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数学选修2-3~1.2排列3


排列应用题
1.排列的概念和排列数计算公式; 2.元素分析法和位置分析法(特殊优先)、间接法; 3.相邻问题使用捆绑法; 4.不相邻问题使用插空法;

5.定序问题用等机率法(除法)或者对应思想;

练习
1、用0、1、2、3、4、5、6组成满足下 列条件的数各多少个? 1 3 4 3 A A (1) 无重复数字的四位数; 6 ? A6 ; 7 ? A6 3 1 1 2 A (2)无重复数字的四位数偶数;6 ? A3 ? A5 ? A5 (3)无重复数字的四位数且能被5整除;

A ?A ?A
3 6 1 5

2 5

(4)个位数字大于十位数字的四位数.

例3

有5名男生,4名女生排队。

(1)从中选出3人排成一排,有多少

种排法?
A

A
9 9

3 9

(2)全部排成一排,有多少种排法?

(3)排成两排,前排4人,后排5人,
有多少种排法? A
9 9

A ?A
4 9

5 5

注:解有条件限制的排列问题思路: ①正确选择原理; ②处理好特殊元素和特殊位置,先让 特殊元素占位,或特殊位置选元素; ③再考虑其余元素或其余位置; ④数字的排列问题,0不能排在首位

思考题:三个男生和四个女生安下列条 件排成一排有多少种排法? (1) 男生排在一起,女生排在一起; (2) 男女生间隔相排; (3)男生互不相邻; (4)甲乙两人必须相邻.

答案(1) (3)

A ?A ?A
2 2 4 4
4 4 3 5

3 3

(2)
6

A ?A

(4) A6 ? A2
2

4 4

A ? 3A 3

小结:解排列应用题时,没有限制条 件的用直接法。有限制条件的:如限 定特殊元素在特殊位置一般用优限法; 相邻或相連的用捆綁法;不相邻的用 插空法;为运算方便有时也用排除法。

作业:习题10.2 7 8

9

复习

排列:
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素,(2)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列. ?

排列数:

从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的 所有排列的个数, 叫做从 n个不同元素中取出

m个元素的排列数。

复习

排列数公式:
m An

? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) n! ? n?m ( )!
我们规定:0!=1

练习:
求解下列各式的值 4 5 4 A8 ? 2 A8 (1) 8 ?? 5 A8 ? A9
A ?A (2) ?? A ?A
5 8 6 9 4 8 5 9

(3) A

n ?3 2n

?A

n ?1 6

??

1、有5名男生,4名女生排队。
(1)从中选出3人排成一排,有多少种排法? (2)全部排成一排,有多少种排法? (3)排成两排,前排4人,后排5人,有多少种 排法?

2、由数字1、、 4、组成没有重复数字的五位数, 2 3、 5 其中小于50000的偶数共有多少个?

万位

千位

百位

十位

个位

A

1 3

A

3 3

A

1 2

练习: 6个同学排成一排。 ( )甲不站两边的排法有多少种? 1 (2)甲、乙两人都不站两边的排法有几种? (3)甲、乙两人不相邻的排法有几种? (4)甲、乙两人必须排在一起的排法有几种?

注(1)带有限制的排列题,既可以从元素 出发分析,也可以从位置出发分析,还可以 使用排除法。 (2)对于相邻问题用“捆绑法”解决;而不 相邻问题则用“插空法”。

例题选讲

例1 用数字1,2,3,4,5可写出多少个没有重
复数字且小于1000的正整数?

例题选讲

例2

用0到9这十个数字, 可组成多少个没有重 复数字的三位数?
思考:

1.三位奇数呢? 2.三位偶数呢? 3.用0到5这六个数字, 可组成多少个没有
重复数字且能被3整除的三位数?

例题选讲
用1、2、3、4、5组成没有重复数字 的四位数。 (1) 十位数字比个位数字大的数 有多少个? (2) 将这些数字按从小到大的顺 序排列,2351是第几位?

例3

例题选讲
某班一天有数学、语文、物理、英语、 体育、自习六节课,上午上四节,下午上二节课,按 下列要求排课表,分别有多少种不同的排法? (1)第一节不排体育,自习。 (2)体育不排在首末。 (3)数学不排在下午两节,体育不排在一,四节。

例4

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是一 个男孩,三家是一个女孩,现将这七个小孩站成一 排照相留念。 a)若三个女孩要站在一起,有多少种不同的排法?

例5

有条件的排列问题

捆 绑 法

5 A5 种 解:将三个女孩看作一人与四个男孩排队,有 3 A3 种排法,所以不同的排 排法,而三个女孩之间有

5 3 法共有:A5 ? A3 ? 720 (种)。

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 b)若三个女孩要站在一起,四个男孩也 要站在一 起,有多少种不同的排法?

不同的排法有:

2 3 4 (种) A2 ? A3 ? A4 ? 288

说一说

捆绑法一般适用于 相邻 问题。

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
c) 若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?

4 解:先把四个男孩排成一排有A4种排法,在每一排 列中有五个空档(包括两端),再把三个女孩插入 4 3 空档中有A5种方法,所以共有: A4 ? A53 ? 1440 (种) 排法。

2013年8月6日2时26分

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
c) 若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?

插空法

2013年8月6日2时26分

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
d) 若三个女孩互不相邻,四个男孩也互不相邻, 有多少种不同的排法?

说一说

不同的排法共有:

(种) A ? A ? 144
4 4 3 3

插空法一般适用于互不相邻 问题。
2013年8月6日2时26分

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
e) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边,有多少 种不同的排法?
解:A在B左边的一种排 法必对应着A在B右边的 一种排法,所以在全排列 中, A在B左边与A在B右 边的排法数相等,因此有:
1 2

A

B

B

(种) A ? 2520
7 7
2013年8月6日2时26分

A

排法。

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
e) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边,有多少 种不同的排法?

对应思想

A
5 7

B

A ? 2520
2013年8月6日2时26分

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成两排照相留念。
f)若前排站三人,后排站四人,其中的A.B两小孩 必须站前排且相邻,有多少种不同的排法?

B A
2 2 (种),其余人的站法 解:A,B两小孩的站法有: A2 5 2 5 有A5(种),所以共有 2 A2 ? A5 ? 480 (种) 排法。


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