9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

数学所有不等式放缩技巧及证明方法

一、裂项放缩

高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法

?n

2

例 1.(1)求

k ?1

4k 2

的值;
?1

?n 1 5

(2)求证: k ?1 k 2

?. 3

例 2.(1)求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7 ? 1 (n ? 2)

32 52

(2n ?1)2 6 2(2n ?1)

(2)求证: 1 4

?1? 16

1 36

???

1 4n 2

?

1 2

?

1 4n

(3)求证: 1 ? 1? 3 ? 1? 3? 5 ? ?? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) ? 2n ?1 ?1

2 2?4 2?4?6

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

(4) 求证: 2( n ?1 ?1) ? 1? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 2( 2n ?1 ?1)

23

n



3.求证:

6n

(n ? 1)(2n ? 1)

?1?

1 4

?

1 9

?? ?

1 n2

?

5 3

例 4.(2008 年全国一卷)

设函数

f (x) ? x ? x ln x .数列?an?满足 0 ? a1 ? 1. an?1 ?

f

(an

)

.设

b

?

(a1,1)

,整数

k



a1 a1

? ln

b b

.证

明: ak ?1 ? b .

例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ?1.

a 例 6.已知 n

?

4n

? 2n ,Tn

?

2n a1 ? a2 ? ? ? an

,求证: T1

? T2

? T3

? ? ? Tn

?

3
.
2

x ? 1 例 7.已知 1

, xn

?

?n(n ? 2k ??n ?1(n ?

? 1, 2k,

k k

? ?

Z Z

) )

,求证:

1 ? 1 ??? 1

4 x2 ? x3 4 x4 ? x5

4 x2nx2n?1

?

2( n ?1 ?1)(n ? N*)

二、函数放缩

例 8.求证: ln 2 2

?

ln 3 3

?

ln 4 4

???

ln 3n 3n

?

3n

?

5n ? 6 (n ? N *) . 6

例 9.求证:(1)?

?

2,

ln 2? 2?

?

ln 3? 3?

?

?

?

ln n? n?

?

2n2 ? n ?1 (n ? 2) 2(n ? 1)

例 10.求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ?1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1

23

n ?1

2

n



11.求证:

(1 ?

1 )(1 2!

?

1) 3!

???

(1

?

1) n!

?

e



(1 ?

1 )(1 ? 9

1) 81

???

(1 ?

1 32n

)

?

e.

例 12.求证: (1?1? 2) ? (1? 2 ? 3) ???[1? n(n ?1)] ? e2n?3

例 14.

已知

a1

?

1,

an?1

?

(1?

1 n2 ?

n )an

?

1 2n

.

证明

an

?

e2 .

例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f (x) ? x ln x. 若 a ? 0,b ? 0,证明: f (a) ? (a ? b)ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).
三、分式放缩

例 19. 姐妹不等式:(1?1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ? 3 5 2n ?1

2n ?1 和 (1? 1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ?

246

2n

1 也可以表示成为 2n ?1

2? 4?6?? 2n ? 2n ?1和 1? 3 ? 5 ??? (2n ?1) ? 1

1?3?5???(2n ?1)

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

2n ?1

例 20.证明: (1?1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ? 3 3n ?1.

47

3n ? 2

四、分类放缩



21.求证:1 ?

1 2

?

1 3

???

1 2n ?1

?

n 2

例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 f (x) ? x2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f (x) 的定义域为[-1,0],值域也为[-

1,0].若数列{bn }满足 bn

?

f (n) n3

(n

?

N

*

)

,记数列

{bn

}

的前

n

项和为

Tn

,问是否存在正常数

A,使得对于任意正

整数 n 都有Tn ? A ?并证明你的结论。



24.(2008

年中学教学参考)设不等式组

?x

? ?

y

? ?

0, 0,

表示的平面区域为 Dn ,设 Dn 内整数坐标点的个数为 an .设

?? y ? ?nx ? 3n

Sn

?

1 an?1

?

1 an?2

???

1 a2n

,当 n ? 2时,求证: 1 a1

?

1 a2

?1 a3

??? 1 a2n

? 7n ? 11 . 36

五、迭代放缩

? 例 25.

已知 xn?1

?

xn xn

? ?

4 1

,

x1

? 1 ,求证:当n ? 2时,

n
| xi
i ?1

? 2|?

2 ? 21?n

例 26.

设 Sn

?

sin1! 21

?

sin 2! 22

?

?

?

sin n! ,求证:对任意的正整数
2n

k,若

k≥n

恒有:|Sn+k-Sn|<1n

六、借助数列递推关系

例 27.求证: 1 ? 1? 3 ? 1? 3? 5 ??? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) ? 2n ? 2 ?1

2 2?4 2?4?6

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

例 28. 求证: 1 ? 1? 3 ? 1? 3? 5 ??? 1? 3? 5??? (2n ?1) ? 2n ?1 ?1

2 2?4 2?4?6

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1,求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2( n ? 1 ?1)

a1 a2

an

七、分类讨论



30.已知数列{an}的前 n

项和 Sn

满足 Sn

?

2an

? (?1)n,n

? 1. 证明:对任意的整数 m ? 4 ,有 1 a4

?

1 a5

?? ?

1 am

?

7 8

八、线性规划型放缩

例 31.

设函数

f (x) ?

2x ?1 .若对一切 x ? R , ?3 ?
x2 ? 2

af

(x) ? b

? 3 ,求 a ?b 的最大值。

九、均值不等式放缩

例 32.设 Sn ?

1?2 ?

2?3 ???

n(n ?1).求证

n(n ? 1) 2

?

Sn

?

(n

? 1)2 2

.

例 33.已知函数

f (x)

?1 1 ? a ? 2bx

,若

f (1) ?

4 ,且 f (x) 在[0,1]上的最小值为 1

5

2

,求证:

f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? 1 ? 1 . 2n?1 2

n?1
例 35.求证 Cn1 ? Cn2 ? Cn3 ??? Cnn ? n ? 2 2 (n ? 1, n ? N)



36.已知

f

(x)

?

ex

?

e?x

,求证:

f

(1) ?

f

(2) ?

f

(3) ???

f

(n)

?

(e n?1

n
? 1) 2

例 37.已知 f (x) ? x ? 1 ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n(n ?1)n
x



38.若 k

?

7 ,求证:

Sn

?

1 n

?

1 n ?1

?

n

1 ?

2

???

1 nk ?1

?

3 2

.

例 39.已知

f (x)

?

a(x ? x1)(x ? x2) ,求证:

f

(0) ?

f

(1)

?

a2 16

.

例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时,求证: [f’(x)]n-2n- 1·f’(xn)≥2n(2n-2).

例 41. (2007 年东北三校)已知函数 f (x) ? a x ? x(a ? 1)

(1)求函数 f (x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;

(2)令

S(n)

?

Cn1

f

' (1)

?

C

2 n

f

' (2)

?

??

Cnn?1

f

' (n

?1) 求证:

S(n)

?

(2n

?

2)

?

f

'

(n) 2

例 43.求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2

n ?1 n ? 2

3n ? 1

十、二项放缩

例 44.

已知

a1

?

1,

an?1

?

(1?

1 n2 ?

n )an

?

1 2n

.

证明

an

?

e2



45.设 an

?

(1 ?

1)n n

a ,求证:数列{an}单调递增且 n

?

4.

例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a n ? bn ? 21?n.

例 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2)n ?

8

.

3 (n ? 1)(n ? 2)

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件:① 对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x? ? 3 ,且 f ?1? ? 4 ;

② 若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ?1, 则有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f (x2 ) ? 3.

11

(Ⅰ)求

f?0?的值;(Ⅱ)求证:f?x?≤4;(Ⅲ)当

x?( 3n

,

3n?1

](n

? 1,

2, 3, ? ? ?)

时,试证明:

f

(x)

?

3x

?3.

例 50. 已知: a1 ? a2 ? ? an ? 1,ai ? 0 (i ? 1,2?n)
十二、部分放缩(尾式放缩)

求证: a12

? a22

?

?

a2 n?1

?

an2

?1

a1 ? a2 a2 ? a3

an?1 ? an an ? a1 2

例 55.求证: 1 ? 1 ??? 1 ? 4

3?1 3?2?1

3? 2n?1 ?1 7

例 56.

设 an

1 ?1?
2a

?

1 3a

??? 1 na

, a ? 2.求证: an

?

2.

? ? 例 57.设数列?an?满足 an?1 ? an2 ? nan ? 1 n ? N? ,当 a1 ? 3 时证明对所有 n ? 1, 有 (i)an ? n ? 2 ;

(ii) 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1

1 ? a1 1 ? a2

1? an 2

1、添加或舍弃一些正项(或负项)



1、已知 an

?

2n

?1(n ?

N *). 求证:

n 2

?

1 3

?

a1 a2

?

a2 a3

? ... ?

an an?1

(n ?

N *).

2、先放缩再求和(或先求和再放缩)

例 2、函数 f(x)= 4 x ,求证:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+ 1 ? 1 (n ? N * ) .

1? 4x

2n?1 2

3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)

nk

例 3、已知 an=n

,求证:∑ k=1

a2 k

<3.

4、放大或缩小“因式”;

? 例 4、已知数列{an}满足 an?1

? an2 , 0 ? a1

?

1 , 求证:
2

n
(ak
k ?1

? ak ?1 )ak ?2

?

1. 32

5、逐项放大或缩小

例 5、设 an ?

1? 2 ?

2?3 ?

3?4 ???

n(n ?1)

求证:

n(n ? 1) 2

?

an

?

(n

? 1)2 2

6、固定一部分项,放缩另外的项;



6、求证: 1 12

?

1 22

?

1 32

?

?

1 n2

?

7 4

7、利用基本不等式放缩

例 7、已知 an ? 5n ? 4 ,证明:不等式 5amn ? aman ? 1 对任何正整数 m,n 都成立.

构造函数法证明不等式的方法

一、 移项法构造函数

【例 1】已知函数 f (x) ? ln(x ?1) ? x ,求证:当 x ? ?1时,恒有1 ? 1 ? ln(x ?1) ? x x ?1
2、作差法构造函数证明

【例 2】已知函数 f (x) ? 1 x2 ? ln x. 求证:在区间 (1, ? ?) 上,函数 f (x) 的图象在函数 g(x) ? 2 x3 的图象的下

2

3

方;

3、换元法构造函数证明

【例 3】(2007 年,山东卷)证明:对任意的正整数 n,不等式 ln( 1 ?1) ? 1 ? 1 都成立.

n

n2 n3

4、从条件特征入手构造函数证明

【例 4】若函数 y= f (x) 在 R 上可导且满足不等式 x f ?(x) >- f (x) 恒成立,且常数 a,b 满足 a>b,求 证:.a f (a) >b f (b)



学霸百科 | 新词新语

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图