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湖北省黄冈中学2009届高三第一次模拟考试理科


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湖北省黄冈中学 2009 届高三第一次模拟考试
数 学 试 题(理科)
命题:袁小幼 审稿:程金辉 校对:陈晓洁 本试卷满分共 150 分,考试时间 120 分钟. 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题 本大题共 一项是符合题目要求的) 一项是符合题目要求的 1.“函数 f ( x)( x ∈ R ) 存在反函数”是“函数 f ( x) 在 R 上减为函数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

2.过原点和 3 ? i 在复平面内对应点的直线的倾斜角为( A.

π
6

B. ?

π
6


2 C. π 3

5 D. π 6

3.不等式 y ≥| x | 表示的平面区域为(

4.过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60°,则该 截面的面积是( A. π ) B. 2π C. 3π D. 2 3π

5.右图实线是函数 y = f ( x)(0 ≤ x ≤ 2a ) 的图象,它关于点 A(a, a) 对称. 如果它是一条总体密度曲线,则正数 a 的值为( A. ) D. 2

2 2

B.1

C.2

6.已知 a、b、m、n、x、y 均为正数,且 a ≠ b ,若 a、m、b、x 成等 差数列,a、n、b、y 成等比数列,则有( A.m>n, x>y B.m>n, x<y ) C.m<n, x<y D.m<n, x>y

1

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7.正三棱锥 V—ABC 的底面边长为 2a,E、F、G、H 分别是 VA、VB、BC、AC 的中点, 则四边形 EFGH 的面积的取值范围是( A. 0, +∞ )

(

)

? 3 2 ? B. ? ? 3 a , +∞ ? ? ? ?

? 3 2 ? C. ? ? 6 a , +∞ ? ? ? ?

?1 ? D. ? a 2 , +∞ ? ?2 ?


8.已知不等式 | a ? 2 x |> x ? 1 ,对任意 x ∈ [0, 2] 恒成立,则 a 的取值范围为( A. ?∞, 1 U 5, +∞ C.(1,5)

(

) (

)

B. ?∞, 2 U 5, +∞ D.(2,5)

(

) (

)

uuu 1 uuu 2 uuur r r 9. 如图所示, P 为△ABC 所在平面内的一点, 设 并且 AP = AB + AC , 5 5
则△ABP 与△ABC 的面积之比等于( A. ) C.

1 5

B.

1 2

2 5

D.

2 3

10.在如图所示的 10 块地上选出 6 块种植 A1、A2、…、A6 等六个不 同品种的蔬菜,每块种植一种不同品种蔬菜,若 A1、A2、A3 必 须横向相邻种在一起,A4、A5 横向、纵向都不能相邻种在一起,则不同的种植方案有 ( ) B.3360 C.5160 D.5520

A.3120

把答案填在答题卡相应位置上) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上 填空题 本大题共 小题,

1? ? 11.函数 y = sin x 的定义域为 [a, b] ,值域为 ? ?1, ? ,则 b ? a 的最小值为___________. 2? ?
x 2 16 y 2 ? 2 = 1 的左焦点在抛物线 y 2 = 2 px 的准线上,则 p 的值为__________. 3 p

12.若双曲线

13.某种基金今天的指数是 2,以后每一天的指数都比上一天的指数增加 0.2%,则 100 天 以后这种基金的指数约是___________(精确到 0.001). 14.已知函数 f ( x) = 2 x 2 + (4 ? m) x + 4 ? m, g ( x) = mx ,若存在一个实数 x,使 f ( x) 与 g ( x) 均不是正数,则实数 m 的取值范围是________________. 15.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如右图 的方式“分裂”,仿此,52 的“分裂”中最大的 数是__________,若 m3 的“分裂”中最小的数是 211,则 m 的值为__________.
2

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小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a cos C , b cos B, c cos A 成等差数列. (Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)求 2sin 2 A + cos( A ? C ) 的范围.

17.(本小题满分 12 分) 在奥运会射箭决赛中,参赛号码为 1~4 号的四名射箭运动员参加射箭比赛。 (Ⅰ)通过抽签将他们安排到 1~4 号靶位,试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号 码相同的概率; (Ⅱ)记 1 号、2 号射箭运动员射箭的环数为 ξ ( ξ 所有取值为 0,1,2,3...,10) 分别为 P1 、 P2 .根据教练员提供的资料,其概率分布如下表: 0 1 2 3 4 5 6 7 ξ 8 0.2 0.32 9 0.3 0.32 10 0.04 0.02

P1

0 0

0 0

0 0

0 0

0.06 0.04

0.04 0.05

0.06 0.05

0.3 0.2

P2

①若 1,2 号运动员各射箭一次,求两人中至少有一人命中 9 环的概率; ②判断 1 号,2 号射箭运动员谁射箭的水平高?并说明理由.

18.(本小题满分 12 分) 如图,已知中心在原点 O、焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 圆 C 的长轴、短轴的端点,点 O 到直线 AB 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 ,点 A、B 分别是椭 2

6 5 . 5

uuu uuu r r (Ⅱ) 已知点 E(3,0), 设点 P、 是椭圆 C 上的两个动点, Q 满足 EP ⊥ EQ ,求 EP QP
的最小值.

3

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19.(本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中 AB

CD, AD = DC = CB = a, ∠ABC = 60° ,平面 ACFE ⊥ 平

面 ABCD,四边形 ACFE 是矩形,AE=a,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ)求证: BC ⊥ 平面 ACFE; (Ⅱ) EM 为何值时, AM 平面 BDF?证明你的结论; 当 (Ⅲ)求二面角 B—EF—D 的大小.

20.(本小题满分 13 分) | x| 已知函数 f ( x) = . x+2 (Ⅰ)判断函数 f ( x) 在区间 0, +∞ 上的单调性并加以证明; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的值域; (Ⅲ)如果关于 x 的方程 f ( x) = kx 3 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围.

(

)

21.(本小题满分 14 分) 设 函 数

f ( x) = ln(1 + x)



g ( x) =

2x ( x > 0) 1+ x

, 数 列 {an } 满 足 :

1 a 1 = , an +1 = g (an )(n ∈ N* ) . 2 (Ⅰ)当 x > ?1 时,比较 x 与 f ( x) 的大小;
(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求证: a1 + a2 + L + an > ln

2n + 1 . 2

4

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湖北省黄冈中学 2009 届高三第一次模拟考试数学(理)参考答案
1.B 2.D 3.A 4.A 5.A 6.B 11. π
2 3

7.B 8.B 9.C 10.C 14. m ≥ 4 15.9,15

12.4

13.2.442

16.(Ⅰ) 2b cos B = a cos C + c cos A ,∴ 2sin B cos B = sin A cos C + sin C cos A = sin( A + C ) = sin B , ∴ cos B = ,∴ B = .
3 1 2

π

(Ⅱ) 2sin 2 A + cos( A ? C ) = 2sin 2 A + cos( A ? π + A) = 2sin 2 A + cos(2 A ? π )
?1 ? 1 3 3 π? ? = 1 ? cos 2 A ? cos 2 A + sin 2 A = 1 + 3 ? sin 2 A ? cos 2 A ? = 1 + 3 sin ? 2 A ? ? ? ? 2 2 2 3? ? ?2 ? 2 π π 3 π? ? Q 0 < A < π , ? < 2 A ? < π ,∴ ? < sin ? 2 A ? ? ≤ 1 , 3 3 3 2 3? ?

2 3

2 3

? ∴ 2sin 2 A + cos( A ? C ) ∈ ? ? ,1 + 3 ? . ? ? 2 ?
1

17.(Ⅰ)从 4 名运动员中任取两名,其靶位号与参赛号相同,有 C4 种方法,另 2 名运 动员靶位号与参赛号均不相同的方法有 1 种, 所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同 的概率为

2

P=

C42 ?1 1 = A44 4

(Ⅱ)①由表可知,两人各射击一次,都未击中 9 环的概率为 P=(1-0.3)(1-0.32) =0.476∴ 至少有一人命中 9 环的概率为 p=1-0.476=0.524 ② Q Eξ1 = 4 × 0.06 + 5 × 0.04 + 6 × 0.06 + 7 × 0.3 + 8 × 0.2 + 9 × 0.3 + 10 × 0.04 = 7.6

Eξ 2 = 4 × 0.04 + 5 × 0.05 + 6 × 0.05 + 7 × 0.2 + 8 × 0.32 + 9 × 0.32 + 10 × 0.02 = 7.75
x2 y2 c 3 6 5 + = 1 ,则有 = , = a2 b2 a 2 5
ab a2 + b2

所以 2 号射箭运动员的射箭水平高. 18.(Ⅰ)设椭圆方程为
x2 y2 + = 1. 36 9

,∴a=6, b=3.∴椭圆 C 的方程为

(Ⅱ) EP QP = EP ( E P ? EQ) = EP =| EP |2 ,设点 P( x0 , y0 ) ,则 x02 + 4 y02 = 36, ∴ | EP |2 = ( x0 ? 3) 2 + y02 = ( x0 ? 4) 2 + 6 ,∵ ?6 ≤ x0 ≤ 6 ,∴ | EP |2≥ 6 ,∴ | EP |2 = 6, ∴ EP QP 的最小 min 值为 6. 19.(Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ AB CD, AD = DC = CB = a, ∠ABC = 60° , ∴四边形 ABCD 是等腰梯形, 且 ∠DCA = ∠DAC = 30°, ∠DCB = 120°, ∴ ∠ACB = ∠DCB ? ∠DCA = 90° ,∴ AC ⊥ BC. 又∵平面 ACFE ⊥ 平面 ABCD,交线为 AC,∴ BC ⊥ 平面 ACFE. (Ⅱ) EM = 当
3 a 时,AM 3

uuu uuu r r

uuu r

u r

ur

uuu 2 r

uuu r

uuu r

3 4

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

平面 BDF. 在梯形 ABCD 中, AC I BD = N , 设

连结 FN,则CN : NA = 1: 2.
5

学而思教育· 思考成就未来! 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来! 3 a 而 EF = AC = 3a ,∴ EM : FM = 1: 2, ∴MF = 3

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∵ EM =

AN,

∴四边形 ANFM 是平行四边形. ∴ AM NF . 又∵ NF ? 平面 BDF, AM ? 平面 BDF. ∴ AM

平面 BDF.

(Ⅲ)取 EF 中点 G,EB 中点 H,连结 DG、GH、DH,∵DE=DF,∴ DG ⊥ EF . ∵ BC ⊥ 平面 ACFE,∴ BC ⊥ EF . 又∵ EF ⊥ FC ,∴ EF ⊥ FB. 又∵ GH FB ,∴ EF ⊥ GH . ∴ ∠DGH 是二面角 B—EF—D 的平面角. 在△BDE 中 DE = 2a, DB = 3a, BE = AE 2 + AB 2 = 5a. ∴ BE 2 = DE 2 + DB 2 ∴ ∠EDB = 90° , ∴ DH =
5 5 2 a. 又 DG = a, GH = a. ∴在△DGH 中, 2 2 2 10 10 , 即二面角 B—EF—D 的大小为 arccos . 10 10 x2 x x x + 2 x2 ? x1 x2 ? 2 x1 2( x2 ? x1 ) ? 1 = 1 2 = >0, x2 + 2 x1 + 2 ( x2 + 2)( x 1 + 2) ( x2 + 2)( x 1 + 2)

由余弦定理得 cos ∠DGH =

20.(Ⅰ)设 0 < x1 < x2 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) = ∴ f ( x) 在 (0, +∞) 单调递增. (Ⅱ)当 x ≥ 0 时, f ( x) =

x x ≥ 0 ,又 0 ≤ x < x + 2 ,∴ < 1 ,即 0 ≤ f ( x) < 1 ; x+2 x+2
?x ?2 y = y ,∴ x = ,由 x < 0 ,得 y < ?1 或 y > 0 . x+2 y +1

当 x < 0( x ≠ ?2) 时, f ( x) =

∴ f ( x ) 的值域为 (?∞, ?1)∪[0,+∞).
(Ⅲ)当 x=0 时, f ( x) = kx 3 ,∴x=0 为方程的解. 当 x>0 时,
1 x = kx 3 ,∴ kx 2 ( x + 2) = 1 ,∴ x 2 ( x + 2) = . x+2 k 1 x = kx 3 ,∴ kx 2 ( x + 2) = ?1 ,∴ ? x 2 ( x + 2) = . x+2 k
? 4 3

y

当 x<0 时, ?

x
? 32 27

即看函数 g ( x) = ? ?
1 k

? x 3 + 2 x 2 ( x > 0)
3 2 ?? x ? 2 x ( x < 0, 且x ≠ ?2) ?

与函数 h( x) = 图象有两个交点时 k 的取值范围,应用导数画出 g ( x) 的大致图象, ∴ >?
1 k 32 27 ,∴ k < ? 或k > 0. 27 32 1 x = ,令 F ′( x) = 0 有 x=0, x +1 x +1

21.(Ⅰ)当 x > ?1 时, F ( x) = x ? ln( x + 1) ,∴ F ′( x) = 1 ?

当 x ∈ (?1,0), F ′( x) < 0, F ( x) 单调递减;当 x ∈ (0, +∞), F ′( x) > 0, F ( x) 单调递增. ∴ F ( x) min = F (0) = 0, ∴ x ≥ ln( x + 1) ; (Ⅱ)∵ an +1 = ∴? ?
?1
2an 1 1 1 1 ,∴ = ( + 1), ∴ ?1 = 1 + an an +1 2 an an +1

? 1? 1 ? ? 1? , 2 ? an ?
n ?1

? 1 1 ? ?1? ? 1? 为首项是 1、公比为 的等比数列. ∴ ? 1 = 1 ? ? 2 an ? an ? ?2? ? ?

, ∴ an =

2n ?1 ; 2 +1
n ?1

(Ⅲ)∵ an > 0 ,由(1)知 an > ln(an + 1) = ln ?

? 2 n ?1 ? + 1? = ln ( 2n + 1) ? ln ( 2 n ?1 + 1) , n ?1 ? 2 +1 ?

6

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n

∴ a1 + a2 + L + an > ?ln ( 21 + 1) ? ln ( 20 + 1) + L + ln ( 2n + 1) ? ln ( 2n ?1 + 1) ? = ?ln ( 2n + 1) ? ln 2? = ln 2 ? ? ? ?

+1 ,即证. 2

7



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