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高中数学必修2知识点——直线与方程


知识点—— ——直线与方程 高中数学必修 2 知识点——直线与方程 整理 许传敬

一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 ) 定义: 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 因此, 地,当直线与 x 轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角为 0 度。因此, °≤α 倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° °≤ ° (2)直线的斜率 ) 定义: ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线 °的直线, 的斜率。 表示。 的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k = tan α 。斜率反映直线与轴 的倾斜程度。 的倾斜程度。 当 α ∈ [0 o ,90 o )时, k ≥ 0 ; 当 α ∈ (90 o ,180 o ) 时, k < 0 ; 当 α = 90 o 时, k 不 存在。 存在。 ②过两点的直线的斜率公式: k = 过两点的直线的斜率公式:
y 2 ? y1 ( x1 ≠ x 2 ) x 2 ? x1

注意下面四点:(1)当 公式右边无意义, 注意下面四点:(1)当 x1 = x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存 90° 在,倾斜角为 90°; 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角 以后求斜率可不通过倾斜角而由直 (2)k (2) 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直 线上两点的坐标直接求得; 线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ) ①点斜式: y ? y1 = k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 (x1, y1) 点斜式: , 注意: k=0, 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 直线的斜率不存在, 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能 ° 用点斜式表示. 用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y = kx + b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b 斜截式:
y ? y1 x ? x1 = ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 )直线两点 (x1, y1) , ( x2 , y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1 截矩式: x y ④截矩式: + = 1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、y 轴的截 与 即 轴的截

③两点式: 两点式:

距分别为 a, b 。 一般式: ⑤一般式: Ax + By + C = 0 (A,B 不全为 0) , ) 2 特殊的方程如: 注意: 1 注意:○各式的适用范围 ○特殊的方程如: 为常数) 轴的直线: 轴的直线: ; 平行于 y 轴的直线:x = a 平行于 x 轴的直线:y = b(b 为常数) 为常数) (a 为常数) ;

(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 )直线系方程: (一)平行直线系 的常数) 平行于已知直线 A0 x + B0 y + C0 = 0( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的 直线系: 为常数) 直线系: A0 x + B0 y + C = 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系 斜率为 k 的直线系: y 的直线系: (ⅰ)
0 0

? y0 = k ( x ? x0 ) ,直线过定点 (x , y ) ;

过两条直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 ,l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 的交点 (ⅱ) 的直线系方程为 ( A1x + B1 y + C1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ( λ 为参数) 其中直线 l2 不在直线系 为参数) ,其中直线 , 中。 (6)两直线平行与垂直 ) 当 l1 : y = k1 x + b1 , l 2 : y = k 2 x + b2 时,

l1 // l 2 ? k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ; l1 ⊥ l 2 ? k1 k 2 = ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 ) l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0 相交 交点坐标即方程组 ?
? A1 x + B1 y + C1 = 0 的一组解。 的一组解。 ? A2 x + B2 y + C 2 = 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 B (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) )两点间距离公式: 是平面直角坐标系中的 两个点, 两个点,
2 2 则 | AB |= ( x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 )

点到直线距离公式: (9) ) 点到直线距离公式: 一点 P ( x0 , y 0 ) 到直线 l1 : Ax + By + C 的距离 d =
Ax0 + By0 + C A2 + B 2

=0

(10)两平行直线距离公式 ) 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。



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