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陕西省宝鸡中学2015届高三上学期期中考试数学(文)试题 A卷 word版


陕西省宝鸡中学 2015 届高三上学期期中考试数学(文)试 题 A卷
说明: 1.本试题分 I、II 两卷,第 I 卷的答案要按照 A、B 卷的要求涂到答题卡上,第 I 卷不交;2. 全卷共三大题 21 小题,满分 150 分,120 分钟完卷。 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分。每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上) 1. 命题“存在 x0 ? R , 2 A.对任意的 x0 ? R , 2 C.对任意的 x0 ? R , 2
X0

? 0 ”的否定是




X0
X0

X0
X0

?0
?0

B.存在 x0 ? R , 2

?0
?0

2.集合 M ? ?x | lg x ? 0?, N ? x | x 2 ? 4 ,则 M ? N = ( A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2]

?

?

D.不存在 x0 ? R , 2 )

D. [1,2]

3.已知函数

?log 2 x( x ? 0) f ( x) ? ? x ,则 ?3 ( x ? 0)
B. ? 9
2

? 1 ? f ? f ( )? 的值为 ( ? 4 ?
D. ? )

)

A. 9

C.

1 9

1 9

4.函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的递增区间是 ( A. (0, )

1 2

B. (?

1 1 1 1 1 ,0)和( , ? ?) C. ( , ? ?) D. (-?, - )和(0, ) 2 2 2 2 2


5.函数 f ( x) ? ?x ? log2 x 的零点所在区间为( A. ? , ? 4 2 6.设 a ? 2 , b ? ln
0.1

?1 1? ? ?

B. ? , ? 8 4

?1 1 ? ? ?

C. ?0, ? 8

? 1? ? ?

D. ? ,1? 2

?1 ? ? ?

A. b ? c ? a 7.下列判断错误的是(

5 9 , c ? log 3 ,则 a, b, c 的大小关系是( ) 2 10 B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. a ? b ? c


2 2 A. “ am ? bm ”是“ a ? b ”的充分不必要条件;

B. 若 f ?( x0 ) ? 0 ,则 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 的极值点; C. 函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,则其图像关于直线 x ? 1 对称; D. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,则周期为 2 .

8.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) (其中 a ? b ) 的图象如图 1 所示, 则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是图 2 中的( )
y=f (x)

图1

A

B 图2

C

D

9 .已知命题 p : ?m ? R, m ? 1 ? 0 ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? mx ? 1 ? 0 . 若“ p ? q ”为假 命题,则实数 m 的取值范围是( A. (??,?2] ? (?1,??) C. (??,?2] ? [2,??) ) B. [2,??) D. [?2,2]

3 2 10. 已知 f ( x) ? x ? 6x ? 9x ? abc, a ? b ? c ,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 . 现给出

如下结论: ① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 ; ⑤ abc ? 4 ;⑥ abc ? 4 .其中正确结论的序号是 ( A. ①③⑤ B. ①④⑥ C.②④⑥ ) D. ②③⑤

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题纸的相应位置上) 11.已知 sin(

?
6

??) ?
3

2 ? ,则 cos( ? ? ) ? 3 3
2

. .

12.在曲线 y ? x ? 3x ? 6 x ? 10 的所有切线中,斜率最小的切线方程是 13.已知函数 f ( x) = ?

?2 x ? 1, x ? 0
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0

若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实数 m 的

取值范围是________.
2 14.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围



.

15.已知函数的对称中心为 M ( x0 , y0 ) ,记函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,函数 f ?( x) 的导

函 数 为 f ??( x) , 则 有 f ??( x0 ) ? 0 . 若 函 数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 , 则 可 求 得 :

? 1 ? ? 2 ? ? 4022 ? ? 4023 ? f? ?? f ? ? ? ... ? f ? ? ?f ? ?? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ?

.

三、解答题(本大题共 5 小题 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知集合

A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?.
( 1)求 A ? B , (C R A) ? B ; ( 2)若“ x ? C ”是“ x ? ( A ? B) ”的充分条件 ,求 a 的取值范围 . 17.(本小题满分 12 分)设命题 p :关于 x 的不等式 a x ? 1(a ? 0, a ? 1) 的解集为 (??,0) ; 命题 q :函数 f ( x) ? ln(ax2 ? x ? 2) 的定义域是 R . 如果命题“ p ? q ”为真命题, “ p ? q ”为假命题,求 a 的取值范围 . 18. (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般 情况下,大桥上的车流速度 v (单位: 千米/小时)是车流密度 x (单位: 辆/千米)的函数.当 桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度 不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速 度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v( x) 的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时).

19.(本小题满分 13 分)定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? 3 同时满足以下条件 : ① f ( x) 在 (0,1) 上是减函数 ,在 (1,??) 上是增函数; ② f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数且是偶函数; ③ f ( x) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直. (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)设函数 g ( x) ? 4 ln x ? m ,若存在 x ? [1, e] ,使 g ( x) ? f ?( x) 成立,求实数 m 的取值 范围 . 20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ( 1)求 f ( x) 的单调区间和极值; ( 2)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,若 g ( x) 在 [1, e] 上不单调且仅在 x ? e 处取得最大值,求 a 的取值范围; ( 3) 当 a ? 1 时, 探究当 x ? (1,??) 时, 函数 y ? f ( x) 的图像与函数 h( x) ? 图像之间的关系,并证明你的结论 .

1 2 x ? a ln x (a ? R) 2

1 2 x ? x ?1 2

参考答案
一.选择题: A 卷:ACCC ADBA AD 二.填空题: 11. 三.解答题: 16.解: (1) A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?, 因为 CR A ? x | x ? 3或x ? 7 , 所以 ?C R A? ? B ? x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10 . (2)由已知 C ? ? A ? B ?,由(1)知 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?, ①当 C ? ? 时,满足 C ? ? A ? B ?,此时 5 ? a ? a ,得 a ?

2 ; 12. 3x ? y ? 11 ? 0 ; 3

13. [0,1) ; 14.

(0,1) ;15. -8046

?

?

?

?

5 ; 2

?5 ? a ? a 5 ? ②当 C ? ? 时,要 C ? ? A ? B ?,则 ?5 ? a ? 2 ,解得 ? a ? 3 . 2 ?a ? 10 ?
由①②得, a ? 3 . 17.解: p 为真命题 ? 0 ? a ? 1 ;

q 为真命题 ? a ? 0 且 1 ? 8a ? 0 ,即 a ?
由题意, p 和 q 有且只有一个是真命题.

1 8

p 真 q 假? 0 ? a ? p 假 q 真? a ?1

1 8

综上所述: a ? (0, ] ? [1,?? ) 。

1 8

?60(0 ? x ? 20) ? 18.解: (1) v( x) ? ? x 200 ? ? (20 ? x ? 200) ? 3 ? 3 ?60 x(0 ? x ? 20) ? (2) f ( x) ? ? x 2 200 x ? (20 ? x ? 200) ?? 3 ? 3
当 x ? 100 辆 |小时, f ( x) max ?

10000 ? 3333 辆。 3

19.解:(1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ∵ f ( x) 在 ? 0,1? 上是减函数,在 ?1, ?? ? 上是增函数, ∴ f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 由 f ?( x ) 是偶函数得: b ? 0 ① ②

又 f ( x) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直, ∴ f ?(0) ? c ? ?1 由①②③得: a ? ③

1 1 , b ? 0, c ? ?1 ,即 f ( x) ? x 3 ? x ? 3 . 3 3

(2)由已知得:若存在 x ? ?1, e? ,使 4ln x ? m ? x 2 ? 1 , 即存在 x ? ?1, e? ,使 m ? 4ln x ? x 2 ? 1 , 设 M ( x) ? 4ln x ? x ?1
2

x ??1, e? ,

4 4 ? 2 x2 则 M ?( x) ? ? 2 x ? x x
令 M ?( x) =0,∵ x ? ?1, e? ,∴ x ?

2

当 2 ? x ? e 时, M ?( x) ? 0 ,∴ M ( x) 在 ( 2, e] 上为减函数 . 当1 ? x ?

2 时, M ?( x) ? 0 ,∴ M ( x) 在 [1, 2] 上为增函数 .

∴ M ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 M (1) , M (e) 中较小者. 而 M (1) ? 0 , M (e) ? 0 .即最小值为 M (e) ? 5 ? e2 , 于是有 m ? 5 ? e 为所求.
2

20.解: (1)

f ?( x) ? x ?

a x2 ? a ? ? x ? 0? x x ,

? 0, ?? ? 上递增; ? 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 0 , f ( x ) 在
若 a ? 0 ,则由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a a

? 由 f ( x) ? 0 ,得 0 ? x ?
此时增区间为 当 a ? 0 时,显见 x ? 当 a ? 0 时,无极值.

?

a , ??

? ,减区间为 ? 0, a ? .
f

a 为极小值点,极小值为

? a ? ln a ? ? a? ? a 2 ;

(2) g ( x) ? x ?
'

a x2 ? 2x ? a ?2? ( x ? 0) , x x

设 h( x) ? x 2 ? 2 x ? a ( x ? 0) 若 g ( x) 在 [1, e] 上不单调,则 h(1)h(e) ? 0 ,? (3 ? a)(e2 ? 2e ? a) ? 0

? 3 ? a ? e2 ? 2e
同时 g ( x) 仅在 x ? e 处取得最大值,

?只要g (e) ? g (1) 即可得出: a ?
e2 5 故 a 的范围: (3, ? 2e ? ) 2 2 .

e2 5 ? 2e ? 2 2



(3)结论:在区间 ?1, ?? ? 上,函数 y ? f ( x) 的图像总在函数 h( x ) ? 的上方. 即证:当 x ? 1 , f ? x ? ? h ? x ? ,即 ln x ? 1 ? x .

1 2 x ? x ? 1 图像 2



m ? x ? ? ln x ?1? x

,显见,

m? ? x ? ?

1 ?1 ? 0 x ,



m ? x?



?1, ??? 减,所以 m? x? ? m ?1? ? 0 ,得证.



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