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2019-2020学年高三数学二轮复习 专题6 三角恒等变换与解三角形导学案.doc

2019-2020 学年高三数学二轮复习 专题 6 三角恒等变换与解三角形导学案
班级 一、前测训练 π 1 π 1.(1)已知 cos(α + )= ,α ∈(0, ),则 cosα = 6 3 2 = . 1 1 1 答案: ( 3+2 2) ; ; (2 2 - 3 ) 6 3 6 π 3 17π 7π sin 2 x ? 2 sin x (2)已知 cos( +x)= , <x< ,则 = 4 5 12 4 1 ? tan x
2

姓名 π ;sin(α + )= 3 π ; ,cos(2α + ) 6



28 答案: 75 (3)

2 sin 50? ? sin 80? (1 ? 3 tan10? ) 1 ? cos10?





答案:2

sin 2? ? cos ? π 1 (4)已知 tan( +?)= .则 = 4 2 1 ? cos 2?
2



5 答案:- 6 2. (1)在△ABC 中, b= 3, B=60°, c=1, 则 C= 答案:30 ;2 (2)在△ABC 中,A=120 ,a=7,b+c=8,则 b= 答案:3 或 5;5 或 3 (3) 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? ,则 BC= 答案:8 2 3.(1)在△ABC 中,acosA=bcosB,则△ABC 的形状为 答案:等腰或直角三角形 (2) 在△ABC 中,sinA=2cosBsinC,则△ABC 的形状为 答案:等腰三角形 二、方法联想 1.三角变换基本想法 (1)角:观察角的联系,实现角的统一. (2)名:弦切互化,异名化同名. 形:公式变形与逆用. 幂:平方降幂,根式升幂. 解题前先观察角的联系,分析角的变化,实现角的统一,从而决定解题方向,再结合三角函数名、公 式的变形、幂的升降,做出公式的选择. . . .
0 0

; a=



;c=



注意 判断角的范围,确定三角函数值的正负或角的值.若在已知范围内不能确定时,利用三角函数 值的正负或大小来缩小角的范围. 2.三角形中边角计算 方法 正、 余弦定理的本质是六个量中四个量可以建立一些关系式, 如涉及三边一角考虑用余弦定理, 两边两角考虑用正弦定理. 3.边角转化、角角转化 方法 关于含有边角的关系式,利用(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 或(2)cosA=

b2+c2-a2 等 2bc

进行边角互化,即边化角或角化边. 方法 角角转化,即利用 A+B+C=π 消元实现三角化两角,若已知一个角,可以将两角化一角. 三、例题分析 [第一层次] 例 1、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的大小. 4 sin C 解 (1) =2. sin A
(1)求 (2) b=2. 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 边角互化问题 ①利用 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 将边化为角;②利用 cosA= ③ccosB+bcosC=a 等化角为边. 方法选择与优化建议:

b2+c2-a2 等将余弦化为边; 2bc

cos A-2 cos C 2c-a = 的右边,我们可以选择方法①,化变为角,推导出 sin C ? 2sin A ; cos B b b2+c2-a2 cos A-2 cos C 2c-a = 2、利用 cosA= 等将等式 的左边余弦化为边来做,运算量较大,所以 2bc cos B b
1、对于等式 不选择方法②. 3、等式 法③. (2)主要问题归类与方法: 求边长 ①利用正弦定理求边; ② 利用余弦定理求边. 方法选择与优化建议: 因为从第一问已经可以得到 c=2a,又 a+b+c=5,所以三边可以转化为只含有一个未知量 b,利用减 元消元解方程的方法解决问题,因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便. 例 2 已知函数 f(x)=2 cos x+2 3sinx cosx. (1)求函数 f(x)在[- , ]上的值域; 6 3
2

cos A-2 cos C 2c-a = 可以化为 bcosA+acosB=2(bcosC+ccosB),即 c=2a, ,所以可以选择方 cos B b

? ?

(2)在△ABC 中,若 f(C)=2,2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),求 tanA 的值. 解 3+ 3 ? ? (1)函数 f(x)在[- , ]上的值域为[0,3]. (2) tanA= . 6 3 2

〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 将已知函数转化为函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+b 的形式,使此函数变为只含有一个三角名称的一次三 角函数. 方法选择与优化建议: 平方降幂,将 2 次变为 1 次;角统一,化为只含有一个角的三角函数;注意利用角的范围来确定函 数的值域,防止学生求值域时只是代入两个端点. (2)主要问题归类与方法: 三角形中求某一个角的三角函数值,①正弦定理 ②余弦定理 ③三角恒等变形 方法选择与优化建议: 本题没有边的的条件,所以方法①②不作考虑;注意到角 C 已知,又 A+B+C=π ,因此本题可化为 只有一个只有未知角 A;利用第第二个条件 2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),化为只有一个未知量角 A 的 方程解决. 例 3 如图所示,在半径为 2、圆心为 45 ? 的扇形 AB 弧上任取一点 P,作扇形的内接平行四边形 PNMQ,使 点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,设∠BOP=θ ,平行四边形 PNMQ 的面积为 s. (1)求这 s与? 之间的函数关系; (2)求 s 的最大值及相应的 ? 的值.

解 S=



1

) =

(2cos ? ? 2sin ? ) ? 2sin ?

4sin ? cos ? ? 4sin 2 ? , ? ? (0, ) 4
(2)当 ? ?

?

?

8

时, smax ? 2 2 ? 2

〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: ①平行四边形 PNMQ 的面积=MN·QMsin∠QMN;②平行四边形 PNMQ 的面积=MN·h(h 为 MN 边上的高) 方法选择与优化建议: MN、QM、∠QMN 不好表示,所以方法①不作选择; 方法②实际上就是分别过点 P、Q 作 PD ? OB,QE ? OB 垂足分别为 D、E,将平行四边形 PNMQ 转化为 矩形 PDEQ,这个问题就可以仿照苏教版《数学》 (必修 4)中的习题解法求解. (2)主要问题归类与方法: 转化为函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+b 的形式,此函数只含有一个三角函数. 方法选择与优化建议: 化为只含有一个角的一次三角函数;注意利用角的范围来确定函数的值域,防止学生求值域时只是 代入两个端点.

[第二层次] 例 1、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的大小. 4 sin C 解 (1) =2. (2) b=2. sin A
(1)求 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 边角互化问题 ①利用 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 将边化为角;②利用 cosA= ③ccosB+bcosC=a 等化角为边. 方法选择与优化建议:

b2+c2-a2 等将余弦化为边; 2bc

cos A-2 cos C 2c-a = 的右边,我们可以选择方法①,化变为角,推导出 sin C ? 2sin A ; cos B b b2+c2-a2 cos A-2 cos C 2c-a = 2、利用 cosA= 等将等式 的左边余弦化为边来做,运算量较大,所以 2bc cos B b
1、对于等式 不选择方法②. 3、等式 法③. (2)主要问题归类与方法: 求边长 ①利用正弦定理求边; ② 利用余弦定理求边. 方法选择与优化建议: 因为从第一问已经可以得到 c=2a,又 a+b+c=5,所以三边可以转化为只含有一个未知量 b,利用减 元消元解方程的方法解决问题,因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便. 例 2 已知函数 f(x)=2 cos x+2 3sinx cosx. (1)求函数 f(x)在[- , ]上的值域; 6 3 (2)在△ABC 中,若 f(C)=2,2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),求 tanA 的值. 3+ 3 ? ? (1)函数 f(x)在[- , ]上的值域为[0,3]. (2)tanA= . 6 3 2 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 解 将已知函数转化为函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+b 的形式,使此函数变为只含有一个三角名称的一次三 角函数. 方法选择与优化建议: 平方降幂,将 2 次变为 1 次;角统一,化为只含有一个角的三角函数;注意利用角的范围来确定函 数的值域,防止学生求值域时只是代入两个端点. (2)主要问题归类与方法:
2

cos A-2 cos C 2c-a = 可以化为 bcosA+acosB=2(bcosC+ccosB),即 c=2a, ,所以可以选择方 cos B b

? ?

三角形中求某一个角的三角函数值,①正弦定理 ②余弦定理 ③三角恒等变形 方法选择与优化建议: 本题没有边的的条件,所以方法①②不作考虑;注意到角 C 已知,又 A+B+C=π ,因此本题可化为 只有一个只有未知角 A;利用第第二个条件 2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),化为只有一个未知量角 A 的 方程解决. 例 3、已知△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S . (1)求 tan 2 A 的值; (2)若 B ? 解

?
4

, CB ? CA ? 3 ,求△ABC 的面积 S .

(1) ? tan 2 A ?

2 tan A 4 ?? . 2 3 1 ? tan A

(2) 3. 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 向量的数量积表示有两种方法,①是数量积的定义,②是数量积的坐标表示. 方法选择与优化建议: 本题中没有涉及到向量的坐标,同时还需要表示三角形的面积,所以选择方法①. (2)主要问题归类与方法: 求三角形的面积问题 计算三角形的面积需要三个条件,①已知两条边一夹角;②已知三条边;③已知一条边以及此边上的 高等等. 方法选择与优化建议: 已经知道了两个角一条边,以上的三个方法都可以解决问题,但相对而言,方法①的运算量较小. [第三层次] 例 1、已知 α ,β ∈(0,π ),且 tanα =2,cosβ =- (1)求 cos2α 的值; (2)求 2α -β 的值. 3 解 (1)cos2α =- . 5 π (2) 2α -β =- . 4 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 问题 1、cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α 问题 2、由于 cos2α =cos α -sin α , 这可以化为 tanα 的齐次式. 方法选择与优化建议: 对于问题 1,选择以上三个公式中的任何一个都可以,但在从 α ∈(0,π ),tanα =2 求 cosα 、sinα 时要注意判断它们的符号. cos α -sin α 1-tan α 2 2 对于问题 2,os2α =cos α -sin α = = 2 ,处理起来更加便捷. 2 2 sin α +cos α tan α +1 (2)主要问题归类与方法: 求角的问题 求角就需要选择一个关于 2α -β 的三角函数,它可以是正弦、余弦,也可以是正切,关键在于这个
2 2 2 2 2

7 2 . 10

三角函数值可以求。另外,2α -β 的范围不仅影响角的结果,也影响着选择正弦、余弦、正切中的哪个 三角函数. 方法选择与优化建议: π π 通过推理, 我们得到 2α -β ∈(- , ), 所以可以选择计算 sin(2α -β )值, 也可以选择计算 tan(2α 2 2 π π -β )的值,但不宜选择计算 cos(2α -β ),因为在(- , )上,正弦函数、正切函数都是单调的,而余 2 2 弦函数却是不单调的.

例 2 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . (1)求 B; (2)若 sin A sin C ? (1) B ? 120 .
0

3 ?1 ,求 C. 4



(2) C ? 150 或 C ? 45 .
0

点评:求角一般要先求值,即求出该角的某一个三角函数值,但求哪一个三角值,要根据条件选择; 由值求角,要注意角的取值范围,有时会有多个角. 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 在三角形中求角的大小 通常①利用正弦定理,利用已知的两边一对角,求另外一个对角;②是利用余弦定理,已知三条边求 任意一个角. 方法选择与优化建议:
2 2 2 条件 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac 可化为 a ? c ? b ? ?ac ,所以选择方法②余弦定理可以直接得到角

B 的大小. (2)主要问题归类与方法: 在三角形中求角的大小
0 0 0 ①由第一问,我们已经得到了 B ? 120 ,所以 A ? C ? 60 , A ? 60 ? C ,代入到条件中去,求解

关于角 C 的方程,利求得角 C 的某个三角函数值; ②从 cos( A ? C ) ? cos 600 ? 大小. 方法选择与优化建议: 方法①代入后化归为 sin(2C ? 300 ) ? 它符合学生的正常思维. 方法②解法简洁,但是学生不太容易想到计算 cos( A ? C ) 的值.

3 ?1 1 ,以及 sin A sin C ? ,可以求得 cos( A ? C ) ,进而得到角 C 的 2 4

3 ,这个解法虽然比较麻烦,但是多数学生会采取这个方法, 2

方法①值得学生选择并掌握. 例 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的大小. 4 sin C 解 (1) =2. (2) b=2. sin A
(1)求 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 边角互化问题 ①利用 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 将边化为角;②利用 cosA= ③ccosB+bcosC=a 等化角为边. 方法选择与优化建议:

b2+c2-a2 等将余弦化为边; 2bc

cos A-2 cos C 2c-a = 的右边,我们可以选择方法①,化变为角,推导出 sin C ? 2sin A ; cos B b b2+c2-a2 cos A-2 cos C 2c-a = 2、利用 cosA= 等将等式 的左边余弦化为边来做,运算量较大,所以 2bc cos B b
1、对于等式 不选择方法②. 3、等式 法③. (2)主要问题归类与方法: 求边长 ①利用正弦定理求边; ② 利用余弦定理求边. 方法选择与优化建议: 因为从第一问已经可以得到 c=2a,又 a+b+c=5,所以三边可以转化为只含有一个未知量 b,利用减 元消元解方程的方法解决问题,因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便. 四、反馈练习

cos A-2 cos C 2c-a = 可以化为 bcosA+acosB=2(bcosC+ccosB),即 c=2a, ,所以可以选择方 cos B b



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