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高中数学3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案新人教A版选修2-2剖析


§3.2.2
学习目标 1. 理解共轭复数的概念;

复数代数形式的乘除运算

2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.

学习过程 一、课前准备 (预习教材 P68~ P70,找出疑惑之处) 复习 1:计算(1) (1 ? 4i )+(7 ? 2i) (2) (5 ? 2i )+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3) (3 ? 2i )-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)]

复习 2:计算:
( a ? b) 2 =

(3a ? 2b)(3a ? 2b) = (3a ? 2b)(?a ? 3b) =

二、新课导学
1

学习探究 探究任务一:复数代数形式的乘法运算 规定,复数的乘法法则如下: 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,是任意两个复数,那么
(a ? bi )(c ? di ) ? ac ? bci ? adi ? bdi 2

= (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i 即:两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把 i 2 换成 ?1 ,并且把实 部与虚部分别合并即可.

问题:复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律?

试试:计算(1) (1 ? 4i ) ? (7 ? 2i ) (2) (7 ? 2i ) ? (1 ? 4i ) (3) [(3 ? 2i ) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (4) (3 ? 2i ) ?[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)]

新知:对于任意 z 1 , z2 , z3 ? C ,有

z 1?z2 ? z2 ? z1
2

( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) z1 ( z2 ? z3 ) ? z1 z2 ? z1 z3 )

反思:复数的四则运算类似于多项式的四则运算,也满足其在实数集上的运算律.

探究任务二:共轭复数 新知:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不 等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

试试: 3 ? 4i 的共轭复数为

a ? bi 的共轭复数为

bi 的共轭复数为

问:若 z1 , z2 是共轭复数,那么(1)在复平面内,它们所对应的点的位置关系为: (2) z1 ? z2 是一个怎样的数?

探究任务三:复数的除法法则
(a ? bi ) ? (c ? di ) ? a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i c ? di (c ? di )(c ? di ) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

(c ? di ? 0)

典型例题 例 1 计算: (1) (3 ? 4i )(3 ? 4i) ; (2) (1 ? i ) 2

3

变式:计算: (1) ( 3 ? 2i )(? 3 ? 2i ) ; (2) (1 ? i ) 2 ; (3) i (2 ? i )(1 ? 2i )

小结:复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算. 例 2 计算(1) (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i) ; (2)
?2 3 ? i 2 1996 ?( ) 1? i 1 ? 2 3i

4

变式:计算(1)

3 ? 2i 3?i , (2) 2 (1 ? 2i ) (1 ? i ) 2 ? 1

小结:复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。

动手试试 练 1. 计算: (1) (1 ? 2i )(3 ? 4i )(?2 ? i )

5

练 2. 计算: (1)

1? i 1? i (?1 ? i )(2 ? i) , (2) , (3) 1? i 1? i ?i

三、总结提升 学习小结 1. 复数的乘除运算; 2. 共轭复数的定义.

知识拓展
i 具有周期性,即: i 4 n ? 1 ; i 4 n ?1 ? i ; i 4 n ? 2 ? i 2 ? ?1 ;
i 4 n ? 3 ? ?i ;

学习评价

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

6

1. 复数

5 的共轭复数是( i?2
B. i ? 2 C. ?2 ? i

) D. 2 ? i

A. i ? 2

1 3 3 2. 复数 ( ? i ) 的值是( 2 2

) D.1 )

A. ?i

B. i

C. ?1

3. 如果复数

2 ? bi 的实部和虚部互为相反数,那么实数 b 的值为( 1 ? 2i
B. ? 2 C. ?

A. 2

2 3

D.

2 3

4.若 z ? 1 ? 2i ,则 z 2 ? 2 z 的值为 5. 若复数 z 满足

1? z ? i ,则 | z ? 1| 的值为 1? z

课后作业 1. 计算:
1 3 3 1 1 3 (1) (? ? (2) ( i ? )(? ? i )(1 ? i ) ; i) 2 2 2 2 2 2

(3)

2?i 5(4 ? i ) 2 ; (4) i (2 ? i ) 7 ? 4i

2. 已知 2i ? 3 是关于 x 的方程 2 x 2 ? px ? q ? 0 的一个根,求实数 p, q 的值.

7



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