高中数学 2

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
一、选择题 1. 【题文】如图所示，在平行四边形 ABCD 中， BC ? DC ? BA 等于 ( 7． 【题文】如图所示的方格纸中有定点 O ， P ， Q ， E ， F ， G ， H ，则 OP ? OQ ? （

??? ? ????

）

??? ? ???? ??? ?

)

A. BD

??? ?

B. DB

??? ?

C. BC

??? ?

D. CB

??? ?

2． 【题文】在△ ABC 中， AB ? a ， BC ? b ，则 a ? b 等于（ A． CA

??? ?

?

??? ?

?

?

?

） D． AC

A． OH

????

B． OG

????

C． FO

??? ?

D． EO

??? ?

??? ?

B． BC

??? ?

C． AB

??? ?

??? ?
8. 【题文】如图所示，四边形 ABCD 是梯形， AD ? BC ，则 OA+ BC ? AB ? (

??? ? ??? ? ??? ?

)

3． 【题文】在四边形 ABCD 中，若 AC ? AB ? AD ，则四边形 ABCD 一定是（ A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形

??? ?

??? ? ????

）

A. CD 4． 【题文】若四边形 ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是（ A． AB ? BC ? AC C． AC ? BA ? BD ）

??? ?

B. OC

??? ?

C. DA

??? ?

D. CO

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

B． AB ? AC ? BC

??? ? ??? ?

??? ? ????

二、填空题 9． 【题文】在平行四边形 ABCD 中，若 BC ? BA ? BC ? AB ，则四边形 ABCD 是________．

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

D． AC ? AD ? DC

??? ? ????

5．【题文】已知向量 a 表示“向东航行 1 km ”，向量 b 表示“向南航行 1 km ”，则 a ? b 表示 ( ) A．向东南航行 2 km C．向东北航行 2 km B．向东南航行 2 km D．向东北航行 2 km

10． 【题文】已知 a ? 3 ， b ? 5 ，则向量 a ? b 模长的最大值是____．

11．【题文】已知 AB ? 3 ， BC ? 5 ，则 AC 的取值范围是________

??? ?

??? ?

????

6.【题文】已知

a ， b 为非零向量，且 a ? b ? a ? b ，则(

)

三、解答题 12． 【题文】设表示“向东走 19 km ”，表示“向西走 5 km ”，表示“向北走 10 km ”， d 表示 “向南走 5 km ”，试说明下列向量的意义．
1

A． a ? b ，且 a 与 b 方向相同 C． a ? b

B． a ， b 是共线向量且方向相反 D． a ， b 无论什么关系均可

? ?

（1） a ? a ； （2） a ? b ； （3） a ? c ； （4） b ? d ； （5） b ? c ? b ； （6） d ? a ? d ．

?

?

? ?

? ?

? ? ?

? ? ?

? ?

?

? ?

13． 【题文】在水流速度为 10 km/h 的河中，如果要使船以 10 3 km/h 的速度与河岸成直角地横 渡，求船行驶速度的大小与方向．

14．【题文】求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．

2.2.1 向量加法运算及其几何意义 参考答案与解析 1.【答案】C 【解析】 BC ? DC ? BA ? BC ? DC ? BA ? BC ? 0 ? BC . 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易

??? ? ???? ??? ?

??? ?

?

???? ??? ?

?

??? ? ?

??? ?

2.【答案】D 【解析】∵在△ ABC 中， AB ? a ， BC ? b ，∴ a ? b ? AB ? BC ? AC ．故选 D．
2

??? ?

?

??? ?

?

? ?

??? ? ??? ?

??? ?

考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易

3.【答案】D 【解析】在四边形 ABCD 中，∵ AC ? AB ? AD ， AC ? AB ? BC ，

??? ?

??? ? ????

??? ?

??? ? ??? ?

考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般

???? ??? ? ∴ AD ? BC ，∴ AD ? BC ， AD ? BC ，∴四边形 ABCD 是平行四边形．故选 D．

6.【答案】A 【解析】由 a ? b ? a ? b 可知，a 与 b 必共线且方向相同，故选 A. 考点：向量的加法及其几何意义. 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易 7.【答案】C 4.【答案】A 【题型】选择题 【难度】一般

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】∵四边形 ABCD 为菱形，∴ AB ? BC ? AC ， AB ? AC ? BC ， ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? AC ? BA ? BD ， AC ? AD ? DC ，故选 A．
考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易

【解析】设 a ? OP ? OQ ，以 OP 、 OQ 为邻边作平行四边形，则夹在 OP 、 OQ 之间的对角线 对应的向量即为向量 a ? OP ? OQ ，由于和 FO 长度相等，方向相同， ∴ a ? FO ，故选 C． 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般

?

??? ? ???? ?

??? ? ????

??? ?

?

??? ?

5.【答案】A 【解析】如图所示，设 AD ? a ， AB ? b ，由向量加法的平行四边形法则可知四边形 ABCD 为

????

??? ?

8.【答案】B 【解析】 OA+ BC ? AB ? OA+ AB ? BC =OC . 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般

???? π 正方形，且 a ? b ? AC ? 2 ， ?BAC ? ，故选 A. 4

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

3

9.【答案】矩形

??? ? ??? ? ??? ? 【解析】由图知 BC ? BA ? BD .

【解析】表示“向东走 19 km ”，表示“向西走 5 km ”，表示“向北走 10 km ”，d 表示“向 南走 5 km ”， 故（1） a ? a 表示“向东走了 38 km ”；

? ?

?

?

又 BC ? AB ? AD ? AB ? AC ，∴ BD = AC . ∴四边形 ABCD 为矩形． 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】一般

??? ? ??? ?

???? ??? ?

????

??? ?

????

（2） a ? b 表示“向东走了 14 km ”； （3） a ? c 表示“先向东走了 19 km ，再向北走了 10 km ”； （4） b ? d 表示“先向西走了 5 km ，再向南走了 5 km ”； （5） b ? c ? b 表示“先向西走了 10 km ，再向北走了 10 km ”； （6） d ? a ? d 表示“先向东走了 19 km ，再向南走了 10 km ”.

? ? ? ?

? ? ?

? ? ?
? ? ?

? ?

10.【答案】 【解析】∵ a ? b ? a ? b ? 3 ? 5 ? 8 ，∴ a ? b 的最大值为. 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】较易 11.【答案】 ? 2,8? 【解析】 AC ? AB ? BC ? AB ? BC ? 8 ， 且 AC ? AB ? BC ? AB ? BC ? 2 . ∴ 2 ? AC ? 8 . 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】一般

考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】较易

13.【答案】船行驶速度为 20 km/h ，方向与水流方向成120? 角 【解析】如图， OA 表示水流方向， OB 表示垂直于对岸横渡的方向， OC 表示船行驶的方向，

??? ?

??? ?

??? ?

120? ，即船行驶速 由 OB ? OC ? OA ，及 OA ? CB 且 ?OBC ? 90? ，知 OC ? 20 ， ?AOC＝

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

????

????

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

度为 20 km/h ，方向与水流方向成 120? 角．

????

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

????

考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】较易

14.【答案】详见解析 12.【答案】详见解析 【解析】证明：要证明三个向量首尾相连构成三角形，只要证明三个向量的和为即 可．如图所示：设△ ABC 的三边对应的向量为 a ? BC ， b ? CA ， c ? AB ，那么
4

??? ?

??? ?

??? ?

? a ? b ?c ? 0 ，设 D 、 E 、 F 分别为三边 BC ， CA ， AB 的中点，于是中线对应的向
量分别为 AD ? AB ? BD ? c ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 1 a ， BE ? BC ? CE ? a ? b ， 2 2

???? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 CF ? CA ? AF ? b ? c ，∴ AD ? BE ? CF ? a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? ? 0 .∴ 2 2 ???? ??? ? ??? ? AD ? BE ? CF ? ，故结论得证，即三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构
成一个三角形．

考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】一般

5