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人教A版高中数学必修四课件:第三章3-1-3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式

第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 [学习目标] 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式 导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联 系(重点). 2.灵活运用二倍角公式及其不同变形,能正 用、逆用公式,进一步体会化归思想的应用(重点、难点). [知识提炼· 梳理] 倍角公式 三角函数 二倍角的 正弦 公式 sin 2α=2sin_αcos_α 简记 S2α 二倍角的 cos 2α=cos2 α-sin2α= 余弦 2cos α-1=1-2sin α 2 2 C2α 二倍角的 正切 2tan α tan 2α= 1-tan2 α T2α [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任 意角.( ) ) ) (2)存在角 α,使得 sin 2α=2sin α 成立.( (3)对于任意的角 α, cos 2α=2cos α 都不成立. ( 答案:(1)× (2)√ (3)× 2.sin 22°30′· cos 22°30′的值为( 2 A. 2 2 B. 4 2 C.- 2 ) 1 D. 2 1 2 解析:原式= sin 45°= . 2 4 答案:B ?π ? 3.已知 α∈?2,π?,sin α= ? ? 5 ,则 tan 2α=( 5 4 C.- 3 5 , 5 4 D. 3 ) 2 A.- 3 1 B. 2 ?π ? 解析:因为 α∈?2,π?,sin α= ? ? 2 5 1 所以 cos α=- ,tan α=- , 5 2 ? 1? 2×?-2? 2tan α 4 ? ? 所以 tan 2α= = ? ? =- . 2 3 1-tan α 1-?-1?2 ? 2? 答案:C 1 4. 已知 sin x= ,则 cos 2x 的值为________. 4 解析:cos 2x=1-2sin 7 答案: 8 2 ?1?2 1 7 x=1-2×?4? =1- = . 8 8 ? ? 5. =________. π 1-tan2 8 π 2tan 8 π 1-tan 8 2 π 3tan 8 3 解析:原式= × 2 3 ? π? 3 π 3 = tan?2×8?= tan = . 2 ? 4 2 ? 2 3 答案: 2 类型 1 化简与求值 [典例 1] 求下列各式的值: π π π (1)sin ·cos ·cos ; 24 24 12 (2)1-2sin2 750°; π (3)tan - 12 1 π tan 12 . π π? 1? π 1 π ? ? 解:(1)原式= 2sin 24cos 24 ·cos = sin ·cos 2? 12 2 12 ? π π? 1 π 1 π 1? = ?2sin 12·cos 12? = sin = . 12 4? 4 6 8 ? (2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°= 1 cos(4×360°+60°)=cos 60°= . 2 π 2 π tan -1 1-tan 12 12 (3)原式= =-2× = π π tan 2tan 12 12 2 -2 -2× = =-2 3. π 3 tan 6 3 1 归纳升华 应用二倍角公式化简与求值的方法 1.化简与求值应关注四个方向:分别从“角”“函 数名”“幂”“形”着手分析,消除差异. 2.公式逆用:主要形式有 2sin αcos α=sin 2α,sin sin 2α 1 αcos α=2sin 2α,cos α= ,cos2α-sin2α=cos 2 2sin α α, =tan 2α. 1-tan2α 2tan α α 4 α [变式训练] (1)化简 cos -sin =________; 2 2 4 (2)求值:sin 10°sin 50°sin 70°. α 4 α (1)解析:cos -sin = 2 2 4 ? 2 ?cos ? ?? 2 α ? α 2 α 2 α -sin ??cos +sin ?=cos α. 2 2 ?? 2 2? 答案:cos α (2)解:原式=cos 20°cos 40°cos 80°= 2sin 20°cos 20°cos 40° cos 80° 2sin 20° 2sin 40°cos 40°cos 80° = 4sin 20° 2sin 80°cos 80° 8sin 20° = = sin 160° sin 20° 1 = = . 8sin 20° 8sin 20° 8 类型 2 条件求值 [典例 2] (2015· 广东卷)已知 tan α=2. ? π? (1)求 tan?α+4?的值; ? ? sin 2α (2)求 2 的值. sin α+sin αcos α-cos 2α-1 π tan α+tan ? ? 4 π ? ? 解:(1)tan α+4 = = π ? ? 1-tan αtan 4 =-3. 1-2×1 sin 2α (2) 2 = sin α+sin αcos α-cos 2α-1 2sin αcos α = 2 2 sin α+sin αcos α-(2cos α-1)-1 2+1 2sin αcos α 2tan α = = 2 2 2 sin α+sin αcos α-2cos α tan α+tan α-2 =1. 2 +2-2 2 2×2 归纳升华 1.给值求值问题求解的要点是利用公式建立已知式 子和所求式子之间的联系. 2.注意从角、函数名称、幂、形式等几个方面着手 寻求解题思路. 1 [变式训练] (1)(2016· 全国Ⅲ卷)若 tan θ =- ,则 3 cos 2θ =( 4 A.- 5


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