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高三数学一轮复习 离散型随机变量的期望与方差课件 北师大版_图文

10.8 离散型随时机变量的期望与方差 (理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散 型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题) 1.数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ? 则称Eξ=x1p1+x2p2+?+xnpn+?为ξ的数学期望,简称期望. 2.方差: 对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是x1,x2,?, xn,?,且取这些值的概率分别是p1,p2,?,pn,?,那么,Dξ=(x1- Eξ)2·p1+(x2-Eξ)2·p2+?+(xn-Eξ)2·pn+?称为随机变量ξ的均方 差,简称为方差,式中的Eξ是随机变量ξ的期望. 3.期望的性质:E(aξ+b)=aEξ+b. 4.方差的性质:(1)D(aξ+b)=a2Dξ;(2)Dξ=Eξ2-(Eξ)2. 1.设随机变量ξ的取值为1,2,3,4.P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4), 又ξ的数学期望Eξ=3,则a+b=________. 答案: 2. 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利 12%;一 旦失败,一年后将丧失全部资金的 50%. 下表是过去 200例类似项目开发的实 施结果: 投资成功 192次 投资失败 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是________元. 答案:4 760 3.已知 ξ服从二项分布,即ξ~B(100, ),则E(2ξ+3)=________. 解析:由已知Eξ=100× 答案:103 =50,∴E(2ξ+3)=2Eξ+3=103. 4.(长沙市一中高三月考)某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的6位 数N= ,其中N的各位数字中,n1=n6=1,nk(k= ,记ξ=n1+n2+?+n6,问 2,3,4,5)出现0的概率为 ,出现1的概率为 ξ=4时的概率为________,ξ的数学期望是________. 解析:P(ξ=4)= ,ξ的数学期望是 . 2P(ξ=2)+3P(ξ=3)+4P(ξ=4)+5P(ξ=5)+6P(ξ=6)= 答案: 1. 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列 然后利用公式计算. 2.由ξ的期望方差求aξ+b的期望方差是常考题之一,常见根据 期望和方差的性质求解. 【例1】 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员是 A1、A2、A3, B队队员是B1、B2、B3,按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间的胜负概率如下: 对阵队员 A1和B1 A2和B2 A3和B3 现按表中对阵方式出场胜队得1分,负队得0分,设A队,B队最后所得总分 分别为ξ,η A队队员胜的概率 A队队员负的概率 (1)求ξ,η的概率分布;(2)求Eξ,Eη. 解答:(1)ξ,η的可能取值分别为3,2,1,0. P(ξ=3)= P(ξ=1)= 根据题意ξ+η=3,所以 P(η=0)=P(ξ=3)= P(η=2)=P(ξ=1)= (2)Eξ= 因为ξ+η=3,所以Eη=3-Eξ= ,P(η=1)=P(ξ=2)= ,P(η=3)=P(ξ=0)= ; . . , ,P(ξ=2)= ,P(ξ=0)= 变式1.甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率 为0.6.本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛 相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.(精确到 0.000 1) 解答:由已知随机变量ξ的取值为3,4,5, P(ξ=3)=0.63+0.43=0.28; P(ξ=4)= P(ξ=5)= ×0.62×0.4×0.6+ ×0.62×0.42×0.6+ ×0.42×0.6×0.4=0.374 4; ×0.42×0.62×0.4=0.345 6. 因此ξ的概率分布列为: ξ P 3 0.28 4 0.374 4 5 0.345 6 ξ的期望Eξ=3×0.28+4×0.374 4+5×0.345 6=4.065 6. 二项分布的期望和方差除了根据定义去求,可利用公式求解.若ξ~B(n, p),则Eξ=np,Dξ=np(1-p). 【例 2】 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、 19、 20层停靠.若该电梯 在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用 ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求: (1)随机变量ξ的分布列;(2)随机变量ξ的期望. 解答:解法一:(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5. 由等可能性事件的概率公式得 P(ξ=0)= P(ξ=2)= P(ξ=4)= ,P(ξ=1)= ,P(ξ=3)= ,P(ξ=5)= 从而,ξ的分布列为: ξ P 0 1 2 3 4 5 (2)由(1)得ξ的期望为: Eξ= 解法二:(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重 复试验,故ξ~B(5, ),即有P(ξ=k)= ,k=0,1,2,3,4,5. 由此计算ξ的分布列如解法一. (2)Eξ= . 解法三:(1)同解法一或解法二. (2)由对称性与等可能性,在三层的任一层下电梯的人数同分布, 故期望值相等.即3Eξ=5,从而Eξ= . 变式2. 2010年广州亚运组委会向民间招募防暴犬,首先进行入围测试,计划考 查三类问题:①体能;②嗅觉;③反应,这三类问题中只要有两类通过测试, 就可以入围.某驯犬基地有4只优质犬参加测试,已知这4只优质犬通过①类问 题的概率都是 ,通过②类问题的概率都是 . , 通过③类问题的概率都是 (1)求每只优质犬能够入围的概率; (2)若每入围1只优质犬给基地计10分,设基地得分为随机变量ξ,求Eξ. 解答:(1)设通过①类测试为事件A,通过②类、③类分别为B、C, 则由题意知 P=P(A)P(B)P(C


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