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高考文科数学必出数列真题汇编


高考文科数学必出数列真题汇编
一、选择题 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(四川文) 设函数 )

f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ?1 , {an } 是公差
( )

不为 0 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ?a7 ? A.0 B.7 C.14 D.21

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海文) 若 Sn )

? ? ? sin ? ? sin 27 ? ? ? sin n7 (n ? N ? ) , 7

则在 S1, S2 ,?, S100 中,正数的 个数是 A.16. ( B.72. )

C.86. D.100. 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(辽宁文) 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= ) ( ) A.12 B.16 C.20 D.24
错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (课标文) 数列{ an }满足 an?1 ? (?1) )
n

an ? 2n ?1 ,则{ an }
( )

的前 60 项和为 A.3690

B.3660

C.1845

D.1830

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(江西文) 观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的 )

个数为 4 , |x|+|y|=2 的不同整数解(x,y)的个数为 8, |x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12 .则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 ( ) A.76 B.80 C.86 D.92
错误!未指定书签。 . (2012 年高考(湖北文) 定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x ) ,如 )

果对于任意给定的等比数列 ?an ? ,? f (an )? 仍是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函 数 ”. 现 有 定 义 在

(??,0) ? (0, ??)











2 x 数:① f ( x) ? x ;② f ( x) ? 2 ;③ f ( x) ? | x | ;④ f ( x) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④





错误!未指定书签。 . (2012 年高考(福建文) 数列 )

?an ? 的通项公式 an ? n cos

n? ,其前 n 2
( )

项和为 Sn ,则 S2012 等于 A.1006 B.2012 C.503

D.0

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 2012 年 高 考 ( 大 纲 文 ) 已 知 数 列 ( )

?an ? 的 前 n 项 和 为
( )

Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则 Sn ?

第 1 页 共 20 页

A. 2

n?1

B. ?

?3? ? ?2?

n?1

C. ?

?2? ? ?3?

n?1

D.

1 2 n?1

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(北京文) 某棵果树前 n 年得总产 )

量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前 m 年的年 平均产量最高, m 的值为 A.5 B.7 D.11 ( C . 9 )

错误!未指定书签。(2012 年高考(北京文) 已知 {an } 为等比数列.下面 . )

结论中正确的是 A. a1 ? a3 ? 2a2 C.若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2
2 2 2 B. a1 ? a3 ? 2a2





D.若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

错误!未指定书签。(2012 年高考(安徽文) 公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数, . )



a3 a11 =16,则 a5 ?
B. 2 C. ? D. ?





A. 1
二、填空题

错误!未指定书签。(2012 年高考(重庆文) 首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 . )

S4 ? ______
错误!未指定书签。(2012 年高考(上海文) 已知 . )
1 f ( x) ? 1? x .各项均为正数的数列 {an } 满

足 a1 ? 1 , an ? 2 ? f (an ) .若

a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是_________.
错误!未指定书签。(2012 年高考(辽宁文) 已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a . )
n+2)=5a n+1

,则数列{an}的公比 q = _____________________.

错误!未指定书签。(2012 年高考(课标文) 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0, . )

则公比 q =_______
错误!未指定书签。(2012 年高考(江西文) 等比数列 . )
*

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公比不为 1。

若 a1 ? 1 ,且对任意的 n ? N 都有 an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 ,则 S5 ? _________________。
错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2012 年 高 考 ( 湖 南 文 )) 对 于 n ? N , 将
?

n 表示为

k 1 0 ,当 n ? ak ? 2k ? ak ?1 ? 2 ?1 ? ?? a 1? 2? a ? 2 i ? k 时 ai ? 1 ,当 0 ? i ? k ? 1 时 ai 为 0

第 2 页 共 20 页

0 或 1,定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0 , a1 , a2 , ak 中等于 1 的个数为奇数时, bn ? 1; 否则 bn ? 0 。 (1) b2 ? b4 ? b6 ? b8 ? _ _;

(2)记 cm 为数列 ?bn ? 中第 m 个为 0 的项与第 m ? 1 个为 0 的项之间的项数,则 cm 的最大 值是___.
错误!未指定书签。(2012 年高考(湖北文) 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙 . )

滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3, 6,10,记为数列 ?an ? ,将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一 个新数列 ?bn ? ,可以推测: (Ⅰ) b2012 是数列 ?an ? 中的第______项; (Ⅱ) b2 k ?1 ? ______.(用 k 表示)

错误!未指定书签。 (2012 年高考(广东文) (数列)若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? . )
2 a1a3 a5 ? _________.

1 ,则 2

错误!未指定书签。 (2012 年高考(北京文) 已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 . )

a1 ?

1 , S ? a3 ,则 a2 ? ________; Sn =________. 2 2

三、解答题 错误!未指定书签。(2012 年高考(重庆文) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分)) . )

已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;(Ⅱ)记

{an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值.

错误! 未指定书签。 2012 年高考 ( . (浙江文)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,n∈N )
2

﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn;
第 3 页 共 20 页

(2)求数列{an·n}的前 n 项和 Tn. b

错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (天津文) (本题满分 13 分)已知 )

?an ? 是等差数列,其前 n 项

和为错误!未找到引用源。, ?bn ? 是等比数列,且 a1 ? b1 , a4 ? b4 ? 27, S4 ? b4 =10 . (I)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)记 Tn =a1b1 +a2b2 +?+anbn ( n ? N )证明: Tn ? 8 ? an?1bn?1 (n ? N * , n ? 2) 错误! 未找
*

到引用源。.

an 错误! 未指定书签。 2012 年高考 . ( (四川文)已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ? ) 2 与 x 轴正半轴相交于点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距.
2

(Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f ( n) ? 1 n ? 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n ? 1 1 1 1 ? ? ??? ? 与 f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n)

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

6?

f (1) ? f (n ? 1) 的大小,并说明理由. f (0) ? f (1)

错误!未指定书签。(2012 年高考(四川文) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 . )

?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

第 4 页 共 20 页

错误!未指定书签。 (2012 年高考(上海文) 对于项数为 m 的有穷数列数集 {an } ,记 . )

bk ? max{ 1, a2 , ?, ak } (k=1,2,,m),即 bk a
为 a1 , a2 , ?, ak 中的最大值,并称数列 {bn } 是 {an } 的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列 {an } 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 {an } ; (2)设 {bn } 是 {an } 的控制数列,满足 ak ? bm? k ?1 ? C (C 为常数,k=1,2,,m). 求证: bk ? ak (k=1,2,,m);
2 (3)设 m=100,常数 a ? ( 1 , 1) .若 an ? an ? (?1) 2
n ( n ?1 ) 2

n , {bn} 是 {an } 的控制数列,

求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) .

错误!未指定书签。(2012 年高考(陕西文) 已知等比数列 . )

?an ? 的公比为 q=- 2 .

1

(1)若

a

= 3

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? ,

a ,a
k

k ?2

,

a

k ?1

成等差数列.

错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (山东文) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . )

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和
Sm .

错误!未指定书签。(2012 年高考(江西文) 已知数列|an|的前 n 项和 Sn . )

? kcn ? k (其中 c,k

为常数),且 a2=4,a6=8a3 (1)求 an;
第 5 页 共 20 页

(2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.

错误!未指定书签。(2012 年高考(湖南文) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. . )

该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以 后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).

错误!未指定书签。(2012 年高考(湖北文) 已知等差数列 . )

?an ? 前三项的和为 ?3 ,前三项的

积为 8 . (1) 求等差数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项和.

? ?

错误!未指定书签。(2012 年高考(广东文) (数列)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,数列 ?Sn ? 的 . )

前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n? N* . (Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 2012 年 高 考 ( 福 建 文 ) 在 等 差 数 列 . )

?an ? 和 等 比 数 列 ?bn ?

中, a1 ? b1 ? 1, b4 ? 8, ?an ? 的前 10 项和 S10 ? 55 . (Ⅰ)求 an 和 bn ; (Ⅱ)现分别从 ?an ? 和 ?bn ? 的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项

第 6 页 共 20 页

的值相等的概率.

错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (大纲文) 已知数列 )

?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ?

n?2 an . 3

(Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式.

错误!未指定书签。(2012 年高考(安徽文) 设函数 f ( x ) ? . )

x ? sin x 的所有正的极小值点 2

从小到大排成的数列为 {xn } . (Ⅰ)求数列 {xn } ; (Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n .

第 7 页 共 20 页

2012 年高考文科数学解析分类汇编:数列参考答案 一、选择题 错误!未找到引用源。

[答案]D

[解析]∵ {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ∴ [(a1 ? 3) 3 ? a1 ? 1] ? [(a2 ? 3) 3 ? a2 ? 1] ? ? ? [(a7 ? 3) 3 ? a7 ? 1] ? 14 ∴ (a1 ? a2 ? ?a7 ) ? 7 ? 14 ∴ a1 ? a2 ? ?a7 ? 21 [点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质 的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.
错误!未找到引用源。 [解析] 令 ? 7
? ? ? ,则 n7 ? n? ,当 1≤n≤14 时,画出角序列 n?终边如图, y

其终边两两关于 x 轴对称,故有 S1 , S2 ,?, S12 均为正数, 而 S13 ? S14 ? 0 ,由周期性可知,当 14k-13≤n≤14k 时,Sn>0,

5? 6? 7? 8? 9?

4?

3?

2?

?
14? 13? 10? 11? 12?

x

而 S14 k ?1 ? S14 k ? 0 ,其中 k=1,2,,7,所以在 S1, S2 ,?, S100 中有 14 个为 0,其余 都是正数,即正数共有 100-14=86 个,选 C. 错误!未找到引用源。 【答案】B 【解析】? a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d ,

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题. 错误!未找到引用源。 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难 题. 【解析】 【法 1】有题设知

a2 ? a1 =1,①

a3 ? a2 =3 ②

a4 ? a3 =5 ③

a5 ? a4 =7, a6 ? a5 =9,

a7 ? a6 =11, a8 ? a7 =13, a9 ? a8 =15, a10 ? a9 =17, a11 ? a10 =19, a12 ? a11 ? 21 , a1 ? a3 a4 ? a2

∴②-①



=2,③+②



=8,









a5 ? a7 =2, a6 ? a8 =24, a9 ? a11 =2, a10 ? a12 =40,,
∴ a1 ? a3 , a5 ? a7 , a9 ? a11 ,,是各项均为 2 的常数列, a2 ? a4 , a6 ? a8 , a10 ? a12 ,是首项为 8,公差为 16 的等差数列,

第 8 页 共 20 页

∴{ an }的前 60 项和为 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? 【法 2】可证明:

1 ?16 ?15 ?14 =1830. 2

bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16
b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S15 ? 10 ?15 ?
错误!未找到引用源。

15 ?14 ?16 ? 1830 2

【答案】B 【解析】本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为 4, 公差为 4 的等差数列,则所求为第 20 项,可计算得结果. C 【解析】设数列 an 的公比为 q .对于①,

错误!未找到引用源。

? ?

2 f (an?1 ) an?1 ? 2 ? q2 , f (an ) an

是常数,故①符合条件;对于②,

f (an?1 ) 2an?1 ? an ? 2an?1 ?an ,不是常数,故②不符合条件;对于 f (an ) 2

③,

| an ?1 | f ( an ?1 ) ? f ( an ) | an |

?

f (an?1 ) ln | an?1 | an?1 ,不是常数,故④不符 ? ? q ,是常数,故③符合条件;对于④, f (an ) ln | an | an

合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选 C. 【点评】 本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后 再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等. 错误!未找到引用源。 【答案】A 【解析】由 an ? n cos

n? ,可得 S2012 ? 1? 0 ? 2 ?1 ? 3? 0 ? 4 ?1 ? ?? 2012 ?1 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2010 ? 2012 ? 2 ? 503 ? 1006

【考点定位】本题主要考察数列的项、前 n 项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并 项求和. 错误!未找到引用源。 答案 B 【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用. 【解析】由 Sn ? 2an?1 可知,当 n ? 1 时得 a2 ? 当 n ? 2 时,有 Sn ? 2an?1 ① Sn?1 ? 2an

1 1 S1 ? 2 2



①-②可得 an ? 2an?1 ? 2an 即 an ?1 ?

3 1 3 an ,故该数列是从第二项起以 为首项,以 为公 2 2 2

?1 ( n ? 1) ? 比的等比数列,故数列通项公式为 an ? ? 1 3 , n?2 ? ( ) ( n ? 2) ?2 2

第 9 页 共 20 页

1 3 (1 ? ( ) n ?1 ) 3 2 故当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? ( )n ?1 3 2 1? 2 3 1?1 当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ( ) ,故选答案 B 2
错误!未找到引用源。

【答案】C 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C. 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可 以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均 产量最高,就需要随着 n 的增大, Sn 变化超过平均值的加入,随着 n 增大, Sn 变化不足平 均值,故舍去.

错误!未找到引用源。 【答案】B

【解析】当 a1 ? 0, q ? 0 时,可知 a1 ? 0, a3 ? 0, a2 ? 0 ,所以 A 选项错误;当 q ? ?1 时,C 选项错误;当 q ? 0 时, a3 ? a2 ? a3q ? a1q ? a4 ? a2 ,与 D 选项矛盾.因此根据均值定 理可知 B 选项正确. 【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知 识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择 题用排除法来做.
错误!未找到引用源。 【解析】选 A 二、填空题 错误!未找到引用源。 【答案】:15
2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1

【解析】: S4 ?

1 ? 24 ? 15 1? 2

【考点定位】本题考查等比数列的前 n 项和公式
错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

[ 解 析 ]

an ? 2 ? f (an ) ? 1?1an (*), a1 ? 1 , 所 以

3 5 有: a3 ? 1 , a5 ? 2 , a7 ? 5 , a9 ? 8 , 2 3 8 2 a11 ? 13 ;又 a2012 ? 1?a12010 ? a2010 ,得 a2010 ? a2010 ? 1 ? 0 ,令 a2010 ? t ,则 t 2 ? t ? 1 ? 0 ,

由题设 t ? 0 ,所以 t ?

5 ?1 ,变形(*)为 2 5 ?1 2

an ? an1?2 ?1 ,则 a2008 ? a210 1 0 ? 1 ? 1?t ? t ,故 t

a2n ? t ?

5 ?1 2

,所以 a20 ? a11 ?

5 8 ? 13 ? 13 26 ?3 .

错误!未找到引用源。 【答案】2

【解析】? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ? 因为数列为递增数列,且 a1 ? 0, 所以q ? 1,? q ? 2
第 10 页 共 20 页

1 2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 错误!未找到引用源。 【命题意图】本题主要考查等比数列 n 项和公式,是简单题. 【解析】当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an }是等比数列 矛盾,故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得,

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q

错误!未找到引用源。 【答案】11

【解析】由已知可得公比 q ? ?2, a1 ? 1 ,可得 S5 ?

1 ? (?2)5 ? 11 . 1 ? (?2)

【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式,以及求和公式,做题时要细心. 错误!未找到引用源。 【答案】(1)3;(2)2. 【解析】(1)观察知 1 ? a0 ? 20 , a0 ? 1, b1 ? 1 ; 2 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , a1 ? 1, a0 ? 0, b2 ? 1 ; 一次类推 3 ? 1? 21 ? 1? 20 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , b4 ? 1;

5 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ?1? 20 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 22 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , b6 ? 0 , b7 ? 1, b8 ? 1 ,
b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知 cm 的最大值为 2. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.
错误!未找到引用源。 (Ⅰ)5030;(Ⅱ)

5k ? 5k ? 1? 【解析】由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,, 2
















an ?

n(n ? 1) 2

,





其 5







有 :1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110, 发 现 其 中 能 被

整 除 的 为

10,15,45,55,105,110,故 b1 ? a4 , b2 ? a5 , b3 ? a9 , b4 ? a10 , b5 ? a14 , b6 ? a15 . 从而由上述规律可猜想: b2 k ? a5 k ?

5k (5k ? 1) ( k 为正整数), 2 (5k ? 1)(5k ? 1 ? 1) 5k (5k ? 1) b2 k ?1 ? a5 k ?1 ? ? , 2 2

故 b2012 ? a2?1006 ? a5?1006 ? a5030 ,即 b2012 是数列 {an } 中的第 5030 项. 【点评】 本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想需 要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.

1 1 ?1? 1 2 4 2 错误!未找到引用源。解析: . a2 a4 ? a3 ? ,所以 a1a3 a5 ? a3 ? ? ? ? . 4 4 2 ?2?
错误!未找到引用源。 【答案】1,

2

1 n(n ? 1) 4








? S2 ? a3

,





第 11 页 共 20 页

a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ?

1 1 ? a2 ? a1 ? d ? 1 , S n ? n( n ? 1) . 4 2

【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前 n 项和公式的计 算.
三、解答题 错误!未找到引用源。 【答案】:(Ⅰ) an

? 2n (Ⅱ) k ? 6

【解析】(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 以 a2k ? a1Sk ?2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
2

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,所

从而 (2k ) ? 2( k ? 2)( k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 . 错误!未找到引用源。 【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以 及求和公式等基础知识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力. (1) 由 Sn= 2n ? n ,得
2

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡. ? ?

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1,n∈N﹡. (2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡ 所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 2 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2
2 n?1

,

2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1)]
? (4n ? 5)2n ? 5

Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
错误!未找到引用源。 解:(1)设等差数列

?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,由

a1 ? b1 ? 2 , 得 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q3 , S4 ? 8 ? 6d , 由 条 件 得 方 程 组

第 12 页 共 20 页

?2 ? 3d ? 2q3 ? 27 ?d ? 3 ? ? ,故 an ? 3n ?1, bn ? 2n (n ? N * ) ?? ? 3 ?q ? 2 ?8 ? 6d ? 2q ? 10 ? ?
(2)证明;由(1)得

Tn ? 2 ? 2 ? 5 ? 22 ? 8 ? 23 ? ?? (3n ?1) ? 2n ①

2Tn ? 2 ? 22 ? 5 ? 23 ? 8 ? 24 ? ?? (3n ?1) ? 2n?1 ②
由①-②得,

?Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? 3 ? 2 n ? (3n ? 1) ? 2 n ?1 6 ? (1 ? 2n ) ? ? (3n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 1? 2 ? ?(3n ? 4) ? 2n ?1 ? 8
即 Tn ? 8 ? (3n ? 4) ? 2n?1 ,而当 n ? 2 时, an?1bn?1 ? (3n ? 4) ? 2n?1 所以 Tn ? 8 ? an?1bn?1 (n ? N * , n ? 2)

? ? 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 [ 解 析 ](1) 由 已 知 得 , 交 点 A 的 坐 标 为 ? ? ?
y ??x ?
2

a

? ,0 ? , 对 2 ? ? ?
n

1 n 求导得 2a

y ? ?2 x
n n n

'

则抛物线在点 A 处的切线方程为:

y ? ? 2 a (x ?
n

a
n

n

2
,则

), 即y ? ? 2 a x ? a .则f (n) ? a

(2)由(1)知 f(n)=
n

a

f ( n) ? 1 n n ? 成立的充要条件是a ? 2n ? 1 f ( n) ? 1 n ? 1

即知, a

? 2n ? 1

对于所有的 n 成立,
n

特别地,当 n=1 时,得到 a≥3 当 a=3,n≥1 时,

a ? 3 ? (1? 2)
n n

? 1 ? C n .2 ? ? ? 2n ? 1
1

当 n=0 时,

a

n

f ( n) ? 1 n ? =2n+1.故 a=3 时 f ( n) ? 1 n ? 1 对所有自然数 n 均成立.

所以满足条件的 a 的最小值为 3 (3)由(1)知 f(k)= a
k

第 13 页 共 20 页

下面证明:

1 1 1 f (1) ? f (n ? 1) ? ? ?? ? 6. f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f ( n ) ? f ( 2n ) f (0) ? f (1)

首先证明 0<x<1 时,

1 x?x
2

? 6x
2 3

设函数 g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1, 则 g ' ( x) ? 18 x( x ? ) .

2 ? x ? 1时, g ' ( x) ? 0 3 2 1 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g ( x) ? g ( ) ? ? 0 min 3 9
当0 ? x ? 当 所以,当 0<x<1 时,g(x)>0,即得

2 时,g'(x)<0; 3

1 x?x
*
2

? 6x

由 0<a<1 知 0 ?

a

k

? 1(k ? N ),因此

1

a ?a
k

2k

? 6a k , 从而

1 1 1 ? ??? f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f ( n) ? f ( 2n) 1 1 1 ? ? 2 ?? n 2 4 a?a a ?a a ? a 2n
? 6( a ? a ? ? ? a ) ? 6 ?
2 n

a?a

n ?1

1? n

? 6?

f (1) ? f (n ? 1) ??????14分 f (0) ? f (1)

[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能 力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分 析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特 殊与一般等数学思维方法.
错误!未找到引用源。 [解析]取 n=1,得 ?a 1

? 2s1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0

若 a1=0,则 s1=0, 当 n ? 2时,a n ? sn ? sn?1 ? 0, 所以a n ? 0 若 a1 ? 0,则 a1 ?

2

?

,

2 当 n ? 2时,a n ?

2

?

? s n , 2a n ?1 ?

2

?

? s n ?1 ,

上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上,若 a1 = 0,

则a n ? 0
2n

若 a1 ? 0,则a n ?

?

第 14 页 共 20 页

(2)当 a1>0,且 ? ? 100 时,令bn ? lg

1 , 所以,bn ? 2 ? n lg 2 an

所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 6 64 2 100 100 ? lg1 ? 0 当 n≥7 时,bn≤b7= lg 7 ? lg 128 2
则 b1>b2>b3>>b6= lg 故数列{lg

1 }的前 6 项的和最大 an

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、 等比数 列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第 三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
错误!未找到引用源。 [解](1)数列 {an } 为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;

2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5 (2)因为 bk ? max{ 1, a2 , ?, ak } , bk ?1 ? max{ 1, a2 , ?, ak , ak ?1} , a a 所以 bk ?1 ? bk 因为 ak ? bm? k ?1 ? C , ak ?1 ? bm? k ? C , 所以 ak ?1 ? ak ? bm? k ?1 ? bm? k ? 0 ,即 ak ?1 ? ak 因此, bk ? ak (3)对 k ? 1, 2, ?, 25 , a4k ?3 ? a(4k ? 3)2 ? (4k ? 3) ; a4k ? 2 ? a(4k ? 2)2 ? (4k ? 2) ;

a4k ?1 ? a(4k ? 1)2 ? (4k ? 1) ; a4k ? a(4k )2 ? (4k ) .
比较大小,可得 a4 k ? 2 ? a4 k ?3 因为 1 ? a ? 1 ,所以 a4k ?1 ? a4k ? 2 ? (a ? 1)(8k ? 3) ? 0 ,即 a4 k ? 2 ? a4 k ?1 ; 2

a4k ? a4k ? 2 ? 2(2a ? 1)(4k ? 1) ? 0 ,即 a4k ? a4k ? 2 .
又 a4k ?1 ? a4k , 从而 b4k ?3 ? a4k ?3 , b4 k ? 2 ? a4 k ? 2 , b4k ?1 ? a4k ? 2 , b4 k ? a4 k 因此 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) = (b3 ? a3 ) ? (b7 ? a7 ) ? (b10 ? a10 ) ? ? ? (b4k ?1 ? a4k ?1 ) ? ? ? (b99 ? a99 )
第 15 页 共 20 页

= (a2 ? a3 ) ? (a6 ? a7 ) ? (a9 ? a10 ) ? ? ? (a4k ? 2 ? a4k ?1 ) ? ? ? (a98 ? a99 )

=


? (a4k ? 2 ? a4k ?1 ) = (1 ? a)? (8k ? 3) = 2525(1 ? a)
k ?1 k ?1

25

25



















?5a1 ? 10d ? 105, 错误!未找到引用源。解:(I)由已知得: ? ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 ,

所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 ,即 bm ? 72m?1 . ∵
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 ,∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, bk 7

∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

错误!未找到引用源。 【解析】 (1)当 n ? 1 时, an

? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )

则 an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )

a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 )
a6 c6 ? c5 ? 3 2 ? c3 ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k (c2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2n (n)1) a3 c ? c
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2 综上所述 an ? 2 (n ? N )
n *

(2) nan ? n2 ,则
n

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n2 n (1) 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)
第 16 页 共 20 页

(1)-(2)得

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n2n?1
Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1
错误!未找到引用源。 【解析】(Ⅰ)由题意得 a1

? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

3 a1 ? d , 2 3 an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ? an ? d . 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? an ?1 ? d 2 3 2 3 ? ( ) an ? 2 ? d ? d 2 2 3 3 ? ( an ? 2 ? d ) ? d 2 2 ?? a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

3 3 ? 3 3 ? ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? ? ? ( ) n?2 ? . 2 2 ? 2 2 ?
整理得 an ? ( )

3 2

n ?1

? 3 ? (3000 ? d ) ? 2d ?( )n?1 ? 1? ? 2 ?

3 ? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d . 2 3 n ?1 由题意, an ? 4000,? ( ) (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000, 2

? 3 n ? ?( 2 ) ? 2? ?1000 1000(3n ? 2n?1 ) ? 解得 d ? ? . ? 3 n 3n ? 2n ( ) ?1 2
故该企业每年上缴资金 d 的值为缴

1000(3n ? 2n ?1 ) 时,经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资 3n ? 2n

金为 4000 元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分 析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出 an ?1 与 an 的关系式 an ?1 ? 第二问,只要把第一问中的 an ?1 ?

3 an ? d , 2

3 an ? d 迭代,即可以解决. 2

错误!未找到引用源。考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前 n 项和公式及基本运算.

解析:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,

第 17 页 共 20 页

?3a ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

所以由等差数列通项公式可得
an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时,
Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ? 【点评】 本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以
及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式 an ? a1 ? ? n ?1? d 求解;有时 需要利用等差数列的定义: an ? an?1 ? c ( c 为常数)或等比数列的定义:

an ? c ' ( c ' 为常 an ?1

数, c ' ? 0 )来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等 差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要 分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.
错误!未找到引用源。解析:(Ⅰ)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 12 ,而 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 12 ,解得

a1 ? 1 .
(Ⅱ) 在 Tn ? 2Sn ? n2 中 用 n ? 1 取 代 n 的 位 置 , 有 Tn?1 ? 2Sn?1 ? ? n ? 1? , 两 式 相 减 , 可 得
2

Sn ? 2an ? 2n ? 1 ( n ? 2 ), 所 以 Sn?1 ? 2an?1 ? 2 ? n ? 1? ? 1 , 两 式 相 减 , 可 得

第 18 页 共 20 页

an ? 2an ? 2an ?1 ? 2 ,即 an ? 2an ?1 ? 2 ( n ? 3 ),即 an ? 2 ? 2 ? an?1 ? 2? ,所以数列 ?an ? 2? 是
一个首项为 a2 ? 2 ,公比为 2 的等比数列. 在式子 Tn ? 2Sn ? n2 中,令 n ? 2 ,有 T2 ? 2S2 ? 22 ,即 a1 ? ? a1 ? a2 ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ? 22 ,所以

a2 ? 4 ,于是 an ? 2 ? ? a2 ? 2? ? 2n?2 ? 6? 2n? 2 ? 3? 2n?1 ,所以 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 ( n ? 2 ).当 n ? 1
时, a1 ? 1 ,也满足该式子,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 .
错误!未找到引用源。 【答案】(1) an

? n , bn ? 2n

(2)

2 9

【考点定位】本题主要考查等差、等比数列、古典概型的基本知识,考查运算求解能力, 考查转化与划归思想、必然与或然思想,注意留心学习. 解:(1)设 d 是数列 ?an ? 的公差, q 是 ?bn ? 的公比,由题意得:

S10 ? 10 ?

10 ? 9 d ? 55, b4 ? q 3 ? d ? 1, q ? 2 2

?an ? n, bn ? 2n?1 .
(2) 分 别 从 ?an ? , ?bn ? 中 的 前 三 项 中 各 随 机 抽 取 一 项 , 得 到 基 本 事 件 有 9 个, (1,1),(1, 2),(1, 4),(2,1),(2, 2),(2, 4),(3,1),(3, 2),(3, 4) .符合条件的有 2 个 (1,1), (2, 2) , 故所求概率为 p ?

2 . 9

错误!未找到引用源。 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的

综合运用. 解:(1)由 a1 ? 1 与 S n ?

n?2 an 可得 3
,

2?2 a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 3 3? 2 2 S3 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3 S2 ?
故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 .

n?2 n ?1 an ① Sn ?1 ? an ?1 ② 3 3 n?2 n ?1 an ? an ?1 即 ①-②可得 S n ? S n ?1 ? 3 3
(2)当 n ? 2 时, S n ?

an ?

a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an?1 ? an ? an?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1

第 19 页 共 20 页

故有 an ?

an an?1 a n ?1 n 3 n2 ? n ? ??? 2 ? a1 ? ? ??? ?1 ? an?1 an?2 a1 n ?1 n ? 2 1 2



12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 2



【点评】试题出题比较直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前 n 项 和的关系式变形就可以得到结论. 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 【 解 析 】 (I) f ( x) ?

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 2 2 3 2? 2? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值 得:当 x ? 2k? ? 3 2? 得: xn ? 2n? ? 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? 3 2n? 2n? Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? n(n ? 1)? ? 3 3
当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0
*

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

2? 3 ? 3 2 4? 3 ?? 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

得: 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0
*

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin Sn ?
*

3 2 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? ?
*

第 20 页 共 20 页



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