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高中数学 2


2.2.1 向量加法运算及其几何意义
一、选择题 1. 【题文】如图所示,在平行四边形 ABCD 中, BC ? DC ? BA 等于 ( 7. 【题文】如图所示的方格纸中有定点 O , P , Q , E , F , G , H ,则 OP ? OQ ? (

??? ? ????



??? ? ???? ??? ?

)

A. BD

??? ?

B. DB

??? ?

C. BC

??? ?

D. CB

??? ?

2. 【题文】在△ ABC 中, AB ? a , BC ? b ,则 a ? b 等于( A. CA

??? ?

?

??? ?

?

?

?

) D. AC

A. OH

????

B. OG

????

C. FO

??? ?

D. EO

??? ?

??? ?

B. BC

??? ?

C. AB

??? ?

??? ?
8. 【题文】如图所示,四边形 ABCD 是梯形, AD ? BC ,则 OA+ BC ? AB ? (

??? ? ??? ? ??? ?

)

3. 【题文】在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形 ABCD 一定是( A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形

??? ?

??? ? ????



A. CD 4. 【题文】若四边形 ABCD 为菱形,则下列等式中成立的是( A. AB ? BC ? AC C. AC ? BA ? BD )

??? ?

B. OC

??? ?

C. DA

??? ?

D. CO

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

B. AB ? AC ? BC

??? ? ??? ?

??? ? ????

二、填空题 9. 【题文】在平行四边形 ABCD 中,若 BC ? BA ? BC ? AB ,则四边形 ABCD 是________.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

D. AC ? AD ? DC

??? ? ????

5.【题文】已知向量 a 表示“向东航行 1 km ”,向量 b 表示“向南航行 1 km ”,则 a ? b 表示 ( ) A.向东南航行 2 km C.向东北航行 2 km B.向东南航行 2 km D.向东北航行 2 km

10. 【题文】已知 a ? 3 , b ? 5 ,则向量 a ? b 模长的最大值是____.

11.【题文】已知 AB ? 3 , BC ? 5 ,则 AC 的取值范围是________

??? ?

??? ?

????

6.【题文】已知

a , b 为非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则(

)

三、解答题 12. 【题文】设表示“向东走 19 km ”,表示“向西走 5 km ”,表示“向北走 10 km ”, d 表示 “向南走 5 km ”,试说明下列向量的意义.
1

A. a ? b ,且 a 与 b 方向相同 C. a ? b

B. a , b 是共线向量且方向相反 D. a , b 无论什么关系均可

? ?

(1) a ? a ; (2) a ? b ; (3) a ? c ; (4) b ? d ; (5) b ? c ? b ; (6) d ? a ? d .

?

?

? ?

? ?

? ? ?

? ? ?

? ?

?

? ?

13. 【题文】在水流速度为 10 km/h 的河中,如果要使船以 10 3 km/h 的速度与河岸成直角地横 渡,求船行驶速度的大小与方向.

14.【题文】求证:三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形.

2.2.1 向量加法运算及其几何意义 参考答案与解析 1.【答案】C 【解析】 BC ? DC ? BA ? BC ? DC ? BA ? BC ? 0 ? BC . 考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易

??? ? ???? ??? ?

??? ?

?

???? ??? ?

?

??? ? ?

??? ?

2.【答案】D 【解析】∵在△ ABC 中, AB ? a , BC ? b ,∴ a ? b ? AB ? BC ? AC .故选 D.
2

??? ?

?

??? ?

?

? ?

??? ? ??? ?

??? ?

考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易

3.【答案】D 【解析】在四边形 ABCD 中,∵ AC ? AB ? AD , AC ? AB ? BC ,

??? ?

??? ? ????

??? ?

??? ? ??? ?

考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般

???? ??? ? ∴ AD ? BC ,∴ AD ? BC , AD ? BC ,∴四边形 ABCD 是平行四边形.故选 D.

6.【答案】A 【解析】由 a ? b ? a ? b 可知,a 与 b 必共线且方向相同,故选 A. 考点:向量的加法及其几何意义. 考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易 7.【答案】C 4.【答案】A 【题型】选择题 【难度】一般

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AB ? BC ? AC , AB ? AC ? BC , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? AC ? BA ? BD , AC ? AD ? DC ,故选 A.
考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易

【解析】设 a ? OP ? OQ ,以 OP 、 OQ 为邻边作平行四边形,则夹在 OP 、 OQ 之间的对角线 对应的向量即为向量 a ? OP ? OQ ,由于和 FO 长度相等,方向相同, ∴ a ? FO ,故选 C. 考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般

?

??? ? ???? ?

??? ? ????

??? ?

?

??? ?

5.【答案】A 【解析】如图所示,设 AD ? a , AB ? b ,由向量加法的平行四边形法则可知四边形 ABCD 为

????

??? ?

8.【答案】B 【解析】 OA+ BC ? AB ? OA+ AB ? BC =OC . 考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般

???? π 正方形,且 a ? b ? AC ? 2 , ?BAC ? ,故选 A. 4

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

3

9.【答案】矩形

??? ? ??? ? ??? ? 【解析】由图知 BC ? BA ? BD .

【解析】表示“向东走 19 km ”,表示“向西走 5 km ”,表示“向北走 10 km ”,d 表示“向 南走 5 km ”, 故(1) a ? a 表示“向东走了 38 km ”;

? ?

?

?

又 BC ? AB ? AD ? AB ? AC ,∴ BD = AC . ∴四边形 ABCD 为矩形. 考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】一般

??? ? ??? ?

???? ??? ?

????

??? ?

????

(2) a ? b 表示“向东走了 14 km ”; (3) a ? c 表示“先向东走了 19 km ,再向北走了 10 km ”; (4) b ? d 表示“先向西走了 5 km ,再向南走了 5 km ”; (5) b ? c ? b 表示“先向西走了 10 km ,再向北走了 10 km ”; (6) d ? a ? d 表示“先向东走了 19 km ,再向南走了 10 km ”.

? ? ? ?

? ? ?

? ? ?
? ? ?

? ?

10.【答案】 【解析】∵ a ? b ? a ? b ? 3 ? 5 ? 8 ,∴ a ? b 的最大值为. 考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】较易 11.【答案】 ? 2,8? 【解析】 AC ? AB ? BC ? AB ? BC ? 8 , 且 AC ? AB ? BC ? AB ? BC ? 2 . ∴ 2 ? AC ? 8 . 考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】一般

考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】较易

13.【答案】船行驶速度为 20 km/h ,方向与水流方向成120? 角 【解析】如图, OA 表示水流方向, OB 表示垂直于对岸横渡的方向, OC 表示船行驶的方向,

??? ?

??? ?

??? ?

120? ,即船行驶速 由 OB ? OC ? OA ,及 OA ? CB 且 ?OBC ? 90? ,知 OC ? 20 , ?AOC=

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

????

????

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

度为 20 km/h ,方向与水流方向成 120? 角.

????

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

????

考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】较易

14.【答案】详见解析 12.【答案】详见解析 【解析】证明:要证明三个向量首尾相连构成三角形,只要证明三个向量的和为即 可.如图所示:设△ ABC 的三边对应的向量为 a ? BC , b ? CA , c ? AB ,那么
4

??? ?

??? ?

??? ?

? a ? b ?c ? 0 ,设 D 、 E 、 F 分别为三边 BC , CA , AB 的中点,于是中线对应的向
量分别为 AD ? AB ? BD ? c ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 1 a , BE ? BC ? CE ? a ? b , 2 2

???? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 CF ? CA ? AF ? b ? c ,∴ AD ? BE ? CF ? a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? ? 0 .∴ 2 2 ???? ??? ? ??? ? AD ? BE ? CF ? ,故结论得证,即三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构
成一个三角形.

考点:向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】一般

5



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