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高中数学复习专题讲座(第13讲)构建数学模型解数列综合题和应用性问题doc

题目 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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高中数学复习专题讲座新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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构建数学模型解数列综合题和应用性问题 新疆
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高考要求 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不

仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相

关;数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄

率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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这就要求同学们

除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和

方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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重难点归纳新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好

的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、

归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他

相关知识来解决问题新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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(1)事理关 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读

能力 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(2)文理关 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式

子表达数学关系新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(3)事理关新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能

力,认定或构建相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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建出数学模型后,要正确得到问题的解,还需要比较扎实的基础知识和较强

的数理能力新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
典型题例示范讲解新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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例 1 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并
以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上

年减少 1 ,本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业 5

的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

1

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4

(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万 元,写出 an,bn 的表达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?

命题意图 新疆 源头学子小屋 http://w ww.xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础

知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,

属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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知识依托 新疆 源头学子小屋 http://w ww.xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建

模、数列求和、不等式的解法等知识点新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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错解分析 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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(1)问 an、bn 实际上是两个数列的前 n 项和,易与“通项”

混淆;(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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技巧与方法 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的

灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)第 1 年投入为 800 万元,

第 2 年投入为 800×(1- 1 )万元,… 5

第 n 年投入为 800×(1- 1 )n-1 万元, 5

所以,n

年内的总投入为新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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an=800+800×(1- 1 )+…+800×(1- 1 )n-1

5

5

?n
=

800×(1- 1 )k-1=4000×[1-( 4 )n]

k ?1

5

5

第 1 年旅游业收入为 400 万元,

第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 1 ),…, 4



n

年旅游业收入

400×(1+

1 4

)n-1

万元 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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所以,n 年内的旅游业总收入为

bn=400+400×(1+ 1 )+…+400×(1+ 1 )k-1

4

4

?n
=

400×( 5 )k-1=1600×[( 5 )n-1]

k ?1

4

4

(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,

即 1600×[( 5 )n-1]-4000×[1-( 4 )n]>0,

4

5



x=(

4 5

)n,代入上式得新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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5x2-7x+2>0新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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解此不等式,得

x<

2 5

,或

x>1(舍去)新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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即(

4 5

)n<

2 5

,由此得

n≥5 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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∴至少经过

5

年,旅游业的总收入才能超过总投入新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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2

已知

Sn=1+

1 2

?

1 3

+…+

1 n

,(n∈N*),设

f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数

m

的取值范围,使得对于一切大于

1

的自然数

n,不等式新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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f(n)>[logm(m-1)]2-

11 20

[log(m-1)m]2

恒成立新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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命题意图 新疆 源头学子小屋 http://w ww.xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需

较强的综合分析问题、解决问题的能力新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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知识依托 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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错解分析 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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本题学生很容易求 f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式

难以处理 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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解决本题的关键是把 f(n)(n∈N*)看作是 n 的函数,此时

不等式的恒成立就转化为新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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函数

f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2-

11 20

[log(m-1)m]2 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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∵Sn=1+ 1 ? 1 +…+ 1

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23 n

(n∈N*)

?

f

(n)

?

S 2 n ?1

?

S n ?1

?

n

1 ?

2

?

n

1 ?

3

???

1 2n ?1

又f (n ? 1) ? f (n) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 2n ? 2 2n ? 3 n ? 2 2n ? 2 2n ? 3 2n ? 4

?( 1 ? 1 )?( 1 ? 1 )?0 2n ? 2 2n ? 4 2n ? 3 2n ? 4

∴f(n+1)>f(n) ∴f(n)是关于 n 的增函数

∴f(n)

min=f(2)=

2

1 ?

2

?

2

1 ?

3

?

9 20

∴要使一切大于 1 的自然数 n,不等式

f(n)>[logm(m-1)]2- 11 [log(m-1)m]2 恒成立 20

只要 9 >[logm(m-1)]2- 11 [log(m-1)m]2 成立即可

20

20



?m ??m

? 0,m ? 1 ?1 ? 0,m ?

1

?

1



m>1



m≠2

此时设[logm(m-1)]2=t 则 t>0

于是

?? ?

9 20

?

t

?

11 20

??t ? 0

解得 0<t<1

由此得 0<[logm(m-1)]2<1

解得 m> 1? 2

5



m≠2 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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例 3 已知二次函数 y=f(x)在 x= t ? 2 处取得最小值- t 2

2

4

(1)求 y=f(x)的表达式;

(t>0),f(1)=0新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n

∈N*),试用 t 表示 an 和 bn;

(3) 设 圆 Cn 的 方 程 为 (x - an)2+(y - bn)2=rn2 , 圆 Cn 与 Cn+1 外 切

(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列,记 Sn 为前 n 个圆的面积之和,



rn、Sn 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)设 f(x)=a(x- t ? 2 )2- t 2

2

4

,由

f(1)=0



a=1 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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∴f(x)=x2-(t+2)x+t+1新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(2)将

f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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(x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1, 上式对任意的 x∈R 都成立,



x=1



x=t+1

分别代入上式得新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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??an ? bn ? 1 ? ??(t ? 1)an ? bn

?

(t

? 1)n?1



t≠0,

解得 an= 1 [(t+1)n+1-1],bn= t ? 1 [1-(t+1 ] n)

t

t

(3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,

又由(2)知 an+bn=1,故圆 Cn 的圆心 On 在直线 x+y=1 上,

又圆 Cn 与圆 Cn+1 相切,故有 rn+rn+1= 2 |an+1-an|= 2 (t+1)n+1 设{rn}的公比为 q,则 ??rn ? rnq ? 2(t ?1)n?1    ① ? ??rn?1 ? rn?1q ? 2(t ?1)n?2   ②

②÷①得

q=

rn?1 rn

=t+1,代入①得

rn=

2(t ? 1)n?1 t?2

∴Sn=π

(r12+r22+…+rn2)=

?r12 (q2n ? 1) q2 ?1

?

2?(t ? 1)4 t(t ? 2)3

[(t+1)2n-1]新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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学生巩固练习新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,…,n,…时,

其抛物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2,…,dn,…,则 lim (d1+d2+…+dn) n ??

的值是( )

A 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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2

C 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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3

D 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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4

2

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在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限

的两个点,若 1,x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比

数列,则△OP1P2

的面积是_________新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升,然后再用水加满,再倒出 b 升,

再用水加满;这样倒了

n

次,则容器中有纯酒精_________升新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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2000



3



5

日九届人大五次会议《政府工作报告》新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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“2001

年国内生产总值达到

95933

亿元,比上年增长

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3%,”如果“十·五”期

间(2001 年~2005 年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到

“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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已知数列{an}满足条件新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为 q(q>

0)的等比数列,设

bn=a2n-1+a2n(n=1,2,…)新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N*)成立的 q 的取值范围;

(2)求

bn



lim
n??

1 Sn

,其中

Sn=b1+b2+…+bn;

(3)设

r=219 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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2-1,q= 1 ,求数列{ log 2 bn?1

2

log2 bn

}的最大项和最小项的值新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖

金分配方案如下新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由

1 到 n 排序,第 1 位职工得奖金 b 元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工, n
按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
(1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k、n 和
b 表示 ak(不必证明);
(2)证明 ak>ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意
义;

(3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 lim

Pn(b)新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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n??

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据有关资料,1995

年我国工业废弃垃圾达到

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4×108 吨,占地

562新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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4 平方公里,若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资,则相当于处理和减少

4 吨工业废弃垃圾,并可节约开采各种矿石 20 吨,设环保部门 1996 年回收

10

万吨废旧物资,计划以后每年递增

20%的回收量,试问新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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(1)2001 年回收废旧物资多少吨?

(2)从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)?

(3)从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地?

8

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已知点的序列 An(xn,0),n∈N,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2

的中点,A4 是线段

A2A3 的中点,…,An 是线段

An-2An-1

的中点,…新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3);

(2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加

以证明;

(3)求 lim

xn 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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n??

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当 a=n 时 y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1

由|x1-x2|=

? a

,得

dn=

1 n(n ? 1)



∴d1+d2+…+dn

?

1 1? 2

?

1 2?3

?

?1 n(n ?1)

?1? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?1? 1

223

n n ?1 n ?1

?lim(d1 ? d2 ? n??

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A

?

dn

)

?

lim(1
n??

?

n

1 ?

) 1

?

1

2

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1,x1,x2,4

依次成等差数列得新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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2x1=x2+1,x1+x2=5

解得

x1=2,x2=3新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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又由 1,y1,y2,8 依次成等比数列,得 y12=y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4,

∴P1(2,2),P2(3,4)新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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∴ OP1 ? (2,2),OP2 =(3,4)

∴ OP1OP2 ? 6 ? 8 ? 14,OP1 ? 2 2,| OP2 |? 5,

?cos P1OP2

? OP1OP2 ? 14 | OP1 || OP2 | 5? 2

2

?

72 10

,?sin

P1OP2

?

2 10

? S?OP1P2

?

1 2

| OP1

|| OP2

| sin P1OP2

?

1?2 2

2?5? 2 10

?

1

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1

3

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第一次容器中有纯酒精 a-b 即 a(1- b )升, a

第二次有纯酒精

a(1-

b

)-

a(1 ?

b) ab

,即

a(1-

b

)2

升,

a

a

a

故第 n 次有纯酒精 a(1- b a

)n

升 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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a(1- b )n a

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从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项,



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3%为公比的等比数列,∴a5=95933(1+7新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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120000

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(1)由题意得

rqn-1+rqn>rqn+1新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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3%)4≈120000(亿元)新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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由题设

r>0,q>0,故从上式可得新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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因 q>0,故 0<q< 1 ? 5 ; 2

q2-q-1<0,解得 1 ? 5 <q< 1 ? 5 ,

2

2

(2)∵ an?1an?2 an an?1

? an?2 an

? q,? bn?1 bn

? a2n?1 ? a2n?2 a2n?1 ? a2n

?

a2n?1q ? a2nq a2n?1 ? a2n

?q

?0

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b1=1+r≠0,所以{bn}是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列,从而 bn=(1+r)qn-1新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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当 q=1 时,Sn=n(1+r),

1 lim S n?? n

? lim 1 ? 0; n?? n(1? r)

当0

?

q

? 1时, Sn

?

(1 ?

r)(1? qn ) ,
1? q

lim
n??

1 Sn

?

lim
n??

1? q (1? r)(1? qn )

? 1?q; 1? r

当q

? 1时, Sn

?

(1 ?

r )(1 ? 1? q

qn)

,

lim
n??

1 Sn

?

lim
n??

1? q (1? r)(1? qn )

?

0,

所以lim n??

1 Sn

?

???11??

q r

??0,

,

(0 ? q ? 1) (q ? 1)

(3)由(2), 有bn ? (1? r)qn?1

log 2 bn?1 log 2 bn

?

log 2[(1 ? r)qn ] log 2[(1 ? r)qn?1]

?

log 2 (1 ? r) ? nlog 2 q log 2 (1 ? r)(n ? 1)log 2 q

?1?

n

1. ? 20.2

记Cn

?

log 2 bn?1 log 2 bn

,从上式可知,



n-20 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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2>0,即 n≥21(n∈N*)时,Cn 随 n 的增大而减小,

故 1<Cn≤C21=1+

1 21 ? 20.2

?1?

1 0.8

=2 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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25





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2<0,即 n≤20(n∈N*)时,Cn 也随 n 的增大而减小,



1>Cn≥C20=1+

20

1 ? 20.2

?

1

?

1 0.2

=-4

综合①②两式知,对任意的自然数 n 有 C20≤Cn≤C21,

故{Cn}的最大项

C21=2 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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25,最小项

C20=-4新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)第

1

位职工的奖金

a1=

b n





2

位职工的奖金

a2=

1 n

(1-

1 n

)b,



3

位职工的奖金

a3=

1 n

(1-

1 n

)2b,…,



k

位职工的奖金

ak=

1 n

(1- 1 )k-1b; n

(2)ak-ak+1=

1 n2

(1-

1 n

)k-1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或

“不吃大锅饭”的原则新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
(3)设 fk(b)表示奖金发给第 k 位职工后所剩余数,



f1(b)=(1-

1

)b,f2(b)=(1-

1

)2b,…,fk(b)=(1-

1

)kb 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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n

n

n



Pn(b)=fn(b)=(1-

1 n

)nb,



lim
n??

Pn

(b)

?

b e

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设 an 表示第 n 年的废旧物资回收量,Sn 表示前 n 年废旧物资回

收总量,则数列{an}是以

10

为首项,1+20%为公比的等比数列新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)

(2)S6=

10[(1 ? (1 ?

20%) 6 20%) ?

? 1

1]

?

10

?

1.66 ? 0.2

1

=99.2992≈99.3(万吨)

∴从

1996

年到

2000

年共节约开采矿石

20×99新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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3≈1986(万吨)

(3)由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾 4×99.3=397.2(万

吨),

∴从

1996

年到

2001

年共节约新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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562.4 ? 397.2 ?104 ≈3 7.4 ?108

平方公里新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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8

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解 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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(1)当

n≥3

时,xn=

xn?1

? 2

xn?2

;

(2)a1

?

x2

?

x1

?

a, a2

?

x3

?

x2

?

x2

? 2

x1

?

x2

?

?

1 2

(

x2

?

x1 )

?

? 1 a, 2

a2

?

x4

?

x3

?

x3

? 2

x2

?

x3

?

?

1 2

(

x3

?

x2

)

?

?

1 2

(?

1 2

a)

?

1a 4

由此推测

an=(-

1 2

)n-1a(n∈N)

证法一 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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因为 a1=a>0,且

an

?

xn?1

?

xn

?

xn

? xn?1 2

?

xn

?

xn?1 ? xn 2

?

1 2 (xn

?

xn?1 )

?

?

1 2

an?1

(n≥2)

所以

an=(-

1 2

)n-1a 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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证法二 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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用数学归纳法证明新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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(ⅰ)当

n=1

时,a1=x2-x1=a=(-

1 2

)0a,公式成立;

(ⅱ)假设当

n=k

时,公式成立,即

ak=(-

1 2

)k-1a

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那么当 n=k+1 时,

ak+1=xk+2-xk+1=

xk?1 ? 2

xk

?

xk ?1

?

?

1 2

( xk ?1

?

xk

)

?

?

1 2

ak

? ? 1 (? 1 )k?1a ? (? 1 )(k?1)?1a公式仍成立.

22

2

据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任意

n∈N,公式

an=(-

1 2

)n-1a

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(3)当 n≥3 时,有

xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+…+a1,

由(2)知{an}是公比为-

1 2

的等比数列,所以

lim
n??

xn

? a1 1? (? 1)

?

2 3

a 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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2

课前后备注新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126.com
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