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【状元之路】(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 5-7解三角形应用举例检测试题(2)文


【状元之路】 (新课标,通用版)2015 届高考数学一轮复习 5-7 解三 角形应用举例检测试题(2)文
一、选择题

1.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的 北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km C. 2a km B. 3a km D.2a km
2 2 2

)

解析:利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,在△ACB 中,由余弦定理得 AB =AC +BC -

? 1? 2 2 2 2AC·BCcos120°=2a -2a ×?- ?=3a ,∴AB= 3a. 2 ? ?
答案:B 2.张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点 A 处望见电视塔

S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75°方向上,则
电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( A.2 2 km C.3 3 km ) B.3 2 km D.2 3 km

1

15 解析: 如图, 由条件知 AB=24× =6, 在△ABS 中, ∠BAS=30°, AB=6, ∠ABS=180°-75° 60 =105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知 = , sin30° sin45° 所以 BS= 答案:B 3.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C,两艘轮船航行方向的夹角为 120°,轮船 A 的航行 速度是 25 海里/小时,轮船 B 的航行速度是 15 海里/小时,下午 2 时两船之间的距离是( A.35 海里 C.35 3海里 B.35 2海里 D.70 海里 ) sin30°=3 2. sin45°

BS

AB

AB

解析:设轮船 A、B 航行到下午 2 时时所在的位置分别是 E、F,则依题意有 CE=25×2=50,CF =15×2=30,且∠ECF=120°,

EF= CE2+CF2-2CE·CFcos120°
= 50 +30 -2×50×30cos120° =70. 答案:D 4.为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是( A.20?1+ ) B.20?1+ D.30 m
2 2

? ?

3? ? m 3?

? ?

3? ? m 2?

C.20(1+ 3) m

解析:如图所示,由已知可知,四边形 CBMD 为正方形,CB=20 m,所以 BM=20 m.又在 Rt△

AMD 中,

DM=20 m,∠ADM=30°,

2

20 ∴AM=DMtan30°= 3(m). 3 20 ∴AB=AM+MB= 3+20 3 =20?1+ 答案:A 5.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同 时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始多少 h 后,两车的距离最小( 69 A. 43 70 C. 43 B. 1 D. 2 )

? ?

3? ?(m). 3?

解析:如图所示,设 t h 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行驶到 E,则 AD=80t,BE=50t. 因为 AB=200,所以 BD=200-80t,问题就是求 DE 最小时 t 的值. 由余弦定理,得

DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°
=(200-80t) +2 500t -(200-80t)·50t =12 900t -42 000t+40 000. 70 当 t= 时,DE 最小. 43 答案:C 6.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西 40° 处,A,B 两船间的距离为 3 km,则 B 船到灯塔 C 的距离为( A.1 km C.3 km B.2 km D.( 6-1) km )
2 2 2

解析:如图,由题意可得,∠ACB=120°,AC=2,AB=3.

3

设 BC=x,则由余弦定理可得

AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos120°,
即 3 =2 +x -2×2xcos120°,整理得 x +2x=5, 解得 x= 6-1(负值舍掉). 答案:D 7.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水 柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B,在 B 点 测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m ) B.100 m D.150 m
2 2 2 2

解析:设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,∠A=60°,AC=h,AB=100,BC= 3

h,根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即 h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h
+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 答案:A

8.如图所示,在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ ,沿 BE 方向前进 30 米至 C 处, 测得其顶端 A 的仰角为 2θ ,再继续前进 10 3米至 D 处,测得其顶端 A 的仰角为 4θ ,则 θ 的值为 ( ) A.15° C.5° B.10° D.20°

解析:因为∠ACE=2θ ,所以∠BAC=θ ,AC=BC=30,因为∠ADE=4θ ,所以∠CAD=2θ ,所

AC 30 3 以 AD=CD=10 3,在△ACD 中,2CD·cos2θ =AC,所以 cos2θ = = = ,所以 2θ = 2CD 2×10 3 2
30°,所以 θ =15°. 答案:A

4

9.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好是 3 km,那么 x 的值为( A. 3 C. 3或 2 3 ) B. 2 3 D. 3

解析:如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC=30°,由余弦定理得 ( 3) =x +3 -2x·3·cos30°,整理,得 x -3 3x+6=0,解得 x= 3或 2 3. 答案:C 10.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后 到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其 方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( A.10 2海里 C.20 3海里 ) B.10 3海里 D.20 2海里
2 2 2 2

解析:如图,易知,在△ABC 中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得 = , sin45° 解得 BC=10 2(海里). 答案:A 二、填空题

BC
sin30°

AB

11.一船由 B 处向正北方向航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔 C、D 恰好与它在一 条直线上,继续航行半小时后到达 A 处,看见灯塔 C 在它的南偏西 60°方向,灯塔 D 在它的南偏西

5

75°方向,则这艘船的速度是__________海里/小时. 解析:如图所示,

依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10,在直角三 5 角形 ABC 中,得 AB=5,于是这艘船的速度是 =10(海里/小时). 0.5 答案:10 12.某路边一树干被大风吹断后,折成与地面成 45°角,树干也倾斜为与地面成 75°角,树干 底部与树尖着地处相距 20 米,则折断点与树干底部的距离是__________米.

解析:如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°, ∴∠OAB=60°.

AO 20 由正弦定理知, = , sin45° sin60°
20 6 ∴AO= (米). 3 20 6 答案: 3 13.在直径为 30 m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截 面顶角为 120°,若要光源恰好照整个广场,则光源的高度为__________m. 15 解析:轴截面如图,则光源高度 h= =5 3(m). tan60°

6

答案:5 3 14.在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时刻物体位于 P 点,一分钟后,其位 置在 Q 点,且∠POQ=90°,再过一分钟,该物体位于 R 点,且∠QOR=30°,则 tan∠OPQ 的值为 __________. 解析:由于物体做匀速直线运动,根据题意,PQ=QR,不妨设其长度为 1.在 Rt△POQ 中,OQ= 2 OP 1 sin∠OPQ,OP=cos∠OPQ,在△OPR 中,由正弦定理得 = ,在△ORP 中, = sin120° sin∠ORP sin30°

OQ

sin∠ORQ

,两式两边同时相除得 =tan∠OPQ= 3 2

OQ OP

3 . 2

答案:

三、解答题

15.某城市有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境 标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠

C=∠D.
(1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计建造费用 最低?请说明理由. 解析: (1)在△ABC 中, 由余弦定理, 得 AB =AC +BC -2AC·BCcosC=16 +10 -2×16×10cosC, ① 在△ ABD 中,由余弦定理及∠ C =∠ D ,整理得 AB = AD + BD - 2AD·BDcosD = 14 + 14 - 2×14 cosC.②
7
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 由①②得:14 +14 -2×14 cosC=16 +10 -2×16×10×cosC,整理得 cosC= . 2 ∵∠C 为三角形的内角,∴C=60°, 又∠C=∠D,AD=BD, ∴ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A、B 两点的距离为 14. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下:

S△ABD= AD·BDsinD, S△ABC= AC·BCsinC.
∵AD·BD>AC·BC,且 sinD=sinC, ∴S△ABD>S△ABC. 由已知建造费用与用地面积成正比,故选择小李的设计使建造费用最低. 答案:(1)14;(2)小李的设计建造费用最低,理由略. 16.[2013·江苏]如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿 直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min,在甲出发 2 min 后, 乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C,假设缆车匀速直线运动的速度为 12 3 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cosA= ,cosC= . 13 5 1 2

1 2

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 12 解析:(1)在△ABC 中,因为 cosA= , 13 3 5 4 cosC= ,所以 sinA= ,sinC= . 5 13 5

8

从而 sinB=sin[π -(A+C)]=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC 5 3 12 4 63 = × + × = . 13 5 13 5 65 由正弦定理 = ,得 sinC sinB

AB

AC

AB=

AC

sinB

1 260 4 ×sinC= × =1 040(m). 63 5 65

所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得

d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× =200(37t2-70t+50),
1 040 35 因 0≤t≤ ,即 0≤t≤8,故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 130 37 (3)由正弦定理 = ,得 sinA sinB

12 13

BC

AC

BC=

AC

sinB

1 260 5 ×sinA= × =500(m). 63 13 65

乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ - ≤3,解得 ≤v≤ ,所以为使两位 v 50 43 14 游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在? 内. 35 ?1 250,625?(单位:m/min)范围内. 答案:(1)1 040 m;(2) (min);(3)应控制在? 14 ? 37 ? 43 ?

?1 250,625?(单位:m/min)范围 14 ? ? 43 ?

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9

1.[2014·台州模拟]某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处于坡度 15°的看台的某 一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最 后一排的距离为 10 6米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50 秒, 升旗手应以多大的速度匀速升旗? 解析:在△BCD 中,∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=10 6,由正弦定理,得 BC= 20 3. 在 Rt△ABC 中,AB=BCsin60°=20 3× 3 AB 30 =30(米),所以升旗速度 v= = =0.6(米/秒). 2 t 50

CDsin45°
sin30°



2. 如图, A、 B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点, 现位于 A 点北偏东 45°,

B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C
点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 解析: 由题意, 知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90°-60°=30°, ∠DAB=90°-45°=45°, ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°. 在△DAB 中,由正弦定理,得 = , sin∠DAB sin∠ADB

DB

AB

10

于是 DB=

AB·sin∠DAB sin∠ADB

5?3+ 3?·sin45° = sin105° 5?3+ 3?·sin45° = sin45°cos60°+cos45°sin60° 5 3? 3+1? = 3+1 2 =10 3(海里). 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,

BC=20 3(海里),
在△DBC 中,由余弦定理,得

CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC
1 =300+1 200-2×10 3×20 3× 2 =900. 30 得 CD=30(海里),故需要的时间 t= =1(小时), 30 即救援船到达 D 点需要 1 小时.

3.如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D, 现测得∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔高 AB. 解析:在△BCD 中,∠CBD=π -α -β , 由正弦定理得 = , sin∠BDC sin∠CBD 所以 BC=

BC

CD

CDsin∠BDC s·sinβ = sin∠CBD sin?α +β ?

stanθ sinβ 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB= sin?α +β ?
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