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山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学试题


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山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 5 页.考试时间 120 分 钟.满分 150 分.答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填 写在答题纸规定的位置.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) i ? z ? 1 ? z ,则 z ? 1.复数 z 满足 (A) 1+i (B) 1 ? i (C) ?

1 i ? 2 2

(D)

1 i ? 2 2

2.已知 R 为全集, A ? {x | (1 ? x)( x ? 2) ? 0} ,则 CR A ? (A) {x | x ? ?2或x ? 1} (C) {x | ?2 ? x ? 1} (B) {x | x ? ?2或x ? 1}

(D) {x | ?2 ? x ? 1} ? ? ? ? ? 3.已知 a ? (1,2), 2a ? b ? (3,1) ,则 a ? b ? (A) 2 (B) 3 (C) 4
频率 组距

(D) 5

4.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直 方图如图所示,据图估计,样本数据在

?8,10? 内的频数为
(A) 38 (C) 76 (B) 57 (D) 95

0.15

0.09 0.05

5. {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,

0.02 2 4 6 8 10 12 样本数据

a7 ? 5,S7 ? 21 则 S10 ? ,
(A) 40 (B) 35 (C) 30 (D) 28

(第 4 题图)

6.函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ), (| ? |? 上的最小值为 (A) ?

?
2

) 向左平移

? ? ?? 个单位后是奇函数,则函数 f ( x) 在 ?0, ? 6 ? 2?

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

1

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 7.已知三个数 2,m, 8 构成一个等比数列,则圆锥曲线 m 2
(A)

2 2

(B) 3
2 2

(C)

2 或 3 2

(D)

6 2 或 2 2

8.若直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2) ? y ? 1的两个交点关于直线 2 x ? y ? b ? 0 对称,则 k , b 的值 分别为 (A) k ?

1 1 1 1 , b ? ?4 (B) k ? ? , b ? 4 (C) k ? , b ? 4 (D) k ? ? , b ? ?4 2 2 2 2

9.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积不可能是 (A) 1 (C) 2 (B) 1.5 (D) 3 2
俯视图 (第 9 题图) 主视图 左视图

10.已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 ? 2a, a ? 1) ,且 f ( x ? 1) 为 偶函数,则实数 a 的值可以是 (A)

2 3

(B) 2

(C) 4

(D) 6

11.从 0,1, 2,3, 4,5 ,六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位奇数,有 多少种取法 (A) 72 (B) 84 (C) 144 (D) 180 12.对于函数 f ( x) ,如果存在锐角 ? 使得 f ( x) 的图象绕坐标原点逆时针旋转角 ? ,所得曲 线仍是一函数,则称函数 f ( x) 具备角 ? 的旋转性,下列函数具有角 (A) y ? x (B) y ? ln x (C) y ? ( ) x

?
4

的旋转性的是

1 2

(D) y ? x2

2

第Ⅱ卷(非选择题
注意事项:

共 90 分)

1. 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如 需改动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案. 2. 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 3. 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. ( ?

x 2
1 0

3

1 8 ) 的展开式中,常数项为___________. x

14.

?

(e x ? 2 x)dx ? ____________________.
x 的最大值为_________________. x ?4
2

15.已知 x ? 0 ,则

16.已知 f ( x) ? ?

?| lg x |, x ? 0 ?2
| x|

,x ?0

,则函数 y ? 2 f ( x) ? 3 f ( x) ? 1的零点的个数为_______个.
2

三、解答题(本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , A, B 为锐角且 B ? A ,sin A ? 角

5 , 5

3 sin 2 B ? . 5
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 b ? c ? 5 ? 1 ,求 a, b, c 的值. 18. (本小题满分 12 分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了高中生安全知识与 安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛.先将 所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分 布表.

3

分数(分数段) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合 计

频数(人数)

频率

9

x
0.38

y
16

0.32

z p

s

1

(Ⅰ)求出上表中的 x, y, z , s, p 的值; (Ⅱ)按规定,预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式 决定出场顺序.已知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛资格. ①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率; ②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? , a1 ? ?5 , a2 ? ?2 ,记 A(n) ? a1 ? a2 ? ? ? an , B(n) ? a2 ? a3
* ,若对于任意 n ? N ,A(n) ,B (n) , ( n) C ?? ? an?1 ,C (n) ? a3 ? a4 ??+an?2( n ? N * )

成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 求数列 ?| an |? 的前 n 项和. 20.(本小题满分 12 分) 三棱锥 P ? ABC ,底面 ABC 为边长为 2 3 的正三角形,平面 PBC ? 平面 ABC ,

PB ? PC ? 2 , D 为 AP 上一点, AD ? 2 DP , O 为底面三角形中心.
(Ⅰ)求证 DO ∥面 PBC ; (Ⅱ)求证: BD ? AC ; (Ⅲ)设 M 为 PC 中点,求二面角 M ? BD ? O 的余弦值. A O B D

P

C

4

21.(本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 在点 (3, f (3)) 处的切线方程为 12 x ? 2 y ? 27 ? 0 ,且对任意 的 x??0, ??? , f ?( x) ? k ln( x ? 1) 恒成立. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求实数 k 的最小值; (Ⅲ)求证: 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 2 ( n ? N * ). 2 3 n

22.(本小题满分 13 分) 已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,过点 M (2, 4) 作圆的两条切线,切点分别为 A1 、 A2 ,直线

A1 A2 恰好经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点. a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 AB 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 垂直于 x 轴的一条弦, AB 所在直线的方程 a2 b2

为 x ? m(| m |? a 且 m ? 0), P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点,直线 AP 、 BP 分别交定直

???? ??? ? a2 线l : x ? 于两点 Q 、 R ,求证 OQ ? OR ? 4 . m

R

y

A
P Q O

x

B

5

高三理科数学参考答案
一、选择题

C C D C A ,A C A D B , B C
二、填空题 13. 7 14.

e?2

15.

1 4

16. 5

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ A 为锐角, sin A ?

5 1 2 ∴ cos A ? 1 ? ? 5 5 5

--------------2 分

∵ B ? A , sin A ?

5 2 ? ? ,∴ B ? 45 5 2

--------------3 分

∵ sin 2 B ?

9 4 3 ? ,∴ cos 2 B ? 1 ? 5 25 5
1 1 ? cos 2B 3 ? , sin B ? 2 10 10
--------------4 分

∴ cos B ?

cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ?
∴ C ? 135
?

2 3 1 1 2 ? ? ? ?? 2 5 10 5 10
--------------6 分

(Ⅱ)由正弦定理

a b c ? ? ?k sin A sin B sin C
1 2 + )k ,解得 k ? 10 10 2

--------------8 分

∴ b ? c ? 5 ? 1=(

--------------10 分

∴ a ? 2, b ? 1, c ? 5. 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知, x ? 0.18, y ? 19, z ? 6, s ? 0.12, p ? 50 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共 6 人, ①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件 A , 则 P( A) ?
5 1 1 4 A5 +A4 A4 A4 7 ? 6 A6 10

--------------12 分

--------------3 分 --------------4 分

6

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为 ②随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2
4 A32 A4 1 P( X ? 0) ? 6 ? , A6 5 1 1 1 4 C2 A3 A3 A4 3 ? , 6 A6 5 4 A32 A4 1 ? , 6 A6 5

7 . 10

--------------6 分 --------------7 分

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

--------------10 分

随机变量 X 的分布列为:

X
P

0 1 5

1 3 5

2 1 5
--------------11 分

1 3 1 ? 1? ? 2 ? =1 , 5 5 5 所以随机变量 X 的数学期望为 1 .
因为 EX ? 0 ? 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)根据题意 A(n) , B (n) , C ( n) 成等差数列 ∴ A(n)+C (n) ? 2B(n) ∴数列 ?an ? 是首项为 ?5 ,公差为 3 的等差数列 ∴ an ? ?5 ? 3(n ?1) ? 3n ? 8 (Ⅱ) | an |? ? 整理得 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? ?2 ? 5 ? 3

--------------12 分

--------------2 分 --------------4 分 --------------6 分 --------------8 分

记数列 ?| an |? 的前 n 项和为 Sn .

??3n ? 8, n ? 2 ?3n ? 8, n ? 3

n(5 ? 8 ? 3n) 3n2 13 ?? ? n 2 2 2 (n ? 2)(1 ? 3n ? 8) 3n2 13 ? ? n ? 14 当 n ? 3 时, Sn ? 7 ? 2 2 2 ? 3 2 13 ?? 2 n ? 2 n n ? 2 ? 综上, S n ? ? --------------12 分 3 2 13 ? n ? n ? 14 n ? 3 ?2 ? 2
当 n ? 2 时, Sn ? 20.(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连结 AO 交 BC 于点 E ,连结 PE . ? O 为正三角形 ABC 的中心,∴ AO ? 2OE ,

7

且 E 为 BC 中点.又 AD ? 2 DP , ∴ DO ∥ PE , --------------2 分 P D M

z

? DO ? 平面 PBC , PE ? 平面 PBC ∴ DO ∥面 PBC . --------------4 分
(Ⅱ)? PB ? PC ,且 E 为 BC 中点, ∴ PE ? BC , 又平面 PBC ? 平面 ABC , ∴ PE ? 平面 ABC , --------------5 分

x

A

C O E B

由(Ⅰ)知, DO ∥ PE , ∴ DO ? 平面 PBC , ∴ DO ? AC --------------6 分 BO ,则 AC ? BO ,又 DO ? BO ? O , 连结 ∴ AC ? 平面 DOB ,∴ AC ? BD .--------------8 分

y

(Ⅲ) (Ⅰ) Ⅱ) EA, EB, EP 两两互相垂直, E 为 BC 中点, 由 ( 知, 且 所以分别以 EA, EB, EP 所 在 直 线 为 x, y , z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 如 图 , 则

2 3 1 A(3,0,0), B(0, 3,0), P(0,0,1),D(1,0, ), C (0, ? 3,0), M (0, ? , ) ------------9 分 3 2 2
∴ BM ? (0, ?

???? ?

? 3 3 1 ??? 2 , ), DB ? (?1, 3, ? ) 2 2 3

? 2 ? ? ??? n ? DB ? ? x ? 3 y ? z ? 0 ? ?? ? 3 ? 设平面 BDM 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? , ? ???? ? 3 3 1 ?n ? BM ? ? y? z ?0 ? ? 2 2 ? 令 y ? 1 ,则 n ? (? 3,1,3 3) . --------------10 分
由 ( Ⅱ ) 知 AC ? 平 面 D B O, ∴ AC ? (?3, 3, 为 平 面 D B O的 法 向 量 , ∴ ? 0)

??? ?

? ??? ? ? ??? ? n ? AC 3 3? 3 31 ? , cos ? n, AC ?? ? ??? ? ? 31 | n || AC | 3 ? 1 ? 27 ? 9 ? 3
由图可知,二面角 M ? BD ? O 的余弦值为 21. (本小题满分13分) 解: (Ⅰ)将 x ? 3 代入直线方程得 y ? ?

31 . 31

--------------12 分

9 9 ,∴ 27 a ? 9b ? ? ① --------------1 分 2 2
--------------2 分

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx, f ?(3) ? ?6 ,∴ 27 a ? 6b ? ?6 ②

8

①②联立,解得 a ? ? , b ? ∴ f ( x) ? ?

1 3

1 2
--------------3 分

1 3 1 2 x ? x 3 2

(Ⅱ) f ?( x)= ? x2 ? x ,∴ ? x2 ? x ? k ln( x ? 1) 在 x??0, ??? 上恒成立; 即 x2 ? x ? k ln( x ? 1) ? 0 在 x??0, ??? 恒成立; 设 g ( x) ? x2 ? x ? k ln( x ? 1) , g (0) ? 0 , ∴只需证对于任意的 x??0, ??? 有 g ( x) ? g (0) --------------5 分 --------------4 分

g ?( x) ? 2 x ? 1 ?

k 2x2 ? x ? k ?1 ? , x ? ? 0, ?? ? x ?1 x ?1

设 h( x) ? 2 x2 ? x ? k ?1 , 1)当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0 ,即 k ?

9 时, h( x) ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0 8
--------------6 分

g ( x) 在 ?0,??? 单调递增,∴ g ( x) ? g (0)
2)当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0 ,即 k ? 由 x1 ? x2 ? ?

9 2 时,设 x1 , x2 是方程 2 x ? x ? k ? 1 ? 0 的两根且 x1 ? x2 8

1 ,可知 x1 ? 0 , 2

分析题意可知当 x2 ? 0 时对任意 x??0, ??? 有 g ( x) ? g (0) ;

9 8 k 的最小值为 1 . 综上分析,实数
∴ k ? 1 ? 0, k ? 1 ,∴ 1 ? k ?

--------------7 分 --------------8 分

2 2 (Ⅲ)令 k ? 1 ,有 ? x ? x ? ln( x ? 1), 即 x ? x ? ln( x ? 1) 在 x??0, ??? 恒成立;

--------------9 分 令x? ∴

1 1 1 1 1 ,得 ? 2 ? ln( ? 1) ? 2 ? ln(n ? 1) ? ln n n n n n n

--------------11 分

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (ln 2 ? ln1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? (ln( n ? 1) ? ln n) 2 3 n 2 3 n 1 1 1 =1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ln(n ? 1) 2 3 n 1 1 1 ? 1? ? ?? ? ? ln(n ? 1) 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 1 ? 2 ? ? ln(n ? 1) ? 2 ? ln(n ? 1) n
9

∴原不等式得证. 22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 观察知, x ? 2 是圆的一条切线,切点为 A (2,0) , 1 设 O 为圆心,根据圆的切线性质, MO ? A A2 , 1 所以 k A1 A2 ? ?

--------------13 分

--------------1 分 --------------2 分

1 kMO

1 ?? , 2
1 ( x ? 2) . 2

--------------3 分

所以直线 A1 A2 的方程为 y ? ?

--------------4 分 --------------5 分 --------------6 分

线 A1 A2 与 y 轴相交于 (0,1) ,依题意 a ? 2, b ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 4 x2 (Ⅱ) 椭圆方程为 ? y 2 ? 1 ,设 P( x0 , y0 ), A(m, n), B(m,?n), 4
所求椭圆的方程为
2 2 2 2 则有 x0 ? 4 y0 ? 4 ? 0 , m ? 4n ? 4 ? 0

--------------7 分

在直线 AP 的方程 y ? n ?

n ? y0 4 ( x ? m) 中,令 x ? ,整理得 m m ? x0


yQ ?

(m2 ? 4) y0 ? (4 ? mx0 )n . m(m ? x0 )

(m2 ? 4) y0 ? (4 ? mx0 )n 同理, yR ? . m(m ? x0 )
2 ① ? ②,并将 y0 ? 1 ?



--------------9 分

1 2 2 1 x0 , n ? 1 ? m 2 代入得 4 4

yQ ? y R ?

2 (m2 ? 4)2 y0 ? (4 ? mx0 )2 n2 m2 (m ? x0 )2

(m 2 ? 4) 2 ? (1 ?
=

1 2 1 x0 ) ? (4 ? mx0 ) 2 ? ( m 2 ? 1) (m2 ? 4)(m ? x0 )2 (m 2 ? 4) 4 4 = = . m 2 (m ? x0 ) 2 m2 m2 (m ? x0 )2
--------------11 分

而 OQ ? OR ? ?

???? ??? ?

m 2 ? 12 12 ?4 ? ?4 ? 16 =1+ 2 , yQ ? ? ? , yR ? ? 2 ? yQ ? yR = 2 m m ?m ? ?m ? m
12 ?3 m2

--------------12 分

2 ∵ | m |? 2 且 m ? 0 ,∴ 0 ? m ? 4,

10

∴ OQ ? OR ? 4

???? ??? ?

--------------13 分

11



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