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2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)全解全析


2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学( 理科数学(全国 2 卷)全解全析
一、选择题 1.

10i = 2?i

(A)-2+4i (B) -2-4i (C) 2+4i (D)2-4i 答案:A 解析:运用复数基本运算化为复数代数形式 2.设集合 A=

x? {x ( x? 3} , B = ? x x ? 1 ?0} , 则 A I B= ? 4 ?

(A) ? (B) (3,4) (C) (-2,1) (D) (4+ ∞ ) 答案:B 解析:解分式不等式并求交集 3.已知 ABC 中,cotA= ? (A)

12 13

(B)

5 13

12 ,则 cosA= 5 5 12 (C) ? (D) ? 13 13

答案:D 解析:同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号 4.曲线 y=

x 在点(1,1)处的切线方程为 2x ?1
(D)x-4y-5=0

(A)x-y-2=0 (B)x+y-2=0 (C)x+4y-5=0 答案:B 解析:求导得斜率-1,代点检验即可

E 则异面直线 BE 与 CD1 5.已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AA1 = 2 AB , 为 AA1 中点, 所成角的余弦值为 (A)

10 10

(B)

1 5

(C)

3 10 10

(D)

3 5

答案:C 解析:平移成三角形用余弦定理解,或建立坐标系解,注意线线角不大于 900 6.已知向量 a = (2,1) , a ? b = 10 , | a + b |= 5 2 ,则 b = (A) 5 答案:C 解析:将 | a + b |= 5 2 平方即可 7.设 a = log 3 π , b = log
2

(B)

10

(C) 5 (D) 25

3, c = log 2 2, 则

(A) a>b>c (B) a>c>b (C) b>a>c (D) b>c>a 答案:A 解析 a>1,b、c<1,再利用单调判断 8.若将函数 y = tan(ω x +

π

y = tan(ω x +
(A)

π
6

4

)(ω>0) 的图像向右平移

π
6

个单位长度后,与函数

) 的图像重合,则 ω 的最小值为 1 4 ) +
(C)

1 6

(B)

1 3

(D)

1 2

答案:D 解析:由 ω x ? (

π
6

π
4

= ωx +

π
6

+ kπ 可得

9.已知直线 y = k ( x + 2)( k>0) 与抛物线 C : y 2 = 8 x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点,若

FA = 2 FB ,则 k=
(A)

1 3

(B)

2 3

(C)

2 3

(D)

2 2 3

答案:D 解析:由一元二次根系关系出 x1 + x2 , x1 x2 ,由抛物线定义出 x1 + 2 = 2( x2 + 2) ,三式联立 得k 10.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有 (A)6 种 (B)12 种 (C)30 种 (D)36 种 答案:C 解析:由 c4 c4 ? c4 得
2 2 2

11.已知双曲线 C :

χ2
a2

?

y2 = 1(a>0,b>0)的右焦点为 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A、 b2

B 两点,若 AF = 4 FB ,则 C 的离心率为 (A) 答案:A 解 析 : 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), F (c, 0) , 由 AF = 4 FB 得 x1 + 4 x2 = 5c , 又 由 焦 半 径 得

6 5

(B)

7 5

(C)

8 5

(D)

9 5

x1 ? 4 x2 = ?

3a 2 ,解出 x1 , x2 代入根系关系即得关于 a、b、c 的等式,从而解得 c

12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为

上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方 体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标 “?” 的面的方位是 (A)南 (B)北 (C)西 (D) 答案:B 解析:空间想象几何体还原能力 13. ( x y ? y x ) 的展开式中 x y 的系数为
4
3 3

.

答案:6 解析: ( ?1) c4
2 2

14.设等差数列 {am } 的前 n 项和为 sm .若 a5 = 5a3,则 答案:0 解析:由 a5 = 5a3, 得 4a1 + 6d = 0 ,即 S 4 = 0

s4 = s5

.

15.设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45 角的平面截球 O 的表面得到 圆 C.若圆 C 的面积等于 答案:8 π

o

7π ,则球 O 的表面积等于 4
2

.

解析: 由小圆面积得小圆的 r =

7 R 2 2 2 2 , ( ) = 2( R ? r ) 得 R 2 = 2 , 由 所以 S = 4π R = 8π 4 2

2 2 16.已知 AC、BD 为圆 o : x + y = 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M (1, 2) ,则四边形

ABCD 的面积的最大值为 答案: 答案:5 解析: 解析:当 AC=BD=2 ?

.

10 1 2 = 10 时,最大面积为 ( 10) = 5 2 2 3 2 , b = ac 求 B 2

17.(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) 注意: ......... 设 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c cos( A ? C ) + cos B = 答案: 答案: 60
0

解:b 2 = ac ? sin 2 B = sin A sin C ?cos( A ? C ) = cos A cos C + sin A sin C 由? ?cos( A + C ) = cos A cos C ? sin A sin C ? cos( A ? C ) + cos B = 2sin A sin C = 2sin 2 B = 3 2 3 0 又 cos B = ? cos A-C)〉 ( 2 故B为锐角,所以B = 600 ? sin B =
18.(本小题满分 12 分)

3 2

(注意:在试题卷上作答无效) 注意: ......... 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB ⊥ AC ,D、E 分别为 AA1、BC1 的中点
DE ⊥ 平面 BCC1
(1) 证明:AB=AC (2) 设二面角 A-BD-C 为 600,求 B1C 与 平面 BCD 所成角的大小

(1)证明:取BC中点F,连EF、AF,WEI 依题意有矩形ADEF 因为DE ⊥ 面BCC1,所以AF ⊥ 面BCC1 所以AF ⊥ BC,又BF=CF,所以AB=AC
(2)解:设AC=AB = 1,AA1 = 2x

作AG ⊥ BD于G,则AG=

x

x2 + 1 依题意有CA ⊥ 面ABB1,连CG,则CG ⊥ BD

所以∠CGA = 600,由

AC = tan ∠CGA得 AG

x2 + 1 2 = 3, 解得x = , 所以AA1 = 2 x 2 uuu uuu uuuuv r v 以A为坐标原点, 、 、 1分别为x、y、z轴正方向 AB AC AA

uuu v uuu v 2 建系,则BD = -1,, ), = -1, 0 ( 0 BC ( 1,) 2 v ? v uuu 2 v z=0 ?n ? BD = ? x + 设n = x, y, z), 且 ? ( , 2 v uuu v ?n ? BC = ? x + y = 0 ? v uuuu v 取n = (1,1, 2), 又CB1 = 1, ,2) ( -1

v uuuu v v uuuu v 1 于是可得 cos < n, CB1 >= ,所以 < n, CB1 >= 600 , 其余角即为所求, 2 所以B1C与面BCD所成的角的大小为300

注意: ......... 19.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 = 1, S n +1 = 4an + 2 (1) 设 b n = a n +1 ? 2a n,证明数列{b n }是等比数列 (2) 求数列{a n }的通项公式

解:(1)由S n +1 = 4an + 2,有S n = 4an ?1 + 2,两式相减得a n +1 = 4an ? 4a n ?1 变形为a n +1 ? 2a n = 2(an ? 2a n ?1 ),即b n = 2b n ?1(n ≥ 2) , 由S2 = a1 + a 2 = 4a1 + 2得a 2 = 5, 于是b1 = a 2 ? 2a1 = 3 所以数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列
(2)由( )得b n = 3 ? 2n ?1 , 即a n +1 ? 2an =3 ? 2 n ?1 , 所以 1 an 1 3 }是首项为 ,公差为 的等差数列 n 2 4 2 a 1 3 1 所以 n = + n-1) = (3n ? 1) ( n 2 4 4 2 n ?2 所以a n = (3n ? 1)2 , (n ∈ N* ) 于是{
20.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意: ......... 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人。先 采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技 术考核。 (Ⅰ)求从甲、乙两组个抽取的人数; (Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (Ⅲ)记 ξ 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ξ 的分布列及数学期望。

a n +1 a n 3 a 1 ? n = ,且 1 = n +1 4 2 2 2 2

解:(1)因为抽取比为

3 1 1 1 = ,由10 × = 2,× = 1得 5 10 + 5 5 5 5 应在甲组抽取2人、在乙组抽取1人 C1 C1 8 6 4 = 2 15 C10 8 15

(2)设从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的事件为A 则P(A)=

所以从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率为

(3)依题意ξ = 0、 2 3 1、、 由 P ( ξ = 0) = C2 C1 2 4 3 = , 2 1 C10 C5 25 P ( ξ = 1) = C1 C1 C1 C2 C1 28 6 4 3 + 24 2 = , 2 1 1 C10 C5 C10 C5 75

2 2 C6 C1 C1 C1 C1 31 C6 C1 10 3 6 4 2 = P(ξ = 2)= 2 1 + 2 1 = , P(ξ = 3) 2 2 = 75 C10 C5 C10 C5 C10 C1 75 5

得ξ的分布列如表

ξ
P

0

1

2

3

2 28 25 75 28 31 10 8 所以 ξ 的数学期望 Eξ = 1 × + 2 × + 3× = = 1? 6 75 75 75 5 21.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意: .........
已知椭圆 C 2 + ∶

31 75

10 75

x2 a

y2 3 =1 ( a>b>0 ) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 L 与 C 相交于 2 b 3
2 。 2

A、B 两点,当 L 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 L 的距离为 (Ⅰ) 求 a,b 的值;

(Ⅱ) C 上是否存在点 P,使得当 L 绕 F 转到某一位置时,有 OP=OA OB 成立? + 若存在,求出所有的 P 的坐标与 L 的方程;若不存在,说明理由

uuu uuu uuu r r r

解:(1)因为F(c,0), (c > 0且a 2 -b2 =c2 )所以当直线l 斜率为1时,l 方程为y = x ? c 依题意有 c
2

=

2 c2 1 , 得c = 1, 所以a 2 -b2 =1,又e2 = 2 = 2 3 a

得a = 3, b = 2 x2 y 2 + = 1, 当斜率k存在时,直线l的方程为y=k(x -1)设点A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 3 2 uuu uuu uuu r r r ① 若存在点P( x0 , y0 ) ∈ C, 则由OP=OA+OB, 可得x0 = x1 + x2 , y0 = y1 + y2

(2)椭圆C的方程为

由椭圆C和直线l 两个方程联立消y得(2+3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x + 3k 2 ? 6 = 0 显然对任意x ∈ R, ? > 0恒成立,从而有 x0 = x1 + x2 =
6k 2 4k , y0 = y1 + y2 = k ( x1 + x2 ? 2) = ? 2 2 + 3k 2 + 3k 2

将x0 , y0 代入椭圆方程并整理得 3k 4 ? 4k 2 ? 4 = 0, 解得k = ± 2 所以当直线l不垂直于x轴时,满足条件的点P存在

3 2 3 2 ), 当k = ? 2时, 点P( , ) 且当k = 2时点P( , ? 2 2 2 2 对应直线l的方程分别为y = 2 x ? 2 2, y = ? 2 x + 2 2 2 3 2 3 ), B(1, ? ) 3 3 此时点P(2, 0)不在椭圆上, 所以此种情况下满足条件的点p不存在 ②若直线l垂直于x轴, 则点A(1, 注意: ......... 22. (本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
设函数 f ( x)=x +a ln (1+x ) 有两个极值点 x1,x2,且x1<x2 。
2

(Ⅰ)求 a 的取值范围,并讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)证明: f ( x2 )>

1-2 ln 2 。 4

解:(Ⅰ)因为 ? / ( x) =

2 x2 + 2 x + a ,(x > ?1) x +1 所以设g ( x) = 2 x 2 + 2 x + a ( x > ?1)

? 1 ? ?? 2 〉 1 ? 1 1 依题意,由 ? g (?1) > 0 得0 < a < ,所以a的取值范围为(0, ) 2 2 ? 1 ? g (? ) < 0 2 ? / 由 ? ( x) > 0得 ? 1 < x < x1或x > x2 由 ? / ( x) < 0得x1 < x < x2 所以f ( x)的单调增区间为(-1,x1 )和(x2 , +∞), 单调减区间为( x1, x2 ) 其中x1 = ? 1 ? 2a + 1 1 ? 2a ? 1 1 , x2 = , 且a ∈ (0, ) 2 2 2

(Ⅱ)证明:因为x2 =

1 ? 2a ? 1 ( 1 ? 2a ? 1)2 1 ? 2a + 1 ,所以设h(a ) = f ( x2 ) = + a ln 2 4 2 1 ? 1 ? 2a a 1 ? 2a + 1 1 ? 2a + 1 1+1 ? + ln = ln < ln =0 则h / ( a ) = 2 2 2 2 1 ? 2a 1 ? 2a ( 1 ? 2a + 1) 1 1 所以h(a )在(0, )递减,又h(a )在a = 处连续 2 2 1 1 ? 2 ln 2 1-2 ln 2 所以h(a ) > h( ) = ,即f ( x2 )> 2 4 4



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