ,BN = DM. ? 3 BE BE



E N?

3 .????????????????????(1 分) MN 3
B E? D M ? 3 3

于是,由 BE = BN +EN,得

1 分) M.??????( N

2011 年宝山、嘉定学业考试数学模拟卷
(时间:100 分钟,满分:150 分)
考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷 上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) [每小题只有一个正确选项,在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂] 1.下列根式中,与 2 为同类二次根式的是(▲) (A)
1 ; 2

(B) 2a ;

(C) 0.2 ;

(D) 12 .

2.关于二次函数 y ? 2 ? ( x ? 1) 2 的图像,下列判断正确的是(▲) (A)图像开口向上; (C)图像有最低点; (B)图像的对称轴为直线 x ? 1 ; (D)图像的顶点坐标为( ? 1 ,2).

3.关于等边三角形,下列说法不 正确的是(▲) . (A)等边三角形是轴对称图形; (B)等边三角形是中心对称图形;

(C)等边三角形是旋转对称图形;
2

(D)等边三角形都相似.

4.把一块周长为 20cm,面积为 20 cm 的纸片裁成四块形状、大小完全相同的小三角形纸片(如图 1) ,则每块小 三角形纸片的周长和面积分别为(▲) (A)10cm,5 cm ; (C)5cm,5 cm ; (A) e1 ? e2 ;
2 2

(B)10cm,10 cm ; (D)5cm,10 cm . (B) a ? ?b ; (C) a ? b ;
2

2

(图 1)

5.已知 e1 、 e2 是两个单位向量,向量 a ? 2e1 , b ? ?2e2 ,那么下列结论中正确的是(▲) (D) a ? ? b . 6.图 2 反映了一辆汽车从甲地开往乙地的过程中,汽车离开甲地的距离 s(千米)与所用时间 t(分)之间的函数 关系.已知汽车在途中停车加油一次,根据图像,下列描述中,不 正确的是(▲) . S (千米) (A)汽车在途中加油用了 10 分钟; (B)汽车在加油前后,速度没有变化; (C)汽车加油后的速度为每小时 90 千米; (D)甲乙两地相距 60 千米. 二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7.计算: (?a) 2 ? a ?
2

60 30 0 25 35 55 t (分)

(图 2)

▲ . ▲ .

8.计算:

m m ? ? m ?1 m ?1

9.在实数范围内分解因式: x 2 ? 2 x ? 2 = ▲ . 10.方程 2x ? 3 ? ? x 的解为: ▲ . ▲ . 11.已知 f ( x) ? 2 x 3 ?1,且 f (a) ? 3 ,则 a ?

12.已知函数 y ? kx ? k ? 2 的图像经过第一、三、四象限,则 k 的取值范围是 ▲ . 13.把抛物线 y ? x 2 ? 2 x 向左平移一个单位,所得抛物线的表达式为: ▲ . 14.已知关于 x 的方程 x 2 ? 4 x ? m ? 0 ,如果从 1、2、3、4、5、6 六个数中任取一个数作为方程的常数项 m ,那么 所得方程有实数根的概率是 ▲ .

15.如图 3,已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=5,CD=3,AD=BC=4,则 cos ?DAB ? ▲ . 16.如图 4,小芳与路灯相距 3 米,她发现自己在地面上的影子(DE)长 2 米,如果小芳的身高为 1.6 米,那么路 灯离地面的高度(AB)是 ▲ D C B C A (图 3) B A D (图 4) E A O1 O (图 5) O2 B 米. O3

17.如图 5,已知 AB 是⊙O 的直径,⊙O1、⊙O2 的直径分别是 OA、OB,⊙O3 与⊙O、 ⊙O1、⊙O2 均相切,则⊙O3 与⊙O 的半径之比为 ▲ .

18.已知 A 是平面直角坐标系内一点,先把点 A 向上平移 3 个单位得到点 B,再把点 A 绕点 B 顺时针方向旋转 90° 得到点 C,若点 C 关于 y 轴的对称点为(1,2) ,那么点 A 的坐标是 ▲ . 三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分)

[将下列各题的解答过程,做在答题纸上]
1

19. (本题满分 10 分) 计算: ( 3 ? 1) 2 ? (?8) 3 ? 6 ( 3 ? 2 ) ?1 .

20. (本题满分 10 分,每小题满分 5 分) 如图 6,已知一个正比例函数与一个反比例函数的 图像在第一象限的交点为 A(2,4). (1)求正比例函数与反比例函数的解析式; (2)平移直线 OA ,平移后的直线与 x 轴交于点 B, 与反比例函数的图像在第一象限的交点为 C(4,n). 求 B、C 两点的距离. O x y A (2, 4)

(图 6) 21. (本题满分 10 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 4 分) 如图 7,△ABC 中,AB=AC, cos ?ABC ? 4 ,点 D 在边 BC 上,BD=6,CD=AB. 5 A (1) 求 AB 的长; (2) 求 ?ADC 的正切值. C (图 7) 22. (本题满分 10 分,每小题各 5 分) 如图 8,已知 B 是线段 AE 上一点, ABCD 和 BEFG 都是正方形,联结 AG 、 CE . (1) 求证: AG = CE ; (2) 设 CE 与 GF 的交点为 P, 求证: PG ? PE . CG AG D C P

B

D

G

F

A (图 8) 23. (本题满分 12 分,每小题各 4 分)

B

E

为了了解学生关注热点新闻的情况, “两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了 调查,调查结果统计如图 9 所示(其中男生收看 3 次的人数没有标出). 根据上述信息,解答下列各题: (1) 该班级女生人数是 ▲ ,女生收看“两会”新闻次数的中位数是 ▲ ; (2) 对于某个群体,我们把一周内 收看某热点新闻次数不低于 3 次的人 数占其所在群体总人数的百分比叫做 该群体对某热点新闻的“关注指数”.
7 6 5 4 3 2 1 人数(人)

女生 男生

O

0

1

2

3

4

5

次数(次)

如果该班级男生对“两会”新闻 的“关注指数”比女生低 5%,试求 该班级男生人数; (3) 为进一步分析该班级男、女生 收看“两会”新闻次数的特点,小明 给出了男生的部分统计量(如表 1). 根据你所学过的统计知识,适当 计算女生的有关统计量,进而比较该 班级男、女生收看 “两会”新闻次数 的波动大小. 24. (本题满分 12 分,每小题各 4 分) 如图 10,已知抛物线 y ? ? x 2 ? bx ? c 与 x 轴负半轴交于点 A ,与 y 轴正半轴交于点 B ,且 OA ? OB . (1) 求 b ? c 的值; (2) 若点 C 在抛物线上,且四边形 OABC 是 平行四边形,试求抛物线的解析式; (3) 在(2)的条件下,作∠OBC 的角平分线, 与抛物线交于点 P,求点 P 的坐标. A O x y B C (表 1)
统计量 该班级男生 平均数 (次) 中位数 (次) 众 数 (次) 方差 ?? ??

3

3

4

2

(图 10) 25. (本题满分 14 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 5 分) 如图 11,已知⊙O 的半径长为 1,PQ 是⊙O 的直径,点 M 是 PQ 延长线上一点,以点 M 为圆心作圆,与⊙O 交于 A、B 两点,联结 PA 并延长,交⊙M 于另外一点 C. (1) 若 AB 恰好是⊙O 的直径,设 OM=x,AC=y,试在图 12 中画出符合要求的大致图形,并求 y 关于 x 的函数解析 式; (2) 联结 OA、MA、MC,若 OA⊥MA,且△OMA 与△PMC 相似,求 OM 的长度和⊙M 的半径长; (3) 是否存在⊙M,使得 AB、AC 恰好是一个正五边形的两条边?若存在,试求 OM 的长度和⊙M 的半径长;若不 存在,试说明理由. C A P M Q M

P

O B
图 11

Q

O

图 12

P

O

Q

备用图

宝山 2011 年九年级数学模拟测试评分参考
一、1. A; 二、7. a ; 11. 15.
3
3

2. D; 8. m ;

3. B;

4. A;

5. C;

6. B. 10. x ? ?1 ; 14.

9. ( x ? 1 ? 3)(x ? 1 ? 3) ; 13. y ? x 2 ? 1 ; 17. 1 : 3 ;

2;

12. 0 ? k ? 2 ; 16. 4;

2 ; 3

1 ; 4

18. (2,?1) .

三、19.解:原式= 4 ? 2 3 ? 2 ?

6 3? 2

(5 分) (2 分) (2 分) (1 分) (1 分)

= 2 ? 2 3 ? 6( 3 ? 2) =2?2 3 ?3 2 ? 2 3 =2?3 2

20.解(1)设正比例函数的解析式为 y ? k1 x ,反比例函数的解析式为 y ? k 2 x 根据题意得: 4 ? k1 ? 2 , 4 ? 解得: k1 ? 2 , k 2 ? 8 所以,正比例函数的解析式为 y ? 2 x ,反比例函数的解析式为 y ? (2)因为点 C(4,n)在反比例函数 y ? 所以, n ?
k2 2

(2 分)

8 . (2 分) x

8 的图像上 x
(1 分) (1 分)

8 ? 2 ,即点 C 的坐标为 ( 4,2) 4

因为 AO∥BC,所以可设直线 BC 的表达式为 y ? 2 x ? b 又点 C 的坐标为 ( 4,2) 在直线 BC 上

所以, 2 ? 2 ? 4 ? b ,解得 b ? ?6 ,直线 BC 的表达式为 y ? 2 x ? 6 直线 BC 与 x 轴交于点 B,设点 B 的坐标为 (m,0) 可以得: 0 ? 2m ? 6 ,解得 m ? 3 ,所以点 B 的坐标为 (3,0) (1 分) ∴ BC ? 5 ????????1 分 21.解: (1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H ∵ AB ? AC ∴ BH ? HC ? 1 BC
2

(1 分)

(1 分) (1 分)

设 AB ? AC ? CD ? x ∵ BD ? 6 ∴ BC ? x ? 6 ,
BH ? x?6 2

(1 分)

4 在 Rt△ AHB 中, cos ?ABC ? BH ,又 cos ?ABC ? 5 AB

x?6 2 ?4 ∴ x 5 解得: x ? 10 ,所以 AB ? 10
(2) BH ? HC ? 1 BC ? 8
2
DH ? CD ? CH ? 10 ? 8 ? 2
2 2 2

(2 分) (1 分)

(1 分) (1 分)

在 Rt△ AHB 中, AH ? BH ? AB ,又 AB ? 10 ,∴ AH ? 6 在 Rt△ AHD 中, tan ?ADC ? AH ? 6 ? 3
DH 2

∴ ?ADC 的正切值是 3 22.证明: (1)∵四边形 ABCD 和 BEFG 是正方形

(2 分)

∴ AB ? CB , BG ? BE , ?ABG ? ?CBE ? 90? (3 分) ∴△ ABG ≌△ CBE ∴ AG ? CE (2)∵ PG ∥ BE ∴ PG ? CG , BG ? PE
BE CB

(1 分) (1 分)

CB

CE

(2 分)

∵ BG ? BE , AG ? CE ∴ PG ? BG , BG ? PE
CG CB

CB

AG

(2 分) (1 分)

∴ PG ? PE
CG

AG

23.(1)20 (2 分) , 3 (2 分) ; (2)由题意:该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为 所以,男生对“两会”新闻的“关注指数”为 60 % 设该班的男生有 x 人 x ? (1 ? 3 ? 6) 则 ? 60 % x 答:该班级男生有 25 人. (3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为

13 ? 100 % ? 65% (1 分) 20
(1 分)

(1 分) ,

解得: x ? 25

(1 分)

1? 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? 6 ? 4 ? 5 ? 5 ? 2 ? 3, 20
女生收看“两会”新闻次数的方差为:

(2 分)

2(3 ? 1) 2 ? 5(3 ? 2) 2 ? 6(3 ? 3) 2 ? 5(3 ? 4) 2 ? 2(3 ? 5) 2 13 ? 20 10

因为 2 ?

13 ,所以男生比女生的波动幅度大. 10

(2 分) (1 分) (1 分) (1 分) (1 分)

24.解: (1)由题意得:点 B 的坐标为 (0, c ) ,其中 c ? 0 , OB ? c ∵ OA ? OB ,点 A 在 x 轴的负半轴上,∴点 A 的坐标为 (?c,0)
2 ∵点 A 在抛物线 y ? ? x ? bx ? c 上,∴ 0 ? ?c ? bc ? c
2

∴ b ? c ?1

(因为 c ? 0 )

(2)∵四边形 OABC 是平行四边形 ∴ BC ? AO ? c ,又 BC ∥ x 轴,点 B 的坐标为 (0, c ) ∴点 C 的坐标为 (c, c ) 又点 C 在抛物线上,
2 ∴ c ? ?c ? bc ? c ∴ b ? c ? 0 或 c ? 0 (舍去)

(1 分)

(1 分)

又 由(1)知: b ? c ? 1 ∴b ?

1 1 ,c ? . 2 2

抛物线的解析式为 y ? ? x ?
2

1 1 x? . 2 2

(2 分)

(3)过点 P 作 PM ? y 轴, PN ? BC ,垂足分别为 M 、 N ∵ BP 平分 ?CBO ∴ PM ? PN (1 分)

1 1 ? x2 ? x ? ) 设点 P 的坐标为 ( x, 2 2 1 1 1 ∴ ? (? x 2 ? x ? ) ? x 2 2 2 3 解得: x ? 或 x ? 0 (舍去) (1 分) 2
所以,点 P 的坐标为 ( 3 ,? 1 ) 2 2 25.(1)图画正确 过点 M 作 MN ? AC ,垂足为 N ∴ AN ? NC ? (1 分)

(1 分)

(1 分)

1 y 2 由题意得: PM ? AB , 又 AB 是圆 O 的直径
∴ OA ? OP ? 1 ∴ PN ? ∴ ?APO ? 45? , PA ?

2
(1 分)

2?

1 y 2
PN PM

在 Rt△ PNM 中, cos ?NPM ? 又 PM ? 1 ? x , ?NPM ? 45 ? ∴ cos45? ?

2?

1 y 2 ? 2 1? x 2

∴ y 关于 x 的函数解析式为 y ? (2)设圆 M 的半径为 r

2x ? 2

( x ? 1)

(2 分)

因为 OA⊥MA,∴∠OAM=90°, OM ?

r 2 ?1

又△OMA 与△PMC 相似,所以△PMC 是直角三角形。 因为 OA=OP,MA=MC,所以∠CPM、∠PCM 都不可能是直角。 所以∠PMC=90°. 又 ?AOM ? 2? P ≠∠P, 所以,∠AMO=∠P (1 分) (1 分)

即若△OMA 与△PMC 相似,其对应性只能是点 O 与点 C 对应、点 M 与点 P 对应、点 A 与点 M 对应.



AM AO , ? PM MC



1 ? , 1? r ?1 r
2

r

解得 r ?

3

(2 分)

从而 OM ? 2 所以, OM ? 2 ,圆 M 的半径为 3 . (1 分)

(3)假设存在⊙M,使得 AB、AC 恰好是一个正五边形的两条边 联结 OA、MA、MC、AQ,设公共弦 AB 与直线 OM 相交于点 G 由正五边形知 ?AMB ? ?AMC ?

360 ? ? 72? , ?BAC ? 108 ? 5

(1 分)

∵ AB 是公共弦,所以 OM ? AB , ?AMO ? 36? , 从而 ?P ? 18? , ?AOM ? 2?P ? 36? ∴ ?AOM ? ?AMO ∴ AM ? AO ? 1,即圆 M 的半径是 1 ∵ OA ? OQ ? 1 , ?AOM ? 36? ∴ ?AQO ? 72? ∴ ?QAM ? ?AQO ? ?AMO ? 36? ∴ △ MAQ ∽△ MOA ∴
AM MQ ? OM AM

(1 分)

(1 分)

∵ AM ? 1 , MQ ? OM ? 1 ∴ ∴
1 ? 5 (负值舍去) 1 OM ? 1 ,解得: OM ? ? OM 1 2
OM ? 5 ?1 2

(2 分)

所以,存在⊙M,使得 AB、AC 恰好是一个正五边形的两条边, 此时的 OM ? 5 ? 1 ,圆 M 的半径是 1 . 2

虹口区 2011 年初三年级数学学科中考练习题
(满分 150 分,考试时间 100 分钟)
2011.4 考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题; 2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效; 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) [下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.] 1.一个数的相反数是 ?2 ,则这个数是 A. ?

1 2

B.

1 2

C. 2

D. ?2

2.一元二次方程 x ? x ? 1 ? 0 的根的情况是
2

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.有一个实数根为 1 D.没有实数根 3.袋中有 3 个红球,4 个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同.在看不到球的条件下,随机从袋中摸出 1 个球,则摸出白球的概率是 A.

1 4

B.

1 7

C. 4

D.

4 7

4.若点 ( x0,y0 ) 在函数 y ?

y
O

k ( x ? 0 )的图像上,且 x0 y0 ? ?1 ,则它的图像大致是 x y y y
O

x

x

O

x

O D.

x

C. B. A. 5.图中的尺规作图是作 A.线段的垂直平分线 B.一条线段等于已知线段 C.一个角等于已知角 D.角的平分线 6.下列命题中,假命题是 A.两腰相等的梯形是等腰梯形 B.对角线相等的梯形是等腰梯形 C.两个底角相等的梯形是等腰梯形 D.平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形 二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7.计算: 8 ? 2 = 8.分解因式: xy ? x 2 = 9.不等式 2( x ? 1) ? 4 的解集是 10.用换元法解方程 方程为 ▲ ▲ ▲ ▲ . . .

第 5 题图

x ?1 x ?1 x2 ? ? 2 ? 0 时,可设 2 ? y ,则原方程可化为关于 y 的整式 2 x x x ?1
. ▲ .

11.方程 x ? 2 ? x 的解是

12.将抛物线 y ? 2 x 2 ? 1向上平移 4 个单位后,以所得抛物线为图像的二次函数解析式是 ▲ . 13. 一次函数 y ? kx ? b 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 ?3 ,且当 x ? 1 时, y ? ?1 ,则该一次函数的解析式是 ▲ .
2

14.甲、乙两支排球队的人数相等,且平均身高都是 1.86 米,方差分别为 S甲2=0.35 , S乙 =0.27 ,则身高较整齐 的球队是 ▲ 队. ▲ .

? 1? ? ? ( a ? b) ? ( a ? b) = 15.计算: 2 2

16.如图,直线 a // b ,点 B 在直线 b 上,且 AB ? BC , ?1 ? 40? ,则 ? 2 = A A C 1 a 2 B 第 16 题图
30° 45°

▲ C

度.

G B A D 第 18 题图

b

D

C 第 17 题图

B

17.如图,用线段 AB 表示的高楼与地面垂直,在高楼前 D 点测得楼顶 A 的仰角为 30 ? ,向高楼前进 60 米到 C 点, 又测得楼顶 A 的仰角为 45 ? , 且D 、 C 、 B 三点在同一直线上, 则该高楼的高度为 ▲ 米(结果保留根号). 18.如图,点 G 是 △ ABC 的重心,CG 的延长线交 AB 于 D ,GA ? 5 ,GC ? 4 ,GB ? 3 ,将 △ ADG 绕点 D 顺 时针方向旋转 180 得到 △BDE ,则 △EBC 的面积 ?
?



.

三、解答题(本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 化简: (

a ?1 1 a2 ? 2 )? . a ? 1 a ? 2a ? 1 a ? 1

20. (本题满分 10 分) 解方程组: ?

? x ? y ? 1, ? x ? 3xy ? 2 y ? 0.
2 2

① ②

21. (本题满分 10 分) 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,圆心 O 在这个三角形的高 AD 上,AB=10,BC=12. 求⊙O 的半径. A

O B D 第 21 题图 C

22. (本题满分 10 分,第(1)小题 2 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 4 分) 为了解某校初三男生 1000 米长跑、女生 800 米长跑的成绩情况,从该校初三学生中随机抽取了 10 名男生和 10 名女生进行测试, 将所得的成绩分别制作成如下的表 1 和图 1, 并根据男生成绩绘制了不完整的频率分布直方图 (图 2) . 表1 男生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 编号 男生 3′05〞 3′11〞 3′53〞 3′10〞 3′55〞 3′30〞 3′25〞 3′20〞 3′27〞 4′10〞 成绩
3'50" 3'45" 17 3'40" 17 5 3'35" 17 5 3'30" 17 5 3'25" 16

女生成绩

3'49"

频率 组距
0.020 0.015 0.010 0.005

3'43" 169

169
3'27"

3'33"

169
3'21"

0 3'20" 16 5 3'15" 15 0

169 3'21"
3'16"
3'10" 169

169

169

3'10"

3'10" 3'10"

(1)根据表 1,补全图 2; (2)根据图 1,10 名女生成绩的中位数是___________,众数是________; (3)按规定,初三女生 800 米长跑成绩不超过 3′19〞就可以得满分.该校初三学生共 490 人,其中男生比女 生少 70 人.如果该校初三女生全部参加 800 米长跑测试,请你估计可获得满分的人数约为多少? 23. (本题满分 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 如图,EF 是平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的垂直平分线,EF 与边 AD、BC 分别交于点 E、F. (1)求证:四边形 BFDE 是菱形; E D (2)若 E 为线段 AD 的中点,求证:AB⊥BD. A O A B 24. (本题满分 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 在平面直角坐标系中,抛物线 y ? x2 ? bx ? c 经过点(0,2)和点(3,5) . (1)求该抛物线的表达式并写出顶点坐标; (2)点 P 为抛物线上一动点,如果直径为 4 的 ⊙P 与 y 轴相切,求点 P 的坐标. F 第 23 题图

C

y
5 4 3 2 1 -1 -1 第 24 题图
O 1

y ? x 2 ? bx ? c

2

3

4 x

25. (本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AB=3,AC=4,AD 是 BC 边上的高,点 E、F 分别是 AB 边和 AC 边上的动点, 且∠EDF= 90°. (1)求 DE︰DF 的值; (2)联结 EF,设点 B 与点 E 间的距离为 x ,△DEF 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值 范围; (3)设直线 DF 与直线 AB 相交于点 G,△EFG 能否成为等腰三角形?若能,请直接写出线段 BE 的长;若不能, 请说明理由. A E F B D 第 25 题图 C B D 备用图 1 C B D 备用图 2 C A A

2011 年虹口区中考数学模拟练习卷
答案要点与评分标准
说明: 2011.4 1.解答只列出试题的一种或几种解法.如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准相应评分; 2.第一、二大题若无特别说明,每题评分只有满分或零分; 3.第三大题中各题右端所注分数,表示考生正确做对这一步应得分数; 4.评阅试卷,要坚持每题评阅到底,不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如果考生的解答在某一步 出现错误,影响后继部分而未改变本题的内容和难度,视影响的程度决定后继部分的给分,但原则上不超过后继部 分应得分数的一半; 5.评分时,给分或扣分均以 1 分为基本单位. 一、选择题: (本大题共 6 题,满分 24 分) 1 .C ; 2.B; 3.D; 4.B ; 二、填空题: (本大题共 12 题,满分 48 分) 7. 2 ; 11. x ? 2 ; 15. a ? 2b ; 8. x( y ? x) ; 12. y ? 2x2 ? 3 ; 16.50; 9. x ? 3 ; 13. y ? 2 x ? 3 ; 17. (30 3 ? 30) ; 10. y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 ; 14.乙; 18.12.

5.A;

6.C.

?

?

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19.解:原式= [

a ?1 1 a ?1 ? ] ? 2 ???????????????????(4 分) 2 a ? 1 (a ? 1) a

?
?

a2 ? 1 ? 1 a ? 1 ???????????????????????(3 分) ? (a ? 1)2 a 2
1 ???????????????????????????(3 分) a ?1

20.解法 1:由②得 ( x ? 2 y)( x ? y) ? 0 ∴ x ? 2 y ? 0 或 x ? y ? 0 ????????????????????????(2 分) ∴原方程组可化为 ?

? x ? y ? 1, ? x ? 2 y ? 0;

? x ? y ? 1, ???????????????(4 分) ? ? x ? y ? 0.
1 ? x2 ? , ? ? 2 ? ? y2 ? 1 . ? ? 2

2 ? x1 ? , ? ? 3 ∴分别解这两个方程组,得原方程组的解是 ? ? y1 ? 1 ; ? 3 ?
解法 2:由①得 y ? 1 ? x
2
2

?????(4 分)

③ ?????????????????????(2 分)
2

把③代入②得 x ? 3x(1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 0 整理得 6 x ? 7 x ? 2 ? 0 ????????????????????????(2 分) 解得 x1 ?

2 1 , x2 ? ??????????????????????????(2 分) 3 2

分别代入③得 y1 ?

1 1 , y2 ? ??????????????????????(2 分) 3 2

2 ? x1 ? , ? ? 3 ∴原方程组的解为 ? ? y1 ? 1 ; ? 3 ?

1 ? x2 ? , ? ? 2 ??????????????????(2 分) ? ? y2 ? 1 . ? ? 2

21.解:联结 OB ????????????????????????????(1 分) ∵圆心 O 在这个三角形的高 AD 上 A 1 1 ∴ BD ? BC ? ? 12 ? 6 ?????????????(2 分)

2

2

在 Rt△ABD 中, AD ?

AB2 ? BD2 ? 102 ? 62 ? 8 ?(2 分)
2

设⊙O 的半径为 r,则 OB ? r , OD ? 8 ? r , 可得
2 2

O D C

B r ?6 ? (8 ? r ) ?????????????(3 分)

解得 r ?

25 ??????????????????(2 分) 4

第 21 题图

22. (1)图略 ??????????????????????????????(2 分) (2) 3'21" , 3'10" ??????????????????????????(4 分) (3)设该校初三男生有 x 人,则女生有(x+70)人, 由题意得:x+x+70=490 解得 x=210. ??????????????(2 分) x+70=210+70=280(人). ????????????????????(1 分) 280×40%=112(人). ??????????????????????(1 分) 答:该校初三女生全部参加 800 米长跑测试可获得满分的人数约为 112.

23.证明: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ED∥BF,得∠EDB=∠FBD ????????????????????(2 分) ∵EF 垂直平分 BD ∴BO=DO,∠DOE=∠BOF=90° ∴△DOE≌△BOF??????????????????????????(2 分) ∴ EO=FO ∴四边形 BFDE 是平行四边形 ????????????????????(1 分) 又∵EF⊥BD ∴四边形 BFDE 是菱形 ???????????????????????(1 分) (2)∵四边形 BFDE 是菱形 ∴ED=BF ∵AE=ED ∴AE=BF??????????????????????????????(2 分) 又∵AE∥BF ∴四边形 ABFE 是平行四边形?????????????????????(1 分) ∴AB∥EF ?????????????????????????????(1 分) ∴∠ABD=∠DOE ??????????????????????????(1 分) ∵∠DOE=90° ∴∠ABD=90° 即 AB⊥BD?????????????????????????????(1 分)

24.解: (1)把(0,2) 、 (3,5)分别代入 y ? x2 ? bx ? c 得

?2 ? c ? 3?c ?5 ? 9? b

解得 ?

?b ? ?2 ?????????????????(3 分) ?c ? 2

∴抛物线的解析式为 y ? x2 ? 2x ? 2 ??????????????????(1 分) ∴抛物线的顶点为 (1,1) ????????????????????????(2 分) (2)设点 P 到 y 轴的距离为 d,⊙ P 的半径为 r ∵⊙ P 与 y 轴相切 ∴ d ? r ?

1 ?4 ? 2 2

∴点 P 的横坐标为 ?2 ?????????????????????????(2 分) 当 x ? 2 时, y ? 2 ∴点 P 的坐标为 (2, 2) ?????????????(2 分)当 x ? ?2 时, y ? 10

∴点 P 的坐标为 (?2,10) ????????????(2 分) ∴点 P 的坐标为 (2, 2) 或 (?2,10) .

25.解: (1)∵∠BAC= 90° ∴∠B +∠C =90°, ∵AD 是 BC 边上的高 ∴∠DAC+∠C=90° ∴∠B =∠DAC ???????????????????????????(1 分) 又∵∠EDF= 90° ∴∠BDE+∠EDA=∠ADF +∠EDA = 90° ∴∠BDE =∠ADF ∴△BED∽△AFD ??????????????????????????(1 分)

DE BD ? ????????????????????????????(1 分) DF AD BD AB 3 ? cot B ? ? ∵ AD AC 4 3 ∴DE︰DF = ????????????????????????????(1 分) 4 BE BD 3 ? ? (2)由△BED∽△AFD 得 AF AD 4 4 4 ∴ AF ? BE ? x ?????????????????????????(1 分) 3 3 BE ? x AE ? 3? x ∵ ∴
∴ ∵∠BAC= 90° ∴ EF ? (3 ? x ) ? ( x ) ?
2 2 2

4 3

25 2 x ? 6 x ? 9 ???????????????(1 分) 9

∵DE︰D F =3︰4,∠EDF =90°

3 4 EF,FD= EF?????????????????????????(1 分) 5 5 1 6 EF 2 ∴ y ? ED ? FD ? 2 25
∴ED=

2 2 36 54 x ? x? (0 ? x ? 3) ??????????????????(2 分) 3 25 25 54 3 或 .???????????????????????(5 分) (3)能. BE 的长为 25 5
∴y? (说明: BE 的长一个正确得 3 分,全对得 5 分)

金山区 2011 年初三中考模拟考试 数 学 试 卷
(时间 100 分钟,满分 150 分) 2011 年 4 月

一、选择题(本大题共 6 题,满分 24 分) 【每小题只有一个正确选项,在答题纸相应题号的选项上用 2 B 铅笔填涂】 1.下列实数中,属于有理数的是??????????????( A、 8 2.把不等式组 ? B、 )

22 7

C、

? 2

D、 3 2

? x ? ?1 的解集表示在数轴上,正确的是?????( ?x ? 1
- 1 0 (B) 1 0 1 (C)

)

- 1

0 1 (A)

- 1

- 1

0 1 (D)

3.直线 y ? 2 x ? b 的图像一定经过?????????(

) D、二、四象限 )

A、一、二象限 B、一、三象限 C、二、三象限 4.从 2,3,4,5,6 中任取一个数,是素数的概率是????( A、

1 5 AC BC

B、

2 5 BC AC

C、

3 5

D、

4 5
)

5.已知,在 ?ABC 中, ?C ? 90 °,那么 sin B 等于?????( A、 B、 C、

BC AB

D、

AC AB
)

6.已知正多边形的半径与边长相等,那么正多边形的边数是??( A、 4 B、 5 C、 6 D、 8 二、填空题(本大题共 12 题,满分 48 分) 7. 9 的平方根是

【只要求在答题纸上直接写出结果,每个空格填对得 4 分,否则得零分】 . . . . .

8.因式分解: 2 x ? 2 y ? ax ? ay = 9.方程 x ? 1 ? 2 的解是 10.函数 y ?

x ?3 的定义域是 x ?1

11.已知正比例函数 y ? kx ( k ? 0 )经过点 (?2,3) ,那么这个正比例函数的解析式是 12.若关于 x 的方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个实数根,则 k 的取值范围是______________.
2

13. 将二次函数 y ? 2( x ? 1) 2 ? 3 的图像向右平移 2 个单位, 那么平移后的二次函数的解析式是 14 . 用 换 元 法 解 方 程 ________________. 15.在 ?ABC 中,记 AB ? a, AC ? b ,则 BC =______________.(用向量 a 、 b 来表示) 16. 如图, 在 ?ABC 中, DE // BC , AC ? .
' ' '
2

.

2 1 ? x 2 ? 2x ? 1 时 , 如 设 y ? 2 ,则将原方程化为关于 y 的整式方程是 x ? 2x x ? 2x

AD ? 2 , BD ? 3 ,
' ' '

AE ? 1 ,那么
A D B E C 那 么

17.已知 ?ABC ~ ?A B C ,?ABC 、?A B C 的面积分别为 5 和 20 ,

AB ? A' B '

.

18.已知等腰 ?ABC 的两条边长分别为 6 、 4 , AD 是底边上的高,圆 圆 A 与圆 D 内切,那么圆 D 的半径是 . 三、解答题(本大题共 7 题,满分 78 分) 【将下列各题的解答过程,直接做在答题纸上】 19. (本题满分 10 分)计算:

A 的半径为 3 ,

27 ? 2( 3 ? 1) ?1 ? sin 60 ° ? (? ? 3.14) °
?x ? 2 y ? 5
2 2 ? x ? y ? 2( x ? y )

20. (本题满分 10 分)解方程组: ?

21. (本题满分 10 分)某区为了解预备年级 3600 名学生每学年参加社会实践活动的时间,随机对该年级 50 名学生 进行了调查,结果如下表: 时间 (天) 人 数 4 1 5 2 6 2 7 2 8 3 9 5 10 12 11 10 12 8 13 5

(1)在这个统计中,众数是 ,中位数是 ; (2)请你估算该区预备年级的学生中,每学年参加社会实践活动时间不少于 10 天的大约有 人; (3) 如果该年级的学生到初二学年时每人平均参加社会实践活动时间减少到 6.4 天, 求平均每学年学生减少参 加社会实践活动时间的百分率. 22. (本题满分 10 分) 如图是地下排水管的截面图 (圆形) , 小敏为了计算地下排水管的直径, 在圆形弧上取了 A , B 两点并连接 AB ,在劣弧 AB 上取中点 C 连接 CB ,经测量

BC ?
C A B

5 4





?ABC ? 36.87 °,根据这些数据请你计算出地下排水管 米 )( sin 36 .87 ° ? 0.60 , cos 36.87 ° ? 0.80 , ? 0.75 )

的直径 (精确到 0.1 tan 36.87 °

23. (本题满分 12 分) 已知:如图,在 Rt ?ABC 中, ?BAC ? 90 °, DE 是直角边 AB 的垂直平分线, ?DBA ? ?ABC ,连接 AD D A A

求证:(1) 四边形 ADBC 是梯形 (2) AD ?

1 BC 2

24. (本题满分 12 分)已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 过点 A(?3,0) , B(1,0) , C (0,3) 三点 (1)求抛物线的解析式; (2) 若抛物线的顶点为 P ,求 ?PAC 正切值; (3)若以 A 、 P 、 C 、 M 为顶点的四边形是平行四边形,求

点 M 的坐标.

25. (本题满分 14 分)如图,正方形 ABCD 的边长是 4 , M 是 AD 的中点.动点 E 在线段 AB 上运动.连接 EM 并延长交射线 CD 于点 F ,过 M 作 EF 的垂线交射线 BC 于点 G ,连接 EG 、 FG . (1)求证: ?GEF 是等腰三角形; (2)设 AE ? x 时, ?EGF 的面积为 y .求 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)在点 E 运动过程中 ?GEF 是否可以成为等边三角形?请说明理由. F A E M D

B

C

G

2011 金山初三数学参考答案
一、选择题: 1、B; 2、A; 3、B; 二、填空题: 7、 ? 3 ;8、 ( x ? y )(2 ? a) ;9、 x ? 3 ;10、 x ? ?1 ;11、 y ? ? 14、 2 y ? y ? 1 ? 0 ;15、 ? a ? b ;16、
2

2011-4-21

4、C;

5、D;

6、C

3 x ;12、 k ? 1 ;13、 y ? 2( x ? 3) 2 ? 3 ; 2

5 1 ;17、 ;18、 3 ? 7 、 3 ? 7 、 3 ? 4 2 . 2 2

三、解答题: 19、解:(1) ? 3 3 ? 2 ?

3 ?1 3 ? ?1 2 2

(2 分+2 分+2 分+2 分)

?

9 3 2

(2 分)

20、解:由(2)得, x ? y ? 0 , x ? y ? 2 ; (2 分)

?x ? 2 y ? 5 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 2 y ? 5 ? ?x ? y ? 2
∴原方程组的解是 ?

得?

? x1 ? ? 5 ? y1 ? 5 ?x2 ? 3 ? y2 ? 1 ?x2 ? 3 ? ? y2 ? 1

(3 分)

得?

(3 分)

? x1 ? ? 5 ? y1 ? 5

(2 分)
(2 分+2 分) (2 分)

21、解:(1) 10(天) ,10(天) (2)2520(人)

(3)设平均每学年学生减少参加社会实践活动时间的百分率为 x

(1 分)样本的平均数
=10

?
(天)

4 ? 1 ? 5 ? 2 ? 6 ? 2 ? 7 ? 2 ? 8 ? 3 ? 9 ? 5 ? 10 ? 12 ? 11 ? 10 ? 12 ? 8 ? 13 ? 5 50

(1 分)
10(1 ? x) 2 ? 6.4

(1 分)

x ? 0 .2



x ? 1.8 (不合题意舍去)

答:平均每学年学生减少参加社会实践活动时间的百分率为 20 %

(1 分)

22、设圆心为 O ,连接 BO 、 CO 交 AB 于 D ∵ C 是弧 AB 的中点, CO 是半径 ∴ AD ? BD , CO ? AB

(1 分)

(1 分)

5 0 米, ?ABC ? 36.87 4 3 5 ∴ CD ? BC sin ?ABC ? sin 36 .87 0 ? 4 4 5 BD ? BC cos ?ABC ? cos 36 .87 0 ? 1 4
在 Rt ?BCD 中

BC ?

(2 分) (2 分)

在 Rt ?BOD 中,设圆的半径为 x

PO 2 ? BD 2 ? BO 2
x? 25 24

(1 分)

3 ( x ? ) 2 ?12 ? x 2 (1 分) 4 25 2x ? ? 2.1 (米) 12

(1 分)

答:地下排水管的直径约为 2 .1 米 23、(1) 证明:∵ DE 是 AB 的 垂直平分线 ∴ AD ? BD ∴ ?DBA ? ?DAB ∵ ?DBA ? ?ABC ∴ ?ABC ? DAB ∴ AD ∥ BC ∵ AD 与 BD 不平行

(1 分)

(1 分) (1 分)

(1 分) (1 分) (1 分) (1 分) (1 分)
?DEB ? ?BEF ? 900
BD ? BD ∴ ?BDE ? ?BEF

∴四边形 ADBC 是梯形 (2) 延长 DE 交 BC 于 F ∵ ?DBA ? ?ABC

(1 分)
∴ BF ? BD ? AD ∵ ?BAC ? ?BEF ? 90 ∴ DF ∥ AC ∴四边形 ACFD 是平行四边形
0

(1 分)

( 1 分) (1 分) (1 分)



AD ? FC
∴ AD ?

FC ? BF ? AD

1 BC 2

?9a ? 3b ? c ? 0 ? 24、 (1)由题意得: ?a ? b ? c ? 0 ?c ? 3 ?
∴ y ? ? x 2 ? 2x ? 3 (2) y ? ? x 2 ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ∴ P(?1,4)

? a ? ?1 ? 解得: ?b ? ?2 ?c ? 3 ?

(3 分)

(1 分) (1 分)

(1 分)

∴ PA ? 2 5 , PC ? 2 , AC ? 3 2 ∵ PA ? PC ? AC
2 2 2

∴ ?PCA ? 90

0

(1 分)

∴ tan ?PAC ?

PC 2 1 ? ? AC 3 2 3

(1 分)

(3)∵直线 AC 的解析式是: y ? x ? 3 直线 AP 的解析式是: y ? 2 x ? 6 直线 PC 的解析式是: y ? ? x ? 3 当 AC 是平行四边形的一条对角线时:直线 MC 的解析式是: y ? 2 x ? 3 直线 AM 的解析式是: y ? ? x ? 3 ∴ M (?2,?1) 当 PC 是平行四边形的一条对角线时:同理可得∴ M (2,7) 当 AP 是平行四边形的一条对角线时:∴ M (?4,1) ∴ M (?2,?1) 或 M (2,7) 或 M (?4,1)

(2 分) (1 分) (1 分)

25、 (1)∵四边形 ABCD 是正方形

∴ AB ∥ CD

?A ? ?MDF ∵ ?AME ? ?FMD
∴ ?AME ? ?DMF ∴ EM ? FM 又∵ GM ? EF

(1 分)
AM ? DM

(1 分) (1 分)
∴ EG ? FG

(1 分) (1 分)

1 (2)当点 E 与点 A 重合时, x =0, y =2×4×4=8 当点 E 不与点 A 重合时,0< x ≤4

∵ EM ? FM 在 Rt ?AME 中

AE = x

AM = 2

ME= x 2 ? 4

∴ EF = 2 ME = 2 x 2 ? 4 过 M 作 MN ? BC ,垂足为 N 则 ?MNG ? 90
0

(1 分)

?AMN ? 900
0

MN ? AB ? AD ? 2 AM

∴ ?AME ? ?EMN ? 90 ∵ EMG ? 90
0

∴ ?GMN ? ?EMN ? 90 ∴ ?AME ? ?GMN

0

∴ Rt ?AEM ∽ Rt ?NGM ∴

(1 分)

AM ME ? MN MG



ME 1 ? MG 2

∴ MG = 2 ME = 2 x 2 ? 4

(1 分) (2 分)

1 1 2 ∴ y =2 EF × MG =2× 2 x 2 ? 4 × 2 x 2 ? 4 = 2 x ? 8 ∴ y = 2x ? 8
2

其中 0≤ x ≤4

(1 分)

(3)不可能

(1 分) (1 分)

∵ EF = MG = 2 x 2 ? 4 在 Rt ?MEG 中 ∴ EG > EF

EG > MG
(1 分)

∴ ?EFG 不可能是等边三角形

卢湾区 2010 学年初中毕业统一学业模拟考试
数学试卷
(时间 100 分钟,满分 150 分) 考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题; 2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效; 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1. 2 的倒数是( ) A. ? ; 2011.4.

1 2

B.

1 ; 2

C. ?2 ;

D.2.

2.对于非零实数 m ,下列式子运算正确的是(
3 2 6 2 3


5 6 2 4

A. (m3 ) 2 ? m9 ;B. m ? m ? m ;C. m ? m ? m ;D. m ? m ? m . 3.抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 1的顶点坐标是( )

A.(1,0); B.(– 1,0) ; C.(–2 ,1) ; D.(2,–1). 4.某班 7 名同学的一次体育测试成绩(满分 30 分)依次为:22,23,24,23, 22,23,25,这组数据的众数是( A.22 ; B. 23; C.24 ; D.25 . ???? ??? ? 5.已知点 D 、 E 分别在 ?ABC 的边 AB 、 AC 上, DE ∥ BC , AD ? 3DB ,用向量 BC 表示向量 DE 为(





? ? 2 ??? 3 ??? D. BC . BC ; 3 4 6.如图,某反比例函数的图像过点 M( ? 2 ,1) ,则此反比例函 2 2 1 1 A. y ? ; B. y ? ? ; C. y ? ; D. y ? ? . x 2x x 2x
A. B. BC ; C. 二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7. 如果二次根式 x ? 3 有意义, 那么 x 的取值范围是 8.分解因式: x2 y ? 4 y ? 9.方程 2 ? x ? x 的解是 ▲ ▲ . . ▲ .

? 1 ??? BC ; 2

? 1 ??? 3

数表达式为(
y
M



1 O

x

-2

(第 6 题图)

10.从 1 至 9 这 9 个自然数中任取一个数,这个数能被 2 整除的概率是 11.若一次函数 y ? x ? k ? 2 的图像在 y 轴上的截距是 5 ,则 k ? ▲

▲ .



12.在直线 y ? x ? 1 上且位于 x 轴上方的所有点,它们的横坐标的取值范围是 ▲ 13.若方程 2 x ? kx ? 5 ? 0 的一个根是 ?1,则 k ? ▲ . 14.在长方体 ABCD-EFGH 中,与面 ABCD 垂直的棱共有 ▲ 条. 15.正六边形绕其中心至少旋转 ▲ 度可以与其自身完全重合. 16.如图, D 是 BC 延长线上一点, ?ACD ? ? 度,若 ?A ? 50 度,则 ?B =
2



▲ 度(用含 ? 的代数式表示) .

A

A

G

B

(第 16 题图)

C

D

B

H
(第 17 题图)

C

17.如图,点 G 是 ?ABC 的重心, GH ? BC ,垂足为点 H ,若 GH ? 3 ,则点 A 到 BC 的距离为 ▲ . 18.在 ?ABC 中, ?C ? 90? , D 是 AC 上的点, ?A ? ?DBC ,将线段 BD 绕点 B 旋转,使点 D 落在线段 AC 的延 长线上,记作点 E ,已知 BC ? 2 , AD ? 3 ,则 ▲ . DE ? 三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 化简:

1 ? 2 ?1

?

? ? 1 ? 3? 2 ?? ? ? 8. ? 2?

?

?1

20. (本题满分 10 分) 解方程:

x ?3 4 ? 2 ?2. x?2 x ?4

21. (本题满分 10 分) 某校为了解九年级 500 名学生平均每天课外阅读的时间,随机调查了该年级部分学生一周内平均每天课外阅读 的时间(以分钟为单位,并取整数) ,现将有关数据整理后绘制成尚未完成的频率分布表和频数分布直方图:
组 别 分组 频数 频率 20 人 数 ( 人 ) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 14.5 24.534.5 44.554.5 64.5 时 间 ( 分 钟 )

1
2 3 4 5

14.5—24.5 24.5—34.5 34.5—44.5 44.5—54.5 54.5—64.5

7 a 20 6 5

0.14 0.24 0. 4 b
0.1

(1)被调查的学生有 名; 方式 (2)频率分布表中,a= ,b= ; (3)补全频数分布直方图; (4)被调查学生一周内平均每天课外阅读时间的中位数落在 组; (5)请估计该年级学生中,大约有 名学生平均每天课外阅读的时间不少于 35 分钟. 22. (本题满分 10 分)

AC 的中点, OF 与 AC 相 已知:如图, AB 是 ? O 的直径, C 是 ? O 上一点,CD⊥AB,垂足为点 D , F 是 ?
交于点 E , AC ? 8 cm, EF ? 2 cm. (1)求 AO 的长; (2)求 sin C 的值.

A
E

F

O
D

C

B
(第 22 题图)

23. (本题满分 12 分) 已知:如图,梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , E 是 BC 的中点, ?BEA ? ?DEA,联结 AE 、 BD 相交于点 F , BD ? CD . (1)求证: AE ? CD ; (2)求证:四边形 ABED 是菱形.

A

D

F B E
(第 23 题图)

C

24. (本题满分 12 分) 已知:抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过点 O ? 0,0 ? , A ? 7,4 ? ,且对称轴 l 与 x 轴交于点 B ? 5,0 ? .

(1)求抛物线的表达式;

? 5? (2)如图,点 E 、 F 分别是 y 轴、对称轴 l 上的点,且四边形 EOBF 是矩形,点 C ? 5, ? 是 BF 上一点,将 ?BOC ? 2?
沿着直线 OC 翻折, B 点与线段 EF 上的 D 点重合,求 D 点的坐标; (3) 在(2)的条件下,点 G 是对称轴 l 上的点,

y
E D

l
F

直 线 DG 交 CO 于 点 H ,

S?DOH : S?DHC ? 1: 4 ,求 G 点坐标.

C

O
(第 24 题图)

B

x

25. (本题满分 14 分) 已知:如图,在直角梯形 ABCD 中,BC∥AD

? AD ? BC ? ,BC⊥AB,AB=8,BC=6.动点 E、F 分别在边 BC 和

AD 上,且 AF=2EC.线段 EF 与 AC 相交于点 G,过点 G 作 GH∥AD,交 CD 于点 H,射线 EH 交 AD 的延长线于点 M, 交 AC 于点 O ,设 EC=x. (1)求证: AF ? DM ;
M ? A C (2) 当E

C

E
O

B
以 FD 为半径的 ? F 相切,

时, 用含 x 的代数式表达 AD 的长;

H

G

(3)在(2)题条件下,若以 MO 为半径的 ? M 与 求 x 的值.

M

D

(第 25 题图)

F

A

卢湾区 2011 年初中毕业统一学业
参考答案及评分说明
一、选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.B; 2. D; 3.A; 4.B; 5. D; 6.B. 二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7. x ? 3 ; 8. y ? x ? 2?? x ? 2? ; 9. x ? 1 ; 10.

模拟考试

4 ; 11. 7 ; 9

12. x ? ?1 ;

13. 3 ; 14.4; 15.60; 16. ? ? 50 ; 17.9; 18.2. 三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19.解:原式 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ?????????????????(8 分)
? 0 .????????????????????????(2 分)

20.解:去分母,得 ? x ? 2?? x ? 3? ? 4 ? 2 x2 ? 4 ,???????????(3 分) 去括号,得 x 2 ? x ? 6 ? 4 ? 2 x 2 ? 8 ,?????????????????(2 分) 整理,得 x 2 ? x ? 6 ? 0 ,??????????????????????(2 分) 解,得 x1 ? ?3, x2 ? 2 ,???????????????????????(2 分)

?

?

经检验: x ? 2 是原方程的增根, x ? ?3 是原方程的根. ?????????(1 分) 21.(1)50; (2)12,0.12; (3)略; (4)3; (5)310.??????(每小题 2 分)

? ,又 OF 是半径,?????(1 分) 22.解: (1)∵ F 是 ? AC 的中点,∴ ? AF ? CF
∴ OF ? AC , AE ? CE ,?????????????????????(2 分) ∵ AC ? 8 cm,∴ AE ? 4 cm, ???????????????????(1 分) 在 Rt ?AEO 中, AE 2 ? EO 2 ? AO 2 ,?????????????????(1 分) 又∵ EF ? 2 cm,∴ 42 ? ? AO ? 2? ? AO2 ,解得 AO ? 5 ,∴ AO ? 5 cm. ??(1 分)
2

(2)∵ OE ? AC ,∴ ?A ? ?AOE ? 90? ,??????????????(1 分) ∵CD⊥AB,∴ ?A ? ?C ? 90? ,???????????????????(1 分) ∴ ?AOE ? ?C ,∴ sin C ? sin ?AOE ,????????????????(1 分) ∵ sin ?AOE ?

AE 4 4 ? ,∴ sin C ? .????????????????(1 分) 5 AO 5

23.证明: (1)∵BD⊥CD,∴ ?BDC ? 90? , ∵ E 是 BC 的中点,∴ BE ? DE ? EC ,???????????????(2 分) ∵ ?BEA ? ?DEA,∴EF⊥BD,即 ?BFE ? 90? ,∴ EA ∥ CD ,????(2 分) ∵ AD ∥ BC ,∴四边形 AECD 是平行四边形,????????????(1 分) ∴ AE ? CD .???????????????????????????(1 分) (2)∵四边形 AECD 是平行四边形,∴ AD ? EC ,??????????(2 分) ∴ AD = BE ,又 AD ∥ BE ,∴四边形 ABED 是平行四边形,??????(2 分) ∵ BE ? DE ,∴四边形 ABED 是菱形. ????????????????(2 分)

? b ? ? 2a ? 5, ? 24. 解(1)由题意得 ?c ? 0, ????????????????(1 分) ? 49a ? 7b ? c ? 4 ? ?
4 ? ? a ? ? 21 , ? 40 4 40 ? , ∴ y ? ? x2 ? x .????????????????(3 分) 解,得 ?b ? 21 21 21 ? ?c ? 0. ? ?
( 2 ) ∵ ?BOC 与 ?DOC 重 合 , OB ? 5, BC ?

5 5 , ∴ BO ? DO ? 5, CD ? BC ? , ?OBC ? ?ODC ? 90? , ∴ 2 2

?EDO ? ?FDC ? 90? ,又 ?EDO ? ?EOD ? 90? , ∴ ?EOD ? ?FDC ,∵ ?OED ? ?DFC ? 90? ,∴ ?EOD ∽ ?FDC ,???(2 分)

ED EO OD 5 ? ? ? ? 2 ,????????????????????(1 分) FC DF CD 5 2 ∵四边形 OEFB 是矩形,∴ EF ? OB , EO ? FB , 设 FC ? x ,则 ED ? 2 x, DF ? 5 ? 2 x ,∴ EO ? 10 ? 4 x ,
∴ ∴ 10 ? 4 x ?

5 3 ? x ,解,得 x ? ,∴ ED ? 3, EO ? 4 ,∴ D ? 3,4 ? .????(1 分) 2 2

(3)过点 H 作 HP ? OB ,垂足为点 P . ∵ S?DOH : S?DHC ? 1: 4 ,∴

S ?DOH OH 1 ? ? ,?????????????(1 分) S ?DHC HC 4

∵ HP ? OB , CB ? OB ,∴ HP ∥ BC , ∴

OH OP PH 1 1 ? 1? ? ? ? ,∴ OP ? 1, PH ? ,∴ H ?1, ? .????????(1 分) OC OB BC 5 2 ? 2?

7 5 ? 1? ∴经过点 D ? 3,4 ? , H ?1, ? 的直线 DG 的表达式为 y ? x ? ,?????(1 分) 2 4 4 ? ?
? 15 ? ∴ G ? 5, ? .???????????????????????????(1 分) ? 2?
25. 解: (1)∵BC∥AD,∴ ∵ GH ∥ AD , ∴

EC CG EC CH , ,?????????(2 分) ? ? AF AG DM DH

CG CH ,????????????????????(1 分) ? AG DH

EC EC ,∴ AF ? DM .????????????????????(1 分) ? AF DM BC CO ,??????????(1 分) ? AC EC

(2)∵ AB ? BC ,AB=8,BC=6,∴ AC ? 10 , ∵BC⊥AB, EM ? AC ,∴ cos ?ACB ? ∵EC=x,∴

6 CO 3 ,∴ CO ? x ,?????????????????(1 分) ? 10 x 5 ∵AF=2EC,由(1)知 AF ? DM ,∴ DM ? 2 EC ,∴ DM ? 2 x , EC CO ∵ EC ∥ AM ,∴ ,??????????????????? (1 分) ? AM AO
3 x x 50 ? 9x ? 5 ∴ ,∴ AD ? .???????????????(1 分) AD ? 2 x 10 ? 3 x 3 5
(3)∵ EM ? AC ,设 AD ? a ,∴ FD ? a ? 2 x , MO ?
FM ? FD ? DM ? FD ? AF ? AD ? a , 当 ? F 与 ? M 相外切时, FD ? MO ? FM ;

4 ? a ? 2x ? ,???(1 分) 5

a ? 2x ?

4 100 ? a ? 2x ? ? a ,解,得 x ? ,???????????????(1 分) 21 5

∵ AD ? BC ,即 a ? 6 , 由x?

100 50 100 ,得 a ? (舍) ;???????(1 分) ? 6 ,与已知不符,∴ x ? 21 21 21

当 ? F 与 ? M 相内切时, FD ? MO ? FM , ① a ? 2x ? ②

4 ? a ? 2x ? ? a ,无解;??????????????????(1 分) 5

4 ? a ? 2x ? ? ? a ? 2x ? ? a , 5 25 25 25 解,得 x ? ,a ? ,∵ 2 x ? a , a ? 6 ,∴ x ? .????????(2 分) 9 3 9

综上所述,满足条件的 x 的值为

25 . 9

2011 杨浦区初三数学模拟考试卷
(完卷时间 100 分钟 满分 150 分) 一、 选择题(本大题每小题 4 分,满分 24 分) · ? 22 1.下列各数: ,0, 9 ,0.23,cos60°, ,0.303003?,1- 2 中,无理数个数为 ( ▲

2011.5

2

7



(A)2 个;

(B)3 个;

(C)4 个;

(D)5 个. ( ▲ )

2.下列各式中,当 m<2 时一定有意义的是 (A)

1 ; m ?1


(B)

1 ; m?3

(C)

1 ; m?3

(D)

1 . m ?1

3 .本学期的五次数学测试中,甲、乙两同学的平均成绩一样,方差分别为 1.2 、 0.5 ,则下列说法正确的是 ( ▲

(A)乙同学的成绩更稳定;

(B)甲同学的成绩更稳定;

(C)甲、乙两位同学的成绩一样稳定; (D)不能确定. 4.在平面直角坐标系中,直线 y ? ?2 x ? 3 经过 (A)第一、二、三象限; (C)第一、三、四象限; 5.下列判断不正确的是 ??? ? ??? ? (A) AB ? BA ? 0 ; ? ? ? ? (C) a ? b ? b ? a ; 6.下列命题是真命题的是 (A)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (B)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; (C)对角线垂直的四边形是菱形; (D)对角线相等的四边形是矩形. (B)第一、二、四象限; (D)第二、三、四象限. ( ▲ ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (B)如果 AB ? CD ,那么 AB ? CD ; ? ? ? ? (D)如果非零向量 a ? k ? b ( k ? 0 ) ,那么 a // b . ( ▲ ) ( ▲ )

二、

填空题(本大题每小题 4 分,满分 48 分) ▲ . ▲ . ▲ ▲ . .

7.分解因式: am ? an ? bm ? bn = 8.使得

1 x ? 1 的值不大于 1 的 x 的取值范围是 3
2

9.若一元二次方程 2 x ? mx ? m ? 0 有两个相等的实数根,则 m = 10.将直线 y ? (k ? 1) x ? 2 平移能和直线 y ? ?3x 重合,则 k 的值是 11.抛物线 y ? 2 x ? 4 x ? 1的对称轴是直线
2



.

12.由于商品乙比商品甲每件贵 4 元,所以化 24 元买甲商品的件数比买乙商品的件数多 1。如果设甲商品每件 x 元,那么可列出方程: ▲ .

13.某班 50 名学生的一次英语听力测试成绩分布如下表所示(满分 10 分):
成绩(分) 人数(人) 0 0 1 0 2 0 3 1 4 0 5 1 6 3 7 5 8 6 9 15 10 19

这次听力测试成绩的众数是



. ▲ .

14.从下列图形中任选一个恰好是轴对称图形的概率为




等腰梯形

D C


A C



α ④ ⑤









15.如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将 Rt△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90?,得到 Rt△FEC,则点 A 的对应点 F 的坐标是 ▲ . 米(用含 ? , ? 的代数式表示). 16. 如图, 在甲楼的底部 B 处测得乙楼的顶部 D 点的仰角为 ? , 在甲楼的顶部 A 处测得乙楼的顶部 D 点的俯角为 ? , 如果乙楼的高 DC=10 米,那么甲楼的高 AB= ▲

17.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,⊙C 与 AB 相切,若⊙A 与⊙C 相交,则⊙A 半径 r 的取值范围是 ▲ .

18.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线 BC 或 AC 上取一点 P,使得△PAB 为等腰三角形,则符合条件的 点 P 共有
y B



个. A A D

A C
?1 O

1 1 2 x

甲楼 B

乙楼 C
(第 16 题图)

C

B

(第 15 题图)

(第 17 题图)

三、 解答题(本大题满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) (1)计算: 9a ? 4b ?

a ? b; 4

(2)若 a ?

2 ?1 2 ?1 ,求(1)中代数式的值。 ,b ? 2 ?1 2 ?1
x ? 1 2 x2 ? ?3 x2 x ?1

20. (本题满分 10 分) 解方程:

21. (本题满分 10 分)如图,⊙O 的半径长为 5,AB 为⊙O 的直径,弦 AC 的长为 8,点 D 为 的长。 ABC D

的中点。求弦 DC

A

O


C

B

22. (本题满分 10 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,沿 BC,CD,DA 运动至点 A 停止.设点 P 运动的路程为 x(cm) ,△ ABP 的面积为 y(cm2),y 关于 x 的函数图象如图 2 所示。 (1)BC 边的长是 cm; (2)矩形 ABCD 的面积为 cm2; (3)图 2 中 M 点的坐标是 ; (4) 若点 P 的运动速度为 2cm/s, 设点 P 运动的时间为 t (s) , 试求当点 P 运动到线段 DA 上时△ ABP 的面积 y(cm2) 关于 t(s)的函数关系式,并写出其定义域,且在图 3 的直角坐标系内画出其相应的图像。
y D C P A (图 1) B O x y

M

20 15 . 10 . 5 . O

4

9 11

. . . . . . .
1 2 3 4 (图 3) 5 6 7

(图 2)

t

23. (本题满分12分) 如图, 将矩形纸片 ABCD 折叠, ? 的点 B 处,折痕与AD边交于点E,与BC边交于点F,点A落在点 A? 处。 (1)请在图中作出示意图,其中折痕EF请用直尺和圆规作出,并保留作图痕迹; (2)求证: B?E ? BF ; B? (3)设 AE ? a,AB ? b,BF ? c ,试猜想 a,b, c 之间 D · 明.

使点 B 落在边 AD 上

A

的一种关系, 并给予证

C 24.(本题满分12分)Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示,反比例函数 y ? BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),△BDE的面积为2。 (1) 求 m 与 n 的数量关系; (2) 当 tan∠A=

B

k (k ? 0) 在第一象限内的图像与 x

1 时,求反比例函数的解析式 2

y

和直线 AB

的表达式; (3) 设直线 AB 与 y 轴交于点 F,点 P 在射线 (2)的条件下,如果△AEO 与△EFP 相 的坐标。

B E D A O C x

FD 上,在 似, 求点 P

25. (本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) 已知△ABC 中,AB=4,BC=6,AC>AB,点 D 为 AC 边上一点,且 DC=AB,E 为 BC 边的中点,联结 DE,设 AD=x。 (1) 当 DE⊥BC 时(如图 1) ,求 x 的值; (2) 设

S四边形ABED ? y ,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; S?CDE

(3) 取 AD 的中点 M,联结 EM 并延长交 BA 的延长线于点 P,以 A 为圆心 AM 为半径作⊙A,试问:当 AD 的长 改变时,点 P 与⊙A 的位置关系变化吗?若不变化,请说明具体的位置关系,并证明你的结论;若变化,请 说明理由。

A
D

A D

B

E

C

B

(图 1)

E (备用图)

C

2011 杨浦区初三数学模拟考试卷评分标准
一、 选择题(本大题每小题 4 分,满分 24 分) 1.C ;2.C; 3.A;4.B;5.A;6.B 二、 填空题(本大题每小题 4 分,满分 48 分) 7. (m ? n)(a ? b) ;8. x≤6;9. 0 或 8;10. k= -4;11. x=1;12. 13. 10;14.

2011.5

3 8 32 ;15. (-1,2);16. 10+10tanβcotα;17. ? r ? ;18.6 5 5 5

24 24 ? ?1; x x?4

三、 解答题(第 19~22 题每题 10 分,第 23~24 题每题 12 分,第 25 题 14 分,满分 78 分) 19. 解: (1)原式= 3 a ? 2 b ? = (2)∵ a ? ∴ a? ∴原式=

1 a ? b -----------------------------3 分 2

5 a ? 3 b ------------------------------------------------------2 分 2

2 ?1 2 ?1 ? ( 2 ? 1)2 , b ? ? ( 2 ? 1)2 -----------------------1 分,1 分 2 ?1 2 ?1
( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 , b ? ( 2 ? 1)2 ? 2 ? 1 ------------1 分,1 分

5 5 5 ( 2 ? 1) ? 3( 2 ? 1) ? 2 ? ?3 2 ?3 2 2 2 11 1 2 ? -----------------------------------------------------------------1 分 = 2 2 x ?1 20. 解:设 2 ? y ,---------------------------------------------------------------------------1 分 x
则原方程化为: y ? 3 y ? 2 ? 0 -------------------------------------------------------------2 分
2

∴ y1 ? 2, y2 ? 1-------------------------------------------------------------------------1 分,1 分 当 y1 ? 2 时,

x ?1 1 ? 2 ,即 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,∴ x1 ? 1, x2 ? ? --------------------2 分 2 x 2

当 y2 ? 1 时,

x ?1 1? 5 1? 5 ? 1 ,即 x2 ? x ? 1 ? 0 ,∴ x1 ? ---------2 分 , x2 ? 2 x 2 2

经检验,原方程的解为 x1 ? 1, x2 ? ?

1 1? 5 1? 5 --------------------1 分 x3 ? , x4 ? 2 2 2

21. 解:联结 DO 并延长交 AC 于点 E,--------------------------------------------1 分 ∵点 D 为 ABC 的中点,∴DE⊥AC,------------------------------------------------1 分 且 AE=EC-----------------------------------------------------------------------------------1 分 ∵AC=8,∴AE=EC=4----------------------------------------------------------------------2 分 ∵DO=AO=5,∴OE=3,∴DE=8,----------------------------------------------2 分,1 分 ∴在 Rt△DEC 中, DC ?

DE2 ? EC2 ? 82 ? 42 ? 4 5 ----------------------2 分

22.解: (1)4;---------------------------------------------------------------2 分 (2)20;------------------------------------------------------------------------2 分 (3) (11,5) ;-------------------------------------------------------------------1 分 (4) y ?

1 1 ? AB ? PA ? ? 5(13 ? 2t ) , 2 2 9 65 13 ? 5t ( ≤ t ≤ )-------------------------------2 分,1 分 即y? 2 2 2

图像略-------------------------------------------------------------------------2 分 23.正确作图-------------------------------------------------------------------------------------------2分 (1) 证法一:∵点 B 与点 B? 重合,∴EF 垂直平分 BB? ,----------------------------------2 分 设 EF 与 BB? 交于点 O, ∴ B?O ? BO, ?B?OE ? ?BOF ∵ABCD 是矩形,∴AD//BC,∴ ?B?EF ? ?BFE ∴△ B?OE ≌△BOF ,---------------2 分 D

B?

· O

E

A

C ∴ B?E ? BF ------------------------------1 分 F 证法二:∵矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使点 B 落在边 AD 上的点 B? 处, ∴四边形 ABFE≌四边形 A/B/FE, B? ∴ B?F ? BF , ?B?FE ? ?BFE ---------------------2 分 D 在矩形 ABCD 中, AD ∥ BC ,??B?EF ? ?BFE ,-----1 分 ??B?FE ? ?B?EF .------------------------------------------------1 分 ? B ?F ? B ?E . ? B?E ? BF . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 C F (3)答: a,b,c 三者关系不唯一,有两种可能情况:
2 2 2

B

A?
E A

B

(ⅰ) a,b,c 三者存在的关系是 a ? b ? c .-------------------------------------------------2 分 证明:连结 BE ,∵矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠, ∴四边形 ABFE≌四边形 A/B/FE, ∴ AE ? A?E , A?B ? ? AB , ?A? ? ?A , ∴△ A?B ?E ≌△ABE,∴ BE ? B?E .------------------------------------------------------1 分 由(1)知 B?E ? BF ? c ,? BE ? c .--------------------------------------------------------------1 分
? 在 △ ABE 中, ?A ? 90 ,? AE ? AB ? BE .-----------------------------------------------1 分
2 2 2

? AE ? a , AB ? b ,? a 2 ? b2 ? c 2 .
(ⅱ) a,b,c 三者存在的关系是 a ? b ? c .-----------------2 分 D

A? B?
E A

证:连结 BE ,同上证得 BE ? B?E .----------------------------1 分 由(1)知 B?E ? BF ? c ,? BE ? c .-------------------------1 分 在 △ ABE 中, AE ? AB ? BE ,----------------------------------1 分 ?a ? b ? c .

24. 解: (1)∵D(4,m) 、E(2,n)在反比例函数 y ?

? 4m ? k k (k ? 0) 的图像上,∴ ? , x 2 n ? k ?

∴ n ? 2 m ---------------------------------------------------------------------------------------------2 分 (2) ∵∠ACB=90°,D(4,m) ,∴设 B(4,y) 作 EH⊥BC,∵E(2,n) ,即 E(2,2m) ,∴EH=2,BH= y-2m

?1 ? 2 ? ( y ? m) ? 2 ? ?y ? m ? 2 1 ?2 ∵△BDE 的面积为 2,且 tan∠A= ,∴ ? 即? ------1 分,1 分 2 ? y ? 2m ? 1 ? BH ? 1 ? ? EH 2
∴?

?m ? 1 ,∴B(4,3) ,E(2,2)--------------------------------------------------------1 分,1 分 ?y ? 3
4 k (k ? 0) 图像上,∴ k ? 4 ,即反比例函数为 y ? ----1 分 x x

∵E(2,2)在反比例函数 y ?

1 ? ?3 ? 4k ? b ?k ? 设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+b,则 ? ,解得: ? 2 ,------1 分,1 分 ?2 ? 2k ? b ? ?b ? 1
即直线 AB 的表达式为 y ? (3) y ?

1 x ?1 2

1 x ? 1 与 y 轴交于点 F(0,1) ,∵D(4,1) ,∴FD//x 轴,∴∠EFP=∠EAO----1 分 2 EA EF EA FP ? ? ∵△AEO 与△EFP 相似,∴ 或 AO FP AO EF


2 5 5 2 5 FP 或 ,∴ FP ? 1 或 5,∴P(1,1)或(5,1)-----------1 分,1 分 ? ? 2 FP 2 5

25. (本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) 解: (1)联结 BD,过点 B 作 BH⊥AC 于 H, ∵DE⊥BC,E 为 BC 中点,∴BD=DC,∵AB=DC,∴AB=BD,---------------1 分 ∴AH=BH=

1 x x x ,∵AB2-AH2= BC2-CH2,∴ 16 ? ( ) 2 ? 36 ? (4 ? ) 2 ,-------1 分 2 2 2

∴x=1---------------------------------------------------------------------------------------------2 分 (2)连 BD,∵点 E 为 BC 中点,∴ S?BDE ? S?CDE ∴y?

S?ABD ? S?BDE S?ABD ? ? 1 ----------------------------------------------------------1 分 S?CDE S?CDE



S?ABD x S S x x ? ,∴ ?ABD ? ,即 ?ABD ? ---------------------------------------1 分 S?DBC 4 2S?CDE 4 S?CDE 2

∴y?

x ? 1 (0<x<6)---------------------------------------------------------------2 分,1 分 2

(3)点 P 在⊙A 上。---------------------------------------------------------------------------------1 分

4? x , 2 4? x x ? ? 2 ----------------1 分 ∵M 为 AD 中点,∴MN= 2 2
证明:取 AC 中点 N,则 AN= ∵E 为 BC 中点,∴NE//AB,且 EN=2,------------------1 分 ∴MN=EN,----------------------------------------------------1 分

P A M D N

AP AM ? ∵NE//AB,∴ ,∴AP=AM------------------1 分 NE MN
∴点 P 在⊙A 上. B E

C

2011 年长宁初三数学教学质量检测试卷
(满分 150 分,考试时间 100 分钟) 考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题; 2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效; 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1、已知 42=6×7, 6 和 7 都是 42 的( ▼ ) A.素因数 2、若 a ? 1 ,化简 A. ? ?a ? 1? B.合数 C.因数 ▼ ) C. a ? 1 D. ?a ? 1?
2

D.倍数
A D B

?a ? 1?2 =(
B. 1 ? a

3、如图,在△ABC 中,∠A=90°,BD 平分∠ABC,交 AC 于点 D,且 AB=4, BD=5,则点 D 到 BC 的距离是( ▼ ) A. 3 B.4 C.5 D.6

第3题

C

4、已知点 P(a-1,a+2)在平面直角坐标系的第二象限内,则实数 a 的取值范围在数轴上可表示为(阴影部分) ( ▼ )

-3

-2 -1

0

1

2

-3

-2 -1

0

1

2

-3 -2

-1

0

1

2

-3

-2 -1

0

1

2

A.

B.

C.

D.

5、升旗过程中,旗子的高度 h(米)与时间 t(分)的函数图象大致是( ▼ )
h h h h

o

t

o

t

o

t

o

t

A. 6、已知下列命题:

B.

C.

D.

①对角线互相平分的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直平分的四边形是菱形; ③对角线相等的四边形是矩形;④对角线相等的梯形是等腰梯形. 其中真命题有( ▼ ) A. 1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个

二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7、因式分解: 3ab2 ? ab = ▼ . 8、计算: ?m ? 1??m ? 2? = ▼ . 9、已知点 A( -3,2)与点 B 关于 y 轴对称,若反比例函数 y ? 的增大而 ▼ . (填“增大”或“减小”) 10、2010 年以“城市让生活更美好”为主题的上海世博会成功举办.在 2010 年 10 月 16 日上海世博会单日入园人 数 1032700 人,刷新世博会单日入园人数的历史记录.将 1032700 用科学记数法表示为▼ . 11、已知 Rt△ABC 中,在斜边 BC 上取一点 D,使得 BD=CD,则 BC:AD 的比值为 ▼ . 12、已知函数 y ? x ? 2 ,当 x = ▼ 时 y ? 2 . 13、如图所示,一块正八边形的游戏板,用纸板沿着正八边形的边做一 骰子.规定:如果骰子落在分界线上,则算落在其逆时针方向的区域 .
第 13 题

k k 的图像经过点 B,则 y ? 的图像在 x < 0 时 y 随 x x x

.

围栏,随意投掷一个 骰子落在黑色区域的

概率是 ▼ . 14、已知平行四边形 ABCD(AB>BC),分别以点 A、B、C、D 为起点 或终点的向量中,与向量 AB 的模相等的向量是 ▼ . 15、已知△ABC 中,D 是 BC 边上的点,AD 恰是 BC 边上的垂直
1 平分线,如果 ?BA D? ?B ,则 tan C = ▼ . 2
O A y P

B

第 16 题

x

16、如图,在直角坐标系中,以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A、B 两点,已知 P(4,2)和 A(2,0),则点 B 的坐标是 ▼ . 17、长度为 2 的线段 AB 被点 P 分成 AP 和 BP 两段,已知较长的线段 BP 是 AB 与 AP 的比例中项,则较短的一条线段 AP 的长为 ▼ .
A D

F

B

E

C

第 18 题

18、 如图,将矩形纸片 ABCD(AD>DC)的一角沿着过点 D 的直线折 叠, 使点 A 与 BC 边上的点 E 重合,折痕 交 AB 于点 F.若 BE:EC=m:n, 则 AF:FB= ▼ .

三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19、(本题 10 分)计算:
6 ?1? ? ?? tan 45??2011 ? 12 ? ? ? 3 ?2?
?1

20、(本题 10 分)解方程:

x 2x ? 4 ? ?1 x?2 x

21、(本题 10 分)2010 年 9 月起,长宁区为推进课程改革,落实“减负增效” ,在部分学校六年级实施“阅读领航 计划”试点研究.为了解在数学课堂内“阅读”指导对学生学习方法改进的程度,在社会实践阅读活动组织内容的受 欢迎程度.在试点学校六年级随机抽取 200 名学生,对“学习方法改进”情况与“社会实践阅读活动组织内容”受 欢迎程度两项作了调查.根据统计数据分别绘制成了下面扇形统计图与条形统计图.
“学生学习方法改进”程度统计图 “社会实践阅读活动组织内容”受欢迎程度统计图
频数(人)

120

115

(1)学生学习方法改进”程度的调查反馈中回答“显著改进”的学生有多少名? (2)请将“社会实践阅读活动组织内容”受欢迎程度条形统计图补完整; (3)若参加“社会实践阅读”试点学校的六年级学生约有 1600 名,根据上述统计数据,请你估计试点学校对“社 会实践阅读活动组织内容”表示非常喜欢、喜欢及比较喜欢的学生共有多少名?

22、(本题 10 分)为缓解交通压力,节约能源减少大气污染,上海市政府推行“P+R”模式(即:开自驾车人士,
将车开到城郊结合部的轨道车站附近停车,转乘轨道交通到市中心).市郊某地正在修建地铁站,拟同步修建地下停 车库. 如图,是停车库坡道入口的设计图,其中 MN 是水平线,MN //AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分别为 D、F, 坡道 AB 的坡度 i ? 1: 3 ,AD=9 米,C 在 DE 上,DC=0.5 米,CD 是限高标志牌的高度(标志牌上写有:限高 米). 如果进入该车库车辆的高度不能超过线段 CF 的长,计算该停车库限高多少米.(结果精确到 0.1 米)

限高


D C

(提供可选用的数据: 2 ? 1.41 , 3 ? 1.73 , 10 ? 3.16 )
A

E M B

F N

23、(本题 12 分)如图,在平面直角坐标系中,等腰梯形 OABC,CB//OA,且点 A 在 x 轴正半轴上.已知 C(2,4),

BC= 4. (1)求过 O、C、B 三点的抛物线解析式,并写出顶点坐标和对称轴; (2)经过 O、C、B 三点的抛物线上是否存在 P 点(与原点 O 不重合),使得 P 点到两坐标轴的距离相等.如果存在,求 出 P 点坐标;如果不存在,请说明理由.
y C B

O

A

x

24、 (本题 12 分)如图,AD//BC,点 E、F 在 BC 上,∠1=∠2,AF⊥DE,垂足为点 O. (1)求证:四边形 AEFD 是菱形; (2)若 BE=EF=FC,求∠BAD+∠ADC 的度数; (3)若 BE=EF=FC,设 AB = m,CD = n,求四边形 ABCD 的面积.
A D

O 1 2 E F C
y D

B

25、 (本题 14 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y ? ?2x 2 ? 4x ? 6 与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧),与 y 轴交于 C 点,顶点为 D.过点 C、D 的直线与 x 轴交于 E 点,以 OE 为直径画⊙O1,交直线 CD 于 P、E 两点. (1)求 E 点的坐标; (2)联结 PO1、PA.求证: ?BCD ~ ?PO1A ; (3) ①以点 O2 (0,m)为圆心画⊙O2,使得⊙O2 与⊙O1 相切, 当⊙O2 经过点 C 时,求实数 m 的值; ②在①的情形下,试在坐标轴上找一点 O3,以 O3 为圆心画
E A O

C

B

x

⊙O3,使得⊙O3 与⊙O1、⊙O2 同时相切.直接写出满足条件的点 O3 的坐标(不需写出计算过程).

2011 年长宁初三数学教学质量检测试卷参考答案
一、选择题 1C 2B 3A 4C 5B 6C

二、填空题 7、 ab(3b ? 1) 12、2 8、 m2 ? m ? 2 9、减小 10、 1.0327? 106 15、 3 11、2 16、 (6,0)

3 13、 8 (或 0.375) ?n 18、 mn

14、 BA、 CD、 DC

17、 3 ? 5 三、解答题

19(10 分)解:原式=

6 3 3? 3

? ?? 1?

2011

?2 3?2

6分

= 2 3 ?1 ? 2 3 ? 2 =1
x 20(10 分)解:令 x ? ?y 2

2分

2分 1分
x ? 解:原方程化为: x ( x ? 2)
2

( 2 x ? 4 )( x ? 2 ) x ( x ? 2)

?1

2分

原方程化为
2

y? 2 ?1 y
2分 2分

当 x( x ? 2) ? 0 时, x2 ? 2( x ? 2)2 ? x( x ? 2) 整理得: x ? 5x ? 4 ? 0
2

整理得 y ? y ? 2 ? 0 解得 y1 ? 2, y2 ? ?1 当 y1 ? 2 时
x x?2

3分 2分

解得: x1 ? 4 、 x2 ? 1

? 2 解得 x1 ? 4
2分 2分 1分

(若前面无“当 x( x ? 2) ? 0 时”在此应当检验) 2 分 ∴原方程的解是 x1 ? 4 、 x2 ? 1

x 当 y1 ? ?1 时 x ? ? ?1 解得 x2 ? 1 2

1分

经检验: x1 ? 4 , x2 ? 1 是原方程的解 ∴原方程的解是 x1 ? 4 、 x2 ? 1

D

A

21(10 分)(1)70 (2)10 (3)1560

3分 4分
M B

C 1 2 E F N

3分

22(10 分)解:据题意得 tanB ? 1 3 ∵MN//AD ∴∠A=∠B ∴ tanA ? 1 3

∵DE⊥AD ∴在 Rt△ADE 中 tanA ? 又∵DC=0.5 ∵CF⊥AB ∴CE=2.5

DE AD

∵AD=9

∴DE=3

2分

∴∠1+∠2=90°

∵DE⊥AD ∴∠A+∠2=90° ∴∠A =∠1 ∴ tan?1 ? 1 3
2分

在 Rt△CEF 中 CE 2 ? EF2 ? CF2 设 EF=x CF=3x(x>0) CE=2.5 代入得 ? 5 ? ? x2 ? ?3x ?2 2
2

解得 x ?

10 4

(如果前面没有 “设 x ? 0 ”,则此处应“ x ? ?
2分

10 4

,舍负” )3 分

∴CF=3x= 3 410 ? 2.3

∴该停车库限高 2.3 米. 1 分

23(12 分)解:(1) ( 6 分)∵C(2,4), BC=4 且 BC//OA ∴ B(6,4) 设抛物线为 y ? ax2 ? bx ? c ?a ? 0?
(1) ? c?0 ? 将 O(0,0),C(2,4),B(6,4)代入得 ?4a ? 2b ? c ? 4 (2) ? 36a ? 6b ? 4 (3) ?
1 8 ∴ y ? ? x2 ? x 1分 3 3 16 ∴顶点 ( 4, ) 对称轴:直线 x ? 4 3

1分

1 ? ?a ? ? 3 ? 8 ? 解得 ? b ? 3 ? c ? 0 ? ? ?

3分

2分 1分 2分 2分

(2) (6 分)据题意,设 P(a, a) 或 P(a,?a) ?a ? 0?

1 8 将 P(a, a) 代入抛物线得 ? a 2 ? a ? a 解得 a1 ? 5, a2 ? 0 (舍) 3 3 1 2 8 将 P(a,?a) 代入抛物线得 ? a ? a ? ?a 解得 a1 ? 11, a2 ? 0 (舍) 3 3

∴符合条件的点 p(5,5) 和 p(11,?11)

1分

24(12 分) (1)( 4 分)证明:(方法一)∵AF⊥DE

∴∠1+∠3=90° 即:∠3=90°-∠1 ∴∠2+∠4=90° 即:∠4=90°-∠2 又∵∠1=∠2 ∵AD//BC ∵∠1=∠2 ∴AE = AD ∵AD//EF ∴四边形 AEFD 是平行四边形 1 分 又∵AE = AD ∴四边形 AEFD 是菱形 1 分 (方法二)∵AD//BC ∵∠1=∠2 ∵AF⊥DE ∴∠2=∠5 ∴∠1=∠5 ∴∠AOE=∠AOD=90° ∴∠3=∠4 ∴∠2=∠5
1 2

∴AE = EF

A

D

3
O

5

4
F C

∴∠1=∠5 ∴EF = AD 2 分

B

E

?1 ? ?5 ? ? 在△AEO 和△ADO 中 ??AOE ? ?AOD ? AO ? AO ?

∴△AEO ? △ADO ∴EO=OD

?1 ? ?2 ? ? EO ? EO 在△AEO 和△FEO 中 ? ∴△AEO ? △FEO ∴AO=FO ??AOE ? ?FOE ?
A

2分
D

∴AF 与 ED 互相平分

1分
1 2 B E

3 6
O

5

∴四边形 AEFD 是平行四边形 又∵AF⊥DE ∴四边形 AEFD 是菱形 1 分 (2)( 5 分)∵菱形 AEFD ∵BE=EF 又∵AD//BC ∴AD=BE ∴四边形 ABED 是平行四边形 1 分 ∴AD=EF

4
F C

∴AB//DE 同理可知 ∴AF//DC 又∵AF⊥ED

∴∠BAF=∠EOF 四边形 AFCD 是平行四边形 ∴∠EDC=∠EOF ∴∠EOF=∠AOD=90°

∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90° 2 分 ∴∠5 +∠6=90° 1分

∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6 +∠5+∠EDC =270° 1 分 (3)( 3 分)由(2)知∠BAF =90°平行四边形 AFCD 又∵AB=m ∴AF=CD=n 1分

S?ABF ?

1 1 AB ? AF ? mn 2 2
∴DE=AB=m

由(2)知 平行四边形 ABED 由(1)知 OD=

1 DE ? m 2

S四边形 AFCD ? AF ? OD ?
1分
2

1 mn 2

1分

S四边形ABCD ? S?ABF ? S四边形AFCD ? mn

25(14 分)解:(1) ( 3 分) y ? ?2x2 ? 4x ? 6 ? ?2?x ? 1? ? 8 ∴ C (0,6), D(1,8)
设直线 CD: y ? kx ? b?k ? 0? ∴CD 直线解析式: y ? 2 x ? 6
2

1分

将 C、D 代入得 ? 1分

?b ? 6 ?8?k ?6
1分

解得 ?

?k ? 2 ?b ? 6

E (?3,0)

(2) ( 4 分)令 y=0 得 ? 2 x ? 4 x ? 6 ? 0 ∴ A(?1,0) B(3,0) 1分

解得 x1 ? ?1 , x2 ? 3

又∵ O(0,0) 、 E (?3,0) ∴以 OE 为直径的圆心 O1 (? 3 . ,0) 、半径 r1 ? 3 2 2 设 P(t ,2t ? 6) 由 PO 1 ?
3 2



(t ? 3 ) 2 ? (2t ? 6) 2 ? 2
2分

3 2

解得 t1 ? ? 12 , t2 ? ?3 (舍) 5

∴ P(? 12 , 6) 5 5 ∴ PA ?
85 5

AO1 ? 1 2
CB ? 3 5 DB ? 2 17

又 DC ? 5



DC CB DB ? ? ?2 5 AO1 PO1 PA

1 分 ∴ ?BCD ~ ?PO1A
3 2

(3) ( 7 分)①

O1 (? 3 ,0) r1 ? 2

O2 (0, m) 据题意,显然点 O2 在点 C 下方
当⊙O2 与⊙O1 外切时 代入得 当⊙O2 与⊙O1 内切时 代入得 ∴ m1 ?

r2 ? O2C ? 6 ? m

O1O2 ? r1 ? r2
2
解得 m1 ?

?3 ?2 ? m2 ? 3 ? ?6 ? m ? 2
O1O2 ? r1 ? r2

18 , m2 ? 2 (舍)2 分 5

?3 ?2 ? m2 ? 3 ? ?6 ? m? 2
2

解得 m1 ? 2 , m2 ?

18 (舍) 2 分 5

18 , m2 ? 2 5
3分

② O3 ? 0,

? 18 ? ? 10 ? ? 3 ? ? 45 ? ? 14 ? ? 21 ? ? O3 ? 0,? ? O3 ? ,0 ? O3 ? ? ,0 ? O3 ? 0, ? O3 ?0,2? O3 ? ,0 ? 7 ? ? 2 ? ? 14 ? ? 15 ? ? 5? ? ? 2 ?



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