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重庆市三所重点校及部分中学2012-2013学年高一上学期期末联考数学试题


2012—2013 学年度高 2015 级上期过程性调研抽测 数 学 试 题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题,共 50 分) 注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 3.考试结束,监考人将本试题和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个备选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. log 2

1 ?( 2

) B. ?

A . ?1

1 2

C.1 )

D.2

2.在下列函数中,与函数 y ? x 是同一个函数的是( A. y ? ( x )
2

B. y ?

3

x

3

x2 C .y? x
) C.第三象限 )

D. y ?

x2

3.设角 ? ? ?2 弧度,则 ? 所在的象限是( A.第一象限 B.第二象限

D.第四象限

? ? ? ? 4.设 a, b 是两个非零向量,下列能推出 a ? b 的是(
A. a // b 5.若 log a

? ?

B. a ? b

?2

?2

C. a ? c ? b ? c )

? ?

? ?

D. a ? b 且 a, b 的夹角为 0

?

?

? ?

?

2 ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( 3
B. (1, ??)

A. (0,1)

C. (0, ) ? (1, ??) )

6.已知 tan ? ? 2, ? ? (? ,

3? ) ,则 cos? ? ( 2

2 3

D. (0, ) ? ( ,1)

2 3

2 3

A.

5 5

B. ?

5 5


C.

2 5 5

D. ?

2 5 5

7.函数 y ? x ? x ( x ? 0) 的值域为( A. [? , ??) 8.要得到函数 y ? sin A.向左平移

1 4

B. [ , ??)

?x
2

1 2

C. [0, ??)

D. [ , ??) 的图象( )个单位长度 D.向右平移 1 )

的图象,只需将函数 y ? cos

?x
2

1 4

? 2
2

B.向右平移

? 2

C.向左平移 1

9.设函数 f ( x) ? x ? A.1

1 ? a ( x ? 0) , a 为常数且 a ? 2 ,则 f ( x) 的零点个数是( x
B.2 C.3 D. 4

10.已知 ? ABC 内一点 P 满足 AP ? ? AB ? ? AC , ? PAB 的面积与 ? ABC 的面积之比为 1: 若 3,

??? ?

??? ?

??? ?

? PAC 的面积与 ? ABC 的面积之比为 1:4,则实数 ? , ? 的值为(
A. ? ?



1 1 ,? ? 4 3

B. ? ?

1 1 ,? ? 3 4

C. ? ?

2 1 ,? ? 3 3

D. ? ?

3 1 ,? ? 4 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上. 11.设集合 A ? ?1,2? , B ? ?2, a, b? ,若 A ? B ? ?1, 2,3, 4? ,则 a ? b ? 。 。

12.设向量 a , b 满足 a ? (1, ?1) , b ? a ,且 b 与 a 的方向相反,则 b 的坐标为 13.已知 sin ? ,cos ? 是关于 x 的方程 2 x ? 2mx ? 1 ? 0 的两个实根, ? ? (0,
2

?

?

?

?

?

?

?

?

?
2

) ,则实数 m 的值





14.函数 f ( x) ? 1 ?

x ? sin x( x ? R) 的最大值与最小值之和等于 x ?1
2



15.已知函数 f ( x) ? ex ? e? x ( x ? R) ,不等式 et ? f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? (0,1) 恒成立,则实数 。 三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程. 16.(本小题满分 13 分,第⑴小问 8 分,第⑵小问 5 分) 设函数 y ? 2 ? x ? x ? 1 的定义域为 A ,函数 y ? log2 (a ? x) 的定义域为 B 。 ⑴若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; ⑵设全集为 R ,若非空集合 (?R B) ? A 的元素中有且只有一个是整数,求实数 a 的取值范围。

m 的取值范围是

17.(本小题满分 13 分,第⑴小问 8 分,第⑵小问 5 分) 已知 O 点为坐标原点,向量 OA = (3, ?4), OB = (6, ?3) , OC = (5 ? m, ?3 ? m ) 。 ⑴若点 A, B, C 共线,求实数 m 的值; ⑵若 ? ABC 为直角三角形,且 ?A 为直角,求实数 m 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

18.(本小题满分 13 分,第⑴小问 5 分,第⑵小问 8 分) 设函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan( x ?

?
4

) ,且 cos x ? 0,cos x ? sin x ? 0 .

⑴计算 f (? ) 的值;⑵若 f (? ) ? cos ? ? 1, ? ?[0, ? ] ,求 ? 的值。

19.(本小题满分 12 分,第⑴小问 5 分,第⑵小问 7 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, o 为坐标原点, A(sin ? x, cos ? x), B (cos ⑴求证:向量 OA ? OB 与 OA ? OB 互相垂直; ⑵设函数 f ( x) ? ?OA? ( x ? R, ? 为正实数 ) ,函数 f ( x ) 的图象上的最高点和相邻的最低点 OB 之间的距离为 5 ,且 f ( x ) 的最大值为 1,求函数 f ( x ) 的单调递增区间。

?

,sin ), ? ? 0 . 6 6

?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

20.(本小题满分 12 分,第⑴小问 2 分,第⑵小问 4 分,第⑶小问 6 分) 某学习小组在暑期社会实践活动中, 通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现: 该服装在 过去的一个月内(以 30 天计)每件的销售价格 P ( x) (百元)与时间 x (天)的函数关系近似满 足 P( x) ? 1 ?

k (k 为正常数 ) ,日销售量 Q( x) (件)与时间 x (天)的部分数据如下表所示: x

已知第 10 天的日销售收入为 121(百元) 。 ⑴求 k 的值; ⑵给出以下四种函数模型:① Q( x) ? ax ? b ;

x (天)
Q( x) (件)

10 110

20 120

25 125

30 120

② Q( x) ? a x ? 25 ? b ;③ Q( x) ? a ? b x ; ④ Q( x) ? a ? logb x 。请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销 售量 Q ( x) (件)与时间 x (天)的变化关系,并求出该函数的解析式; ⑶求该服装的日销售收入 f ( x)(1 ? x ? 30, x ? N ) 的最小值。

21.(本小题满分 12 分,第⑴小问 3 分,第⑵小问 4 分,第⑶小问 5 分)
2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,且 f (1) ? ?

a 。 2

⑴求证:函数 f ( x ) 有两个不同的零点; ⑵设 x1 , x2 是函数 f ( x ) 的两个不同的零点,求 x1 ? x2 的取值范围; ⑶求证:函数 f ( x ) 在区间(0,2)内至少有一个零点。

高 2015 级数学试题参考答案 一、选择题:1—5:ADCDC;6—10:BADCA
2 二、填空题:11.7; 12. (?1,1) ; 13. 2 ;14.2;15. ? e ? 1, ?? . ?

?

三、解答题: 16.解: (1)由 ?

?2 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 2 ,? A ? [?1, 2] . ?x ?1 ? 0

………3 分

由 a ? x ? 0 得 x ? a ,? B ? (??, a) .

………5 分 ………8 分

? A ? B,? a ? 2 .
(2)? B ? (??, a) ,

??R B ? [a, ??) . ? (?R B) ? A 的元素中有且只有一个是整数,
?1 ? a ? 2 .
17.解: (1)由已知,得

………10 分

………13 分

? ? ??? ??? ??? ? AB = OB - OA = (6, ?3) ? (3, ?4) ? (3,1) , ??? ??? ??? ? ? ? AC = OC ?OA ? (5 ? m, ?3 ? m) ? (3, ?4) ? (2 ? m,1 ? m) .
? A, B, C 共线, ? 3(1 ? m ) ? 2 ? m,

………2 分 ………4 分

………6 分

?m ?

1 . 2

………8 分

(2)由题意知: AB ? AC ,

??? ?

??? ?

………9 分 ………11 分

? 3(2 ? m ) ? (1 ? m) ? 0,

?m ?

7 . 4

………13 分

18.解: (1) f (? ) ? cos 2? ? tan(? ?

?
4

) ? ?1 .

………5 分

(2)? cos x ? 0,cos x ? sin x ? 0,

sin x ?1 tan x ? 1 ? f ( x) ? cos 2 x ? ? (cos 2 x ? sin 2 x) cos x sin x tan x ? 1 ?1 cos x

? ?(cos x ? sin x)2 ? 2sin x cos x ?1 .
由 f (? ) ? 2sin ? cos ? ? 1 ? cos ? ?1,得

………10 分

cos ? (2sin ? ? 1) ? 0 . ?? ?[0, ? ] ,且 cos ? ? 0 ,
? 2sin ? ? 1 ? 0 ,即 sin ? ?

?? ?

?
6



5? . 6

1 , 2

………11 分 ………13 分

19.解: (1)? OA ? (sin ? x, cos ? x), OB ? (cos

??? ?

??? ?

?

??? ? ??? ? ? OA ? 1, OB ? 1.

,sin ) , 6 6
………2 分

?

? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ?(OA ? OB) ) ? (OA ? OB) = OA ? OB ? OA ? OB ? 1 ? 1 ? 0 .…4 分
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?OA ? OB 与 OA ? OB 互相垂直.
OB ? ? (sin ? x cos (2) f ( x) ? ? OA? ??? ??? ? ?
………5 分

?

? cos ? x sin ) ? ? sin(? x ? ) 6 6 6
………7 分 ………8 分

?

?

? f ( x) 的最大值为 1,? ? ? 1 .
设 f ( x ) 的最小正周期为 T, 由条件有

T 2? ? ( 5) 2 ? 22 ? 1, T ? 2, ? ? ?? , 2 T

………10 分

? f ( x) ? sin(? x ? ) . 6
令 2 k? ?

?

?

2

??x?

?

6

? 2 k? ?

?
2

,则 2k ?

2 1 ? x ? 2k ? ( k ? Z ) . 3 3
………12 分

故 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 2k ?

? ?

2 1? , 2k ? ? (k ? z ) . 3 3?

20.解: (1)依题意有: f (10) ? P(10) ? Q(10) , 即 (1 ?

k ) ?110 ? 121 ,所以 k ? 1 . 10

………2 分

(2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调, 故只能选② Q( x) ? a x ? 25 ? b . 从表中任意取两组值代入可求得: ………4 分

Q( x) ? ? x ? 25 ?125 ? 125 ? x ? 25 .
(3)? Q( x) ? 125 ? x ? 25 ? ?

………6 分

?100 ? x,(1 ? x ? 25) , ?150 ? x.(25 ? x ? 30)

? 100 ? x ? x ? 101, (1 ? x ? 25) ? ? f ( x) ? ? . ?150 ? x ? 149.(25 ? x ? 30) ? x ?
①当 1 ? x ? 25 时, x ?

………8 分

100 在 [1,10] 上是减函数,在 [10, 25) 上是增函数, x
………10 分

所以,当 x ? 10 时, f ( x)min ? 121 (百元) . ②当 25 ? x ? 30 时,

150 ? x 为减函数, x
………11 分 ………12 分

所以,当 x ? 30 时, f ( x)min ? 124 (百元) . 综上所述:当 x ? 10 时, f ( x)min ? 121 (百元) .

21.解: (1)证明:? f ? 1? ? a ? b ? c ? ?

a , 2
……1 分

3 3 ? c ? ? a ? b. ? f ? x ? ? ax 2 ? bx ? a ? b. 2 2
对于方程 f ? x ? ? 0, 判别式 ? ? b ? 4a ? ?
2

2 ? 3 ? a ? b ? ? b2 ? 6a 2 ? 4ab ? ? 2a ? b ? ? 2a 2 , ……2 分 ? 2 ?

又? a ? 0,

? ? ? 0 恒成立.
故函数 f ? x ? 有两个不同的零点. ……3 分

(2)由 x1 , x2 是函数 f ? x ? 的两个不同的零点, 则 x1 , x2 是方程 f ? x ? ? 0 的两个根.

b b 3 ? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? ? . a a 2

……5 分
2 2

? x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?
?

2

? b? ? b 3? ?b ? ? 4 x1 x2 ? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2. ? a? ? a 2? ?a ?
……7 分

故 x1 ? x2 的取值范围是 ? 2, ?? ). (3)证明:? f ? 0? ? c, f ? 2? ? 4a ? 2b ? c, 由(1)知: 3a ? 2b ? 2c ? 0,

? f ? 2 ? ? a ? c.
(i)当 c>0 时,有 f ? 0? ? 0, 又? a ? 0,

……9 分

? f ? 1? ? ?

a ? 0, 2
……10 分

? 函数 f ? x ? 在区间(0, 1)内至少有一个零点.
(ii)当 c ? 0 时, f ? 2? ? a ? c ? 0, f ?1? ? 0,

? 函数 f ? x ? 在区间(1,2)内至少有一个零点.

……11 分

综上所述,函数 f ? x ? 在区间(0,2)内至少有一个零点. ……12 分


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