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2014年全国高中数学青年教师展评课:向量法教学设计(甘肃白银八中孙原)


《向量法》教学设计 孙 原 一、教材内容分析 《向量法》这节课安排在人教版新课标实验教材选修 2-1 的第三章《空间向 量与立体几何》内容之后,在对本章知识进行归纳总结的基础上,使学生对空间向 量的基本内容有一个系统的认识,着重突出了用空间向量解决立体几何问题的基 本思想和方法,并通过典型例子,使学生感受向量法解决立体几何问题的优势, 提高学生主动应用向量法的意识以及应用向量法解决立体几何典型问题的能力。 二、学情分析 学生在学习完必修 4《平面向量》、必修 2《空间几何体》和《点、直线、平 面之间的位置关系》、选修 2-1《空间向量与立体几何》之后,对向量的概念和立 体几何知识有了初步的了解和把握,但是,由于所学内容时间间隔较长,学生学 习水平参差不齐,又存在能力差异,因此,要进行本堂课的教学,首先要有意识 地进行课前安排学生复习基础知识,提高能力,对需要学生突破的重点和难点, 需要给学生足够的时间去思考,交流,让学生在互帮互助中形成共识,提升思维水 平。 三、教学目标(知识,技能,情感态度、价值观) 知识与技能 1、通过对空间向量的基础内容的复习,能够熟练掌握空间向量的基本概念和基本 运算。 2、能够初步建立空间向量基础知识的知识体系。 3、能够熟练应用利用向量方法解决立体几何问题的一般方法(三步曲)。 过程与方法 1、经历归纳梳理知识的全过程,初步形成空间向量基础知识体系 2、提高学生主动应用向量法的意识以及应用向量法解决典型问题的能力 情感态度与价值观 体会把立方体几何几何转化为向量问题优势,培养探索精神。 三、教学重点、难点 教学重点: 1、能够初步建立空间向量基础知识的知识体系。 2、 能够熟练应用利用向量方法解决立体几何问题的一般方法(三步曲)

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教学难点:建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为向量问 题。 四、教学策略分析 教学方法的选择是以教学内容为载体,以学生参与为标志,以启迪学生思维、 培养学生创新能力为核心,以育人为宗旨的。在教学我采用以问题为主线,以小 组合作探究为主体,学生自我展示,老师适当点拨为辅助的教学模式。对于本节 课的难点突破,我通过设置难度递进的问题,采用启发、诱导、合作探究的方式, 引导学生分析、归纳得到结论。让学生主动参与,积极思考,认真探究,鼓励他 们“敢想敢做”, 积极引导他们学会合作与交流,进而逐步将知识内化为自身的 认知结构。倡导以“主动参与、乐于探究、交流合作”为主体特征的学习方式。 努力实现把课堂还给学生,把课堂作为学生展示自己的舞台,使得学生积极参与 到知识的构建中来,通过讨论交流、引导探究,自主解决问题,从而提高积极性, 增强信心,最终形成能力。 五、教学过程 环节一、基础梳理: (学生交流、梳理基础知识,教师答疑) (一)向量的定义及表示法 1.在空间中具有 2 .向量的表示方法 : 用 表示向量. (二)向量的运算 1、向量的加、减法运算 空间向量的加减法遵循 的量叫做空间向量. 表示向量;用

表示向量;用





(1)加法:平行四边形法则: OA ? OB ? OC 形法则: OA ? AC ? OC .

(四边形 OACB 为平行四边形);三角

坐标表示: 设 a =(x1, x2, x3), y2, y3), 则 a ? b =________________________ b =(y1, 加 法 运 算 律 (1) 交 换 律 : a ? b = . (2) 结 合 律 :

(a ? b) ? c =________.
(2)减法:三角形法则 OB ? OA ? AB 坐标表示:设 a =(x1,x2,x3), b =(y1,y2,

y3),则 a ? b =_________
2、向量的数乘运算 (1)向量的数乘:λ a 是向量,其中:|λ a |=|λ |·| a |;

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当 λ >0 时,λ a 与 a ______;当 λ <0 时,λ a 与 a ______;当 λ =0 时,λ a = ________. (2)坐标表示:设 a =(x1,x2,x3), 则 λ a =__________________________ (3)空间向量与实数的乘法满足如下的运算律: λ ( a ? b )=____________(对实数加法的分配律) (λ 1+λ 2) a =__________(对实数加法的分配律) λ (μ a )=______________(结合律) 3、向量的数量积运算 (1)向量的数量积: a ? b = . .

坐标表示:设 a =(x1,x2,x3), b =(y1,y2,y3),则 a ? b = (2) a 在 b 上的投影是指 . .

a ? b 的几何意义是
( 3 ) 两 个 向 量 a 、 b 的 夹 角 公 式 cos θ =

.

a ? a?a ?
(? a) ? b =

2

,a?

.

4.空间向量的数量积满足以下运算律: ; a ? b =____________;

a ? (b ? c) =_______________.
(三)空间向量基本定理 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组 {x,y,z},使得 【设计意图】帮助学生复习空间向量基础知识,为总结知识体系做铺垫。 教师展示 PPT,给出答案,并引导学生对重点、难点知识进行总结梳理,并就易错 知识点着重提醒。 【设计意图】帮助学生进一步梳理知识体系,并加强对重、难点知识点的理解与 记忆。 【师生互动】 师:请大家思考上述基本知识的知识体系是什么? 生:通过独立思考,得出:向量的定义及表示法;向量的运算 ;空间向量基本定 理 师:可以总结如下:

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一个定理,两种形式,三类运算 师:通过以上知识体系,可以解决有关向量的什么问题? 生回答:证明平行、证明垂直、求夹角、计算模 【设计意图】通过对基础知识的总结回顾,得到空间向量基础知识的知识体系, 并通过有规律的书写,使得学生理解、记忆深刻。 环节二、巩固练习: 练习 1、如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,各棱长均为 1,从 A1 点 出发的三条棱两两夹角为 60。 ,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A 1B 1

? a , A1D1 ? b ,
D C M

A1 A ? c ,则 B1M ?
B1M ?

(用 a, b, c 表示 .

).
A D1

B C1

A1

B1

练习 2、在如图所示的棱长为 1 的正方体中,

AB? ? C?A? =

. COS AB?, C ?A? =

.

【设计意图】通过练习, 运用基础知识,并通过两个问题得到 向量方法和坐标方法两种解决立体几何问题的思路。 【师生互动】 师:如以上两个练习,我们可以用向量方法解决立体几何问题,请概述用向量方法 解决立体几何问题的一般过程? 生:总结出向量方法解决立体几何问题“三步曲”。 【设计意图】通过对练习的总结,得到向量方法解决立体几何 问题“三步曲”,并对向量方法解决立体几何问题的思想和方 法进行总结,提升。特别强调教学难点:建立立体图形与空间 向量之间的联系,把立体几何问题转化为向量问题在“三步曲” 中的作用。 环节三、能力提升: 师:(引导)如何通过上述方法解决下面问题? 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4, 点 D 是 BC 的中点,M 在 BB1 上,BB1 =4BM。 (1)求证 CM ⊥平面 ADC1 (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值。 生:独立思考,小组内交流,小组组长展示答案。 师:结合学生展示给出解答,并比较使学生感受向量法解决立体几何问题的优势。

向量法: 由已知可得AB ? AC, AA1 ? AB,且AA1 ? AC, 故可以A为原点, 以向量AB、 AC、 AA1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直 角坐标系,
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则点A、D、C1、C、M的坐标分别为

A?0,0,0?、D?1,1,0?、C1 ?0,2,4?、C ?0,2,0?、M ?2,0,1?

? AD ? ?1,1,0?, AC1 ? ?0,2,4?, CM ? ?2, ? 2, 1? 易得CM ? AD ? CM ? AC1 ? 0 ? CM ? AD, CM ? AC1

即CM ? AD, CM ? AC1 又 ? AD ? AC1 ? A ? CM ? 面ADC1
(2)由已知易得AC、 CM 分别为面ABA 1、面ADC 1的法向量 而 AC ? ?0,2,0?, CM ? ?2, ? 2, 1?,而 AC ? 2, CM ? 3, AC ? CM ? -4,设 AC与CM的夹角为?,则cos? ? ? 面ABA 1与面ADC 1所成二面角的正弦值为 5 3 ?4 2 ?? 2?3 3

【设计意图】学生通过独立思考及小组交流,可能会得到向量坐标法的解决思路, 也可能会想到综合法或者向量几何法的思路。通过学生展示答案和教师指导,实 现突破难点的目标。由于所选题目第二问为求一个无棱二面角,可以通过对比解 题过程深刻体会坐标方法解决某些立体几何问题的优势。 环节四、归纳小结: 空间向量的概念----空间向量的运算------用空间向量表示点、直线、平面等元 素 -----建立空间图形与空间向量的联系 ------ 利用空间向量的运算解决立体几 何中的问题 环节五、作业布置: 探究向量法解决空间角的方法,并举例说明。 六、教学反思: 对本节内容在进行教学设计之前,本人反复阅读了课程标准和教材,同时请 教了很多老师,针对教材的内容,编排了一系列问题,通过让学生回顾知识发生、 发展的过程,积极投入到课堂活动中来,通过与学生的互动交流,关注学生的思 维发展,在逐渐展开问题的过程中,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并 获得知识体系的完善与拓展,实现知识的螺旋式上升,收到了一定的预期效果,
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尤其是例题的处理,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动, 在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决 问题的能力和发展创造性思维的能力,充分发挥了学生的主体作用,也提高了学 生的合作意识,达到了设计中所预想的目标。 然而还有一些缺憾:对本节内容,本人认为,我对教材的理解还有有待提高 的地方,在复习方式、激发广大学生的积极性以及例题的选择上还有值得反思提 高的地方,希望能通过进一步地学习,提高自己的认识,提升教学水平,以便今 后更好地服务学生。

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