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数学物理方法---复变函数


《数学物理方法》课程教材

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序言
将数学思想方法应用于现代高新技术专业 领域,并构建成典型的数学物理模型和解决问 题的方法,从而形成了科学研究中实用性很强 的数学物理方法。数学物理方法既利用了精妙 的数学思想,又联系了具体的研究任务和目标。 脱离了数学思维,具体研究任务就失去了理论 指导方法;脱离了所研究的对象(物理模型), 数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大潜 能。既非数学思想也非物理模型本身能达到尽 善尽美,只有两者的有机结合才能形成推动人 类科学技术赖以发展的动力之源。

柯朗曾经描述:“从17世纪以来,物 理的直观,对于数学问题和方法是富有生 命力的根源,然而近年来的趋向和时尚, 已将数学与物理间的联系减弱了,数学家 离开了数学的直观根源,而集中推理精致 和着重于数学的公设方面,甚至有时忽视 数学与物理学以及其他科学领域的整体性。 而且在许多情况下,物理学家也不再体会 数学家的观点,这种分裂无疑地对于整个 科学界是一个严重的威胁。 科学发展的

洪流可能逐渐分裂成为细小而又细小

的溪渠,以至于干涸,因此有必要引 导我们的努力转向于将许多有特点的 和各式各样的科学事实的共同点及其 相互关联加以阐明,以重新统一这种 分离的趋向” 或许我们今天所应做 的正是柯朗所指出的。数学物理方法 也正是将这种分裂进行重新统一并实 现有机结合的具体体现。

数学物理方法
计 算 机 仿 真 篇 特 殊 函 数 篇 数 学 物 理 方 程 篇 复 变 函 数 篇

数 学 物 理 基 础 篇

第一篇 复变函数论
复变函数论
微分 积分
傅里叶积分变换 拉普拉斯积分变换

平均 解析函数的 无限次可微 性 柯西 莫勒纳定理 不等 式 值公 式

柯西积分定理 柯西积分公式
留数定理 留数和定理
圆域内泰勒 级数 环域内的 罗朗级数 三类 典型 刘维尔定理 最大模原理 实积 分的 计算

辐 角 原 理

保角变换

《复变函数论》 主要内容
? ?

?
?

?
?

第一章、复数与复变函数 第二章、解析函数 第三章、复变函数的积分 第四章、级数 第五章、留数定理 第六章、保角变换

第一章 复数与复变函数
一. 复数 二. 复数的表示 三. 复数的乘幂与方根 四. 区域 五. 复变函数 六. 复变函数的极限 七. 复变函数的连续

复数的发展
?

复数概念的进化是数学史中最奇特的一 个篇章,那就是数系的历史发展完全没 有按照教科书所描述的逻辑连续性。人 们没有等待实数的逻辑基础建立之后, 才去尝试新的征程。在数系扩张的历史 过程中,往往许多中间地带尚未得到完 全认识,而天才的直觉随着勇敢者的步 伐已经到达了遥远的前哨阵地。

复数的引入
早在16世纪,对一元二次、一元三次代数方程求解时就引 入了虚数的基本思想.1545年, 卡丹诺 (Girolamo Cardano, 1501 ~ 1576,意大利数学家)在他的Ars Magna《大术》书中,给 出了虚数的符号和运算法则,但同时也对这种运算的合法性 表示怀疑.卡丹诺对虚数引入的基本思想: 一元三次方程 x ? px ? q ? 0 (其中 p, q 为实数)的求根公 式,通常也叫做卡丹诺 (Cardano)公式:
3

q q p q q p x ? 3 ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? 3 ? ? ( ) 2 ? ( )3 2 2 3 2 2 3

可以证明当有三个不同的实根时,若要用公 式法来求解,则不可能不经过负数开方(参考: 范德瓦尔登着《代数学》,丁石孙译, 科学出版社, 1963年). 至此,我们明白了这样的事实,此方程 根的求得必须引入虚数概念. ? 卡丹诺公式出现于十七世纪,那时虚数的地 位就应确定下来,但对虚数的本质还缺乏认 识.“虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家 笛卡儿(Descartes)正式取定的.“虚数”代表 的意思是“虚假的数”,“实际不存在的数”, 后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界 之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣.
?

十八世纪,瑞士数学家欧拉(Leonhard· Euler, 1707-1783 )试图进一步解释虚数到底是什么数, 他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的 数”. 他在《对代数的完整性介绍》(1768-1769年 在俄国出版,1770年在德国出版)一书中说:因为 所有可以想象的数或者比零大,或者比零小,或 者等于零,即有序数. 所以很清楚,负数的平方根 不能包括在可能的有序数中,就其概念而言它应 该是一种新的数,而就其本性来说它是不可能的 数. 因为它们只存在于想象之中.因而通常叫做虚数 或幻想中的数,于是Euler首先引入符号作为虚数 单位.

十八世纪末至十九世纪初,挪威测量学 家Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘 (Argand)以及德国的数学家高斯 (Gauss)等都对“虚数”(也称为“复 数”)给出了几何解释,并使复数得到了实 际应用. 特别地, 在十九世纪,有三位代表性人物, 即柯西(Cauchy,1789-1857)、维尔斯 特拉斯(Weierstrass,1815-1897)、黎 曼(Rieman,1826-1866).柯西和维尔斯 特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数, 黎曼研究复变函数的映像性质,经过他们的 不懈努力,终于建立了系统的复变函数论.

自从有了复变函数论,实数领域中的禁 区或不能解释的问题,比如: ? 负数不能开偶数次方; ? 负数没有对数; ? 指数函数无周期性; ? 正弦、余弦函数的绝对值不能超过1; …… 等已经不复存在.

?

数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱, 便会产生无可估量的创造力.哈密顿的四元 数的发明,使数学家们认识到如果可以抛 弃实数和复数的交换性(即抛弃复数的基本 性质)去构造一个有意义、有作用的新“数 系”,那么就可以较为自由地考虑甚至偏 离实数和复数的通常性质的代数构造,从 而使得另一通向抽象代数的大门被打开.我 们相信随着科学技术的不断发展,数学系 统理论将不断地完善和自洽.

1.1 复数的概念及四则运算 1.1.1 复数概念
定义 复数 把形如 x ? iy 的数称为复数,记为 (1.1.1) 或 z ? ( x, y) . 其中 x 称为复数 z 的实部(Real Part) , y 称为复数 z 的虚部(Imaginary Part),分别记为 x ? Re( z ), y ? Im( z ) (1.1.2) 或

z ? x ? iy

x ? Re z, y ? Im z .

复数的无序性
实数可以比较大小,是有序的,但复数 不能比较大小,即复数是无序的. 尽管复数 的实部和虚部均为实数,但是由于复数是 实部和虚部通过虚单位联系起来,从而是 不能比较大小的.

?
?

问:复数为什么不能比较大小?
解释: 复数是实数的推广,若复数能比较大小,则 它的大小顺序关系必须遵循实数顺序关系的有关性 质.
在实数中,若 a ? b, c ? 0 则 ac ? bc ;

若 a ? b, c ? 0 , 则 ac ? bc . 我们用复数 i 和 0 来说 明. 对于非零复数即 i ? 0 , 若 i ? 0 ,根据实数不等 式的性质,两边同乘以“大于零”的 i ,得 i ? i ? i ? 0 , 即 ?1 ? 0 ,矛盾. 若 i ? 0 ,同样两边同乘以“小于零” 的 i 可推得 ?1 ? 0 ,也矛盾. 由此可见,在复数域中无法定义大小关系,即两个 复数不能比较大小.

1.1.2 复数的基本代数运算
1.四则运算
加(减)法: z1

? z2 ? ( x1 ? x2 ) ? i( y1 ? y2 )

乘法: z1 z2 ? z1 ? z2 ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) ? i(x1 y2 ? x2 y1 )

z1 x1 ? iy1 x1 x2 ? y1 y2 y1 x2 ? x1 y2 ? 2 2 ?i 2 2 除法: ? z2 x2 ? iy2 x2 ? y2 x2 ? y2
复数的四则运算也满足交换律、结合律和分配律。

( z2 ? 0)

1.复数的二项式定理
实数的二项式定理对复数同样有效,我们有下述定理 定理 1.1.1 复数的二项式定理.根据复数的四则运 算,如果 z1 和 z2 为任意复数,那么二项式展开满足

? z1 ? z2 ?

n

? ?C z
k ?0

n

k n?k k n 1 2

z

(1.1.5)

(n=1,2,….) 即为二项式定理 . 其中:
n! C ? k !? n ? k ?!
k n

(k=0,1,2,…,n)

1.2 复数的表示
1.2.1 复数的几何表示

y
P y

r
x

o

图 1.1

x

定义 复数的几何表示 直角坐标表示
在复平面内,复数 z 除了用点 ( x, y ) 表示外, ??? ? 还可以用从原点指向点 z ? ( x, y) 的矢量(或向量) OP 来表示复数, 称为复数的几何表示,如图 1.1 所 ??? ? 示,矢量 r 或 OP 代表复数 z ? x ? i y . 从这种几何意 义上, 我们把 z ? x ? iy 称为复数的直角坐标表示 (或 复数的代数表示).

1.2.2 复数的三角表示
1.复数的辐角 定义 1.2.4 辐角 辐角的主值 复数 z ? x ? i y 对应的点 ( x, y ) 的极坐标为 r 和 ? ,当 z ? 0 时,复数 z 的向量与实轴正向间的夹角 ? 称为复数 z 的辐 角,记为 Arg z ? ? (1.2.7) 显然我们有 x ? r cos ? , y ? r sin ? , r ? x 2 ? y 2 ,所以
y tan ? Arg z ? ? tan ? ? x
【2 】

(1.2.8)

y

?0

x
图 1.2

2kπ ? ? 0

需要指出, 任何一个非零复数 ( z ? 0) 有无穷多个辐 角. 如图 1.2 所示,若 ? 0 是辐角中的一个,则有 (1.2.9) 式(1.2.9)表示 z 的全部辐角. 我们规定其中满足

Arg z ? ?0 ? 2kπ ?k ? 0,?1,?2,...?

?π<?0 ? π
的辐角? 0 为辐角 Argz 的主值,记为? 0 ? arg z .

(1.2.10)

定义 1.2.5 复数的三角表示 利用直角坐标关系, x ? r cos? , y ? r sin ? ,可以把非零复数 z 表示成 (1.2.11) z ? r (cos? ? i sin ? ) 称为复数的三角表示式. 即为

z ? r cos ? ? ir sin ? ? r (cos ? ? i sin ? ) ? z ?cos ? Argz ? ? i sin ? Argz ?? ? ?

(1.2.12)

1.2.3 复数的指数表示
定义 1.2.6 复数的指数表示 利用欧拉(Euler)公式

可以把任意非零复数 z ? x ? iy ? r ? cos? ? isin ? ? 表示 为指数形式 i? z ? re (1.2.14)

e ? cos? ? i sin ?
i?

(1.2.13)

1.2.4 共轭复数
定义 1.2.7 共轭复数(复数的共轭)复数 z ? x ? iy 的共轭复 数定义为 z ? x ? iy (1.2.15) 所谓共轭复数是指其实部不变, 虚部反号. 共轭复数在复平 面内的几何意义表明: 点 z ( x, ? y) 是点 z ( x, y) 关于实轴的对称点. 性质:
| z |? x2 ? y 2 ?| z |

z?z
z ? z ? ( x ? iy)( x ? iy) ? x ? y ?| z | ?| z |
2 2 2 2

1.2.5 复球面 无穷远点
?

1.复球面概念 ? 定义 1.2.8 复数球 复球面 ? 除了用平面内的点或向量 来表示复数外,还可以用球面 上的点来表示复数. 取一个与 复平面切于原点的球面,通过 原点作垂直于复平面的直线与 球面相交于另一点N, 称N为北 极,而O点为南极. 这个球叫 作复数球.如图所示。

图 1.3 复球面

在复数平面 xoy 上任取一点 P( x, y) ,它与球的 北极 N 的连线相交于球面点 P?(? , ? ) . 这样,复平面 上的有限远点与球面上除 N 点外的点满足一一对应关 系. 这样,球面上的每一个点,就有复平面上唯一的 一个复数与之对应,这样的球面称为复球面.

2.无穷远点概念 定义 1.2.9 无穷远点 设想 P 在 xoy 复平面上,沿着一根通过原点的直线向无限远移

动,对应的点 P? 就沿着一根子午线(经线)向北极 N 逼近,如图 1 所示. 事实上,不管 P 点沿着什么样的曲线向无限远移动, P? 总是相 应地沿着某曲线逼近于 N 点. 为了使复平面上的点无例外地都能一一 对应起来,我们定义:复平面上有一个唯一的“无穷远点”,它与球面 的北极 N 相对应. 无限远点其模为无限大, 它的辐角则没有明确定义

3.扩充复平面概念 定义 1.2.10 有限平面 扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限平面(或称为开平面). 包括无穷远 点在内的复平面称为扩充复平面(或闭平面). 对于复数 ? 来说,其实部、虚部与辐角的概念均无意义,但它的模为正无穷大, 即 | ? |? ?? . 对于其他复数 z,则有 | z |? ?? .

4.无穷远点的四则运算
为了运算方便,关于 ? 点的四则运算作如下规定: 加(减)法: a ? ? ? ? ? a ? ?,(a ? ?) 乘法: a ? ? ? ? ? a ? ?, (a ? 0) 除法: (1.2.19) (1.2.20) (1.2.21)

a ? 0, ?

? ?? a

( a ? ?),
? ?

a ? ? (a ? 0) 0

至于其它运算: ? ? ?,? ?, , 不规定其意义. 就象在实实变数中一样, 0

0 仍然不确定. 0

1.3 复数的乘幂与方根
1.3.1 复数的乘幂

定理 1.3.1 两个复数相乘, 其模等于它们模的乘积, 其辐角等于它们辐角的和.

定义 1.3.1 乘幂 利用数学归纳法可以将上式推广到 n 个复数相 乘的三角形式与指数形式
z1 z2 ??? zn ? rr2 ??? rn [cos(?1 ? ?2 ????? ?n ) ? isin(?1 ? ?2 ????? ?n )] 1 ? rr2 ??? rnei(? ?? ?????? ) 1
1 2 n

n z 的n 次乘幂(简称为 次幂):
z n ? rr ??? r (cos ? ? i sin ? )(cos? ? i sin ? ) ??? (cos? ? i sin ? ) ? r n (cos ? ? i sin ? ) n ? r n (cos n? ? i sin n? ) ? r n ein?

当 r ? 1 时,即 z ? cos ? ? i sin ? ,由上式得到
z n ? (cos ? ? i sin ? ) n ? (cos n? ? i sin n? ) ? ein?

这就是著名的棣模弗(De Moivre)公式.

当 r ? 1 时,即 z ? cos? ? i sin ? ,由上式 得到
z n ? (cos? ? isin ? )n ? (cos n? ? isin n? ) ? ein?

(1.3.6) 这就是著名的棣模弗(De Moivre)公式. 又特别当 n ? 1 时,即为前面提到的欧拉 (Euler)公式: ei? ? cos? ? isin ? .

例 1.3.1 已知 x ? x ? 1 ? 0 . 11 7 6 求 x ? x ? x 的值.
2

【解】

由 x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? x ? 1) 知,
3 2

x 是方程 x3 ? 1 ? 0 除 ? 1 外的两个虚数根,
3 11 9 2 2 即 x ? ?1 ,因此, x ? x ? x ? ? x , x7 ? x6 ? x ? x , x6 ? 1 故

原式 ? ? x2 ? x ? 1 ? ?( x2 ? x ? 1) ? 2 ? 2

1.3.2 复数的方根
定义 1.3.2 复数的方根 z n (n ? 1, 2, ???) 后, 定义了复数的乘幂 我们可 以求其逆运算来得出方根的计算方法. 即求 满足 w ? z 的根 w ,其中 z 为已知复数. 我们把 n 满足 w ? z 的复数 w 称为 z 的 n 次方根,记为
n

n

z ,即 w ? n z .

w k ? re
n

i

? ? 2 kπ
n

? r [cos(
n

? ? 2kπ
n

) ? i sin(

? ? 2kπ

n ( k ? 0,1, 2, ???, n ? 1)

)],

w k ? re
n

i

? ?2 kπ
n

? r [cos(
n

? ? 2kπ
n

) ? i sin(

? ? 2kπ

n (k ? 1, 2, ???, n)

)]

例 求1的n次方根,并讨论根在复平 面单位圆周上的位置.
【解】 设方根为 w k ,根据上面公式有
wk ? n 1 ? e
i 2 kπ n

? k ? 0,1, 2,…, n ?1?

当 n=2 时, 其根为 ? 1 . 对应于单位圆与实轴 的两交点.

当 n ? 3 时,各根分别位于单位圆 z ? 1的内接正多边 形的顶点处,其中一个顶点对应着主根: w 0 ? 1 , (k ? 0 ) . 图(1.4)表示当 n=3,4 和 6 时根的位置分布情况.
w1
y y w1 y

w1

w0 w3
w2
n=3

1 w 2

1

w3

x

w3
n=4 图 1.4

w4

w5
n=6

方根的几何意义表明:这 n 个方根是以原 点为中心, r 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
n

1.4 复数典型综合实例
例1.4.1 正十七边形的几何作 补充:正十七边形 图讨论。 几何作图问题
作为本章的综合运用,介绍一个数学中 非常有趣的问题:即为正十七边形的几何作 图问题。 已知:正十七变形的边长为a,内接于单位 园,用几何作图法得出该正多边形。

为了简化,设边长为 a 的正十七边形内 接于单位圆,如上图所示,则边长 a ? 2sin(π /17) .如果用复数的方法求出 a 的 代数表达式, 因而也就解决了该正多边形的 作图问题.这种方法是否可以进一步推广, 留给有兴趣的读者去思考.读者还可尝试使 用 计 算 机 语 言 ( C++ ) 或 数 学 软 件 Matlab,Mathematic,Mathcad 等 进行编程 实 践练习.

[解] 考虑方程 t ? ei2π /17 ,则易见 设 另一方面,由
17 0 1 2

t 17 ? 1 ? 0 解的情况:

t 0 , t1 , t 2 ,?, t16 均为方程的根

t ? 1 ? (t ? 1)(t ? t ?t ? ? ? t ) ? 0, ? t ? e ? 0, ?t ? t ?t ? ? ? t ? 0
16 i2 π/17 0 1 2 16

t ?t ? ? ? t ? ?1
1 2 16


p ? t ? t ? t ? t ??? t ? t ? t ? t ? t ? t ? t ? t ? t ,
90 91 92 93 97 3 1 9 13 15 16 8 4 2

q ? t ? t ? t ??? t ? t ? t ? t ? t ? t ? t ? t ? t .
31 33 35 315 10 5 11 14 7 12 6

显然: p ? q ? ? t k ? ?1 ,将 p 和 q 直接相乘,即可验证
k ?1

16

pq ? ?4

在复平面上标出 t , t , t ,?, t 的位臵,可以看出,这些点
0 1 2 16
1 16 2 15 4 13

均匀地分布在单位圆周上,而且, t 与 t , t 与 t , t 与 t ,

t 8 与 t 9 均互为共轭,根据 p 的表达式可推知 p 一定为实数,并
且从 t1 , t 2 , t 4 , t 8 各点的具体位臵可以进一步断定 p 为正值.因此
1 p ? ( 17 ? 1), 2 1 q ? ? ( 17 ? 1) 2

再进一步将 p 和 q 拆开成两组数之和:
r ? t1 ? t13 ? t16 ? t 4 ,
s ?t ?t ?t ?t ,
3 5 14 12

r ? ? t 9 ? t15 ? t 8 ? t 2
? ? t10 ? t 11 ? t 7 ? t 6 s
rr ? ? ?1 ss? ? ?1

容易证明
r ? r ? ? p, s ? s ? ? q,

所以
1 1 2 r ? ( p ? p ? 4), s ? (q ? q 2 ? 4) 2 2

再令
x ? t1 ? t16 , x? ? t13 ? t 4

显然,有 所以

x ? x? ? r ,
x ? t1 ? t16 ? 2cos

xx? ? s
2π 1 ? (r ? r 2 ? 4s ). 17 2
2

由三角公式: cos 2? ? 1 ? 2sin ? ,且考虑到
a ? 2sin π 17

因此
2π a 2 x ? 2cos ? 2[1 ? 2 ? ( ) ] ? 2 ? a2 17 2

故得到
a ? 2? x

采用复数的方法求出了边长 a 的代数表达式,而且 p, q, r , s, x 均可用几何作图法绘出, 从而可绘出正十七 边形.

例 1.4.2 若 zk (k ? 1, 2, ???, n) 对应为 z

n

? 1 ? 0 的根,

其中 n ? 2 且取整数. 试证明下列数学恒等式成立

?
k ?1

n

1
m ?1 ( m? k )

? (z

n

?0 ? zm )

k

【 证明】 为考虑问题的方便,方程 z n ? 1 ? 0 的根可写为

zk ? n 1 ? e
令 t?e
i 2π n

i

2 kπ n

(k ? 1, 2, ???, n)
(k ? 1, 2, ???, n) .再考虑到级数
,这样证明数学恒等式,即需

,则 zk ? t k ,
1

?
k ?1

n

1
m ?1 ( m? k )

? (z
n

n

k

? zm )

,令 ak ?

?(z
m?1 m? k

n

k

? zm )

证明

?a
k ?1

k

? 0.

我们先考察级数

?a
k ?1

n

k

的各项:

当 k ? 1 时,故有第一项
a1 ? 1

? (z
m ?1 m?k

n

1

? zm )

1 ? ( z1 ? z2 )( z1 ? z3 ) ??? ( z1 ? zn )

1 ? 2 3 4 n (t ? t )(t ? t )(t ? t ) ??? (t ? t ) 1 ? n ?1 t (1 ? t )(1 ? t 2 )(1 ? t 3 ) ??? (1 ? t n ?1 )

第二项为
1 a2 ? ( z2 ? z1 )( z2 ? z3 ) ??? ( z2 ? zn ) 1 ? 2 (t ? t )(t 2 ? t 3 )(t 2 ? t 4 ) ??? (t 2 ? t n ) 1 ? 2( n ?1) t (1 ? t ?1 )(1 ? t )(1 ? t 2 ) ??? (1 ? t n ? 2 ) 1 ? 2( n ?1) t (1 ? t )(1 ? t 2 ) ??? (1 ? t n ? 2 )(1 ? t ?1 ) 1 ? 2( n ?1) t (1 ? t )(1 ? t 2 ) ??? (1 ? t n ? 2 )(1 ? t n ?1 )

推导中已使用: t ? e , t n ? ei2π ? 1, t ?1 ? t n ? t ?1 ? t n?1

i

2π n

同理,通项即第 k 项为
1 ak ? ( zk ? z1 )( zk ? z2 ) ? ? ? ( zk ? zk ?1 )( zk ? zk ?1 ) ? ? ? ( zk ? zn ) ? 1 t k ( n ?1) (1 ? t )(1 ? t 2 ) ? ? ? (1 ? t n ? 2 )(1 ? t n ?1 )
n k ?1

显然级数 ? ak 为一等比级数,其公比为:
ak 1 t q? ? n ?1 ? n ak ?1 t t ?t ? e
? i 2n

?t ? 1
n

?q ? t ? e

? i 2n

因 n ? 1 ,故 q ? 1 . 故
a1 (1 ? q ) a1 (1 ? t ) (1 ? e ) 1 ?1 ? a1 ?0 ? ak ? 1 ? q ? 1 ? t ? a1 2π 2π i i k ?1 1? e n 1? e n
n n n i 2π ?n n

数学恒等式成立得证.

特别说明(1)我们应该注意到对于
z 上述例题, k 不是任意的, 它满足 zk ? e . 事实上,我们在学习后面的解析函数、复 变函数的积分、级数和留数定理时,可以 根据不同章节的理论对该数学恒等式进 行证明.
π i 2nk

(2)猜想(进一步推广):若对复平面任意两个以上的不重合 的有限远点 Z k , Z m ,(即确保分母不为零),恒等式

?
k ?1

N

1

? (Z
m ?1 m?k

N

?0 ? Zm )

k

是否还成立呢? (式中自然数 N ? 2 ,而m, k 为介于1至 N 的 整数).

科学是允许猜想的,关键是我们能否对猜想 进行证明.

(3)附:对上述猜想的数学恒等式(1.8.2)的一些说明和 思考 (i) 若复平面上有任意的两个不重合的点 Z 1 和 Z2 (即 N ? 2 , N 代表点的个数),则显然有 ,
1 1 1 1 ? ? ? ?0 Z1 ? Z 2 Z 2 ? Z1 Z1 ? Z 2 Z1 ? Z 2

(ii) 当 N ? 3 ,如图 1.9 所示,复平面上有任意的三 个不重合的点,则必然也有:
1 1 1 ? ? (Z1 ? Z 2 )(Z1 ? Z 3 ) (Z2 ? Z1 )(Z2 ? Z 3 ) (Z3 ? Z1 )(Z3 ? Z 2 ) ? Z 2 ? Z 3 ) ? ( Z1 ? Z 3 ) ? ( Z1 ? Z 2 ) ?0 ( Z1 ? Z 2 )( Z1 ? Z 3 )( Z 2 ? Z 3 )

z3

y

z2

x
z1
图 1.9

(iii) 当 N ? 4 , 复平面上有任意的 4 个不重合的点,则必 1 1 然也有: ?
( Z1 ? Z 2 )( Z1 ? Z 3 )( Z1 ? Z 4 ) ( Z 2 ? Z1 )( Z 2 ? Z 3 )( Z 2 ? Z 4 ) ? 1 1 ? ?0 ( Z 3 ? Z1 )( Z 3 ? Z 2 )( Z 3 ? Z 4 ) ( Z 4 ? Z1 )( Z 4 ? Z 2 )( Z 4 ? Z 3 )

(iv) 依此是否能类推呢? 探索对上述恒等式的证明方法:除使用复变函数理论 证明外,能否有其它证明方法? 数学归纳法能否证明?计算机仿真能否验证? 对恒等式的证明,有兴趣的读者可参考文献【5】 “复 : 变函数论典型环路积分的理论分析”四川大学学报 2001.

习题选讲:p25 1.6
1.6 证明 如果复数 a ? i b 是实系数方程
n n?1

P?z ? ? a0 z ? a1 z ? ? ? an?1 z ? an ? 0 的根,则 a ? i b 一定也是该方程的根.

1.4 区域
1.4.1 基本概念
(1)邻域:以复数 z0 为圆心,以任意小的 正实数 ? 为半径作一圆,则满足 | z ? z0 |? ? 的所 有点的集合称为 z 的 ? 邻域.
0

(2)去心邻域:以复数 z0 为圆心,以任意 小的正实数 ? 为半径作一圆,则满足 0 ? z ? z ? ? 的点的集合称为 z0 的一个去心 ? 邻域.
0

(3)聚点:给定无穷序列 {zn } ,若存在复数 z ,对于任 意给定的 ? ? 0 ,恒有无穷多个 zn 满足 | zn ? z |? ? ,则称 z 为 {zn } 的一个聚点(或极限点). 例如:序列 2 , 3 i,...,
i 2 n ?1 i,? n

的聚点是 i.

一个序列可以不止一个聚点,例如序列:
1 2 3 4 5 6 , ? , , ? , , ? ,... 就有两个聚点: ? 1. 2 3 4 5 6 7

(4)孤立点:若 z0 属于集合 I,但非 I 的 聚点,则称 z0 为 I 的孤立点.

i 2 n ?1 i,...}中除 例如:集合{ , i,..., 2 3 n

点 i 是聚点外,其余各点都是孤立点.

为了叙述下列概念方便,我们统一设 G 为平面点 集. (5)内点:对于平面点集 G , 设 z0 ? G ,若 z0 及 其邻域均属于 G ,则称 z0 为 G 的内点. (6) 外点: z0 及其邻域均不属于点集 G , 若 则称 z0 为 该点集的外点. (7)开集:若 G 内的每个点都是内点,则称 G 为开 集. (8)连通集:若连接 G 内任意两点的折线也属于 G , 则称 G 为连通集.

(9)区域:区域严格的定义是指同时满足下列两个条 件的点集: (i) 全由内点组成; (ii) 具有连通性: 即点集中的任意两点都可以 用一条折线连接起来,且折线的点全都属于该点集; 区域可用符号 D 表示。 注:通常所谓某区域 D 是连通的,即指 D 中任何两点都 可以用完全属于 D 的一条折线连接起来.

(10)边界:若 z0 点的任意一个邻域内既有区域 D 的点,又有不属于 D 的点,则称 z0 为区域 D 的一个边 界点. 由 D 的全体边界点组成的集合称为 D 的边界或 边界线. (11)闭区域:区域 D 及其边界所组成的点集称为 闭区域,以 D 表示闭区域. 注:与闭区域相比较,把不含边界的区域 D 称 为开区域. 而且若无特殊声明所谓的区域均指开区域. 闭区域需明确指出. 例如:由 | z |? 10 所构成的区域为闭区域,而由 | z |? 10 所构成的区域为开区域.

? (12)有界区域:如果一个区域D可以被包

含在一个以原点为中心的圆内部,即存在 正数M,使得区域D的每一点z都满足 ,那么 D称为有界区域. ? (13)无界区域:根据上面的定义,非有 界区域即为无界区域.

( 17 ) 简 单 曲 线 ( 或 若 尔 当 Jordan 曲 线 ) 设 曲 线 : C : z (t ) ? x(t ) ? iy(t ), a ? t ? b ,对介于 a , b 之间的 t1 , t2 ,当

t1 ? t2 时,有 z(t1 ) ? z(t2 ) ,则点 z (t1 ) 称为曲线 C 的重点. 对于
没有重点的连续曲线 C , 称为简单曲线. (18)简单闭曲线:如果简单曲线 C 的两个端点重合,则 C 称 为简单闭曲线. (19)单连通域: 复平面上的一个区域 D ,如果在其中任作一 条简单闭曲线,而曲线的内部总属于 D ,就称为单连通区域,简 称为单连通域,或单通区域. (20)复连通域: 若一个区域不是单连通域,就称为复连通域 (或复连通区域, 简称复通域) 具体是多少阶连通域可根据下列连通阶数的定义来具体确定.

注意:单连通区域和复连通区域有一个重要的区 别:在单连通区域中,一条任意闭合曲线总是可以通过 连续变形收缩成一点,换句话说,在单连通区域的任 意两点 A 和 B 之间的任意两根曲线 l , l 可以通过连续 变形从一根变到另一根,如图 1.6 (a)所示;而复通区 域却不具有这样的性质,如图 1.6(b),(c)所示.
'
A l
l?

A l B (b) 图 1.6

l

A
l?

B

l?

B

(a)
l

(c)

(21)连通阶数:若有界区域 D 的边界被分成若 干不相连接的部分, 则这些部分的数目叫做区域 的连通阶数. 如图 1.7(a)为单连通区域(即为一 阶连通区域) ,图 1.7(b) 为二阶连通区域,图 1.7(c) 为三阶连通区域;

(a)
l

(b) 图 1.7 (c)

(22)复连通区域单连通化:作一 些适当的割线能将复通区域的不相 连接的边界线连接起来从而降低区 域的连通阶数,直至可以降为单连通 区域.(注意:连接边界的分开方式不 唯一) 如图 1.8 所示.

(23)边界线的正方向:为了以后学习环路积分方便, 我们按照通常的规定: (当人)沿边界线环行时,所包围的 区域始终在人的左手边,则前进方向为边界线的正方向. 对于有界的单连通区域, 如图 1.8 (a) 的逆时针方向所示即 为正方向. 而多连通区域单连通化后,外围逆时针为正方 向,内部顺时针为正方向,如图 1.8(b),(c)所示.

(a)
l

(b) 图 1.8

(c)

1.4.2 区域的判断方法及实例分析
说明:当判断区域是什么样的区域时,通常按照下列顺序判断: (1)有、无界,(2)单、复连通, (3)开、闭区域. 例 1.4.1 判断 z ?1 ? z ? 2 ? 5 代表什么样的区域? 【解】 此不等式所代表的区域是焦点在 z ? 1 和 z ? ?2 上,长半

5 轴为 的椭圆内部,为有界单连通闭区域. 2

例1.4.2 判断代表什么样的区域?
【解】 代入 z ? x ? iy ,则
2 z ? 1 [(2 x ? 1) ? 2iy][( x ? 1) ? iy] ? z ?1 ( x ? 1)2 ? y 2



Im(

2z ?1 ?3 y )? ? 1,即为: 2 2 z ?1 ( x ? 1) ? y

3 3 ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? ( ) 2 2 2

代表圆外部分, (由于无穷远点的特殊性)该区域是 复连通区域. 故为无界复连通开区域.

z ?i π ? 例 1.4.3 试确定不等式 0 ? arg 所确定的 z?i 4
点集是什么图形?

[解法 1] 由此等式

z ?i π arg ? z?i 4

π 表示到两定点 i, ?i 的张角之差等于定数 的点 z 的集合.由 4 平面几何的定理知,这是缺了点 i 和 ?i 的两个圆弧.见图 1.10 所 z ?i π ? 所确定 示, 图中两个圆弧实际上只有实线圆弧才是 arg z?i 4 z?i π ? 所确定的点集. 的点集;虚线圆弧是 arg z ?i 4

z ?i ? 0 确定的点集.实际上, 再考虑等式 arg 此点集是虚 z?i 轴上点 i 以上,点 ?i 以下的点的全体。
从图中看出可见,该点集和图 1.10 中实线圆弧将整个平面 分为两半. 容易验证,左边的部分除去圆域(即图中淡灰色)

z ?i π ? 所确定的点集. 为不等式 0 ? arg z?i 4

y

-1

x -i

【解法 2】 根据辐角定义得出,由 z ? x ? iy

z ? i x ? iy ? i x ? y ?1 ?2 x ? ? 2 ?i 2 2 2 z ? i x ? iy ? i x ? ( y ? 1) x ? ( y ? 1) z ?i ?2 x ? arg( ) ? arctan 2 z ?i x ? y2 ?1 ?2 x π 0 ? arctan( 2 )? 由题意得到 2 x ? y ?1 4
2 2

注意到,在 (0, π / 4) 的角度区域,正切函数是单增的,对上述不等 式两边均取正切得到

?2 x 0? 2 ?1 2 x ? y ?1
由此得到

x?0 ? ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ?
2 2

x?0 ? 或 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ?

注意到 ( x ? 1) ? y ? 2 是以(-1,0)为圆心,以 2 为半径的 圆周,所以满足题给条件的是图 1.10 中灰色的部分. 根据题给辐角不 等式,对于 x ? 0 ,其辐角不满足要求.

1.5复变函数
复变函数的基本概念是实变函 数基本概念的推广,因此我们所叙 述的复变函数的概念、极限概念、 函数连续与可微等概念与高等数 学中的概念叙述相似.

1.5.1 复变函数概念
定义 1.5.1 复变函数 设 D 是一个复数 z ? x ? iy 的集合,若对每一个 z ? D ,按 照一定的法则,总有一个或几个复数 w ? u ? iv 与之对应,则 称复变量 w 为复数 z 的复变函数,记为: w ? f ( z ) . 其中 D 称为函数 f ( z ) 的定义域, 函数值 w 的全体所构成的 集 合 称 为 函 数 f ( z) 的 值 域 , 记 为 f ( D) ? {w | w ? f ( z), z ? D} ,把 z 称为函数的自变量,w 称 为因变量.

定义 1.5.2 单值函数 多值函数 单值函数 每个自变量复数 z ,对应着一确定的复 数w 称 w ? f ( z ) 为单值函数. 多值函数 每一个自变量复数 z ,对应着几个或无 穷多 无穷多个复数 w 的值,则称 w ? f ( z ) 为多值函数.

1.5.2 复变函数的几何意义-映射 如果用 z 平面(即为 xoy 平面)上的点表示自变量 z 的 值,而用另一个平面 w 平面表示函数 w 的值,那么函数 w ? f ( z) 在几何上就可以看作是把 z 平面上的一个点集 G (定义域为集合)变到 w 平面上的一个点集 G * (函数
值的集合)的映射(或变换). 这个映射通常称为由函数 w ? f ( z) 所构成的映射. 映射反映了复变函数的几何意义. 如果 G 中的点 z 被映射 w ? f ( z ) 映射为 G 中的点 w ,那 么 w 称为 z 的像(映像) ,而 z 称为 w 的原像.
*

1 例 1.5.3 在映射 w ? 下,曲线 z
(1) x
2

? y ?4;
2
2 2

(2)( x ? 1) ? y ? 1 变成 w 平面上的什么曲 线?

z?z z?z 2 ,y? , x ? y 2 ? zz , 【解】 利用 x ? 2 2i

x2 ? y 2 ? 4 (1)代入

则有

zz ? 4 1 1 ? ? ?4 w w ? w ? u ? iv 1 ?u2 ? v 2 ? 4
1 因此, z 平面上的曲线 x ? y ? 4 ,在映射 w ? 下 z 1 变成 w 平面上的以原点为圆心, 为半径的圆. 2
2 2

(2)代入 ( x ?1) ? y ? x ? 2 x ? 1 ? y ? 1 , 得到
2 2 2 2

zz ? z ? z ? 0
1 利用映射 w ? z
?z ?
代入即得到

1 , w

z?

1 w

1 1 1 1 ? ? ? ?0 w w w w ?w + w = 1 ? 2u ? 1 1 故像曲线为直线 u ? . 2

1? w ? w ? ?0 ww

1.6

复变函数的极限

1.6.1 复变函数极限概念
定义 1.6.1 复变函数的极限 设函数 w ? f ( z ) 在 z 0 的 某一去心邻域 0 ?| z ? z0 |? r 内有定义,对于任给 ? ? 0 , 相应地总存在 ? ? 0 , 使得当 0 ?| z ? z0 |? ? 时 0 ? ? ? r ) ( , 有

| f ( z ) ? S |? ?
成立, 则称 S (确定的常数) 为函数 f ( z ) 当 z 趋于 z 0 时

的极限.记为

lim f ( z ) ? S
z ? z0

或当 z ? z0 时, f ( z ) ? S

注意:上述定义与一元实函数的极限定义虽然从 形式上看是相似的, 只不过用圆邻域 0 ?| z ? z0 |? ? 代 替了一元函数的直线邻域 0 ?| x ? x0 |? ? ,但要特别注 意的是,由于 z ? x ? iy 趋向于 z0 ? x0 ? iy0 ,相当于

? x ? x0 ,这比一元实极限中的 x ? x0 具有更大的任 ? ? y ? y0 意性. 定义中的 z ? z0 的方式是任意的,即不论 z 从 什么方向,以什么方式趋于 z 0 , f ( z ) 都要趋于同一常 数S .

例1.6.1 证明
【证明】
?

z lim z ?0 z

极限不存在.

令 z ? x ? iy , 则 沿 正 实 轴 趋 于 零 时 ,

z x lim ? lim ? 1 ; 而 沿 负 实 轴 趋 于 零 时 , z ?0 | z | x ?0 x z x lim ? lim ? ?1 ;不同的趋向得到不同的极限值,故原极 z ?0 | z | x ?0 ( ? x) z 限 lim 不存在. z ?0 |z|
?

1.6.2 复变函数极限的基本定理
定理 1.6.1 则 若 f ? z ? ? u( x, y) ? iv ( x, y),

S ? u0 ? iv 0 , z0 ? x0 ? iy0 ,

lim f ( z ) ? S 成立的充分必要条件为
z ? z0

( x , y ) ?( x0 , y0 )

lim

u ( x, y ) ? u0 ,
v ( x, y ) ? v 0

( x , y ) ? ( x0 , y0 )

lim

【证明】 :
(1)充分性 lim 由
( x , y ) ? ( x0 , y 0 )

u ( x, y ) ? u 0 ,

( x , y ) ? ( x0 , y0 )

lim

v ( x, y ) ? v 0 ,

对于每一个正数 ? ,存在正数 ? 1 和 ? 2 使得 当0 ? 当0 ?

? x ? x0 ? ? x ? x0 ?

2

? ? y ? y 0 ? ? ? 1 时, u ? u 0 ?
2

?
?
2

2

? ? y ? y 0 ? ? ? 2 时, v ? v 0 ?
2

令 ? ? min(?1 , ? 2 ) 即取两者中较小的数. 注意到

2

? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ?| z ? z0 |
2 2

(u ? iv ) ? (u0 ? iv 0 ) ? (u ? u0 ) ? i(v ? v 0 ) ? u ? u0 ? v ? v 0
可以得出,当 0 ? z ? z0 ? ? 时

| f ( z ) ? S |? (u ? iv ) ? (u0 ? iv 0 ) ? (u ? u0 ) ? i(v ? v 0 ) ? u ? u0 ? v ? v 0 ?
成立,即有 lim f ( z ) ? S .
z ? z0

?
2

?

(2)必要性 首先由极限 lim f ( z ) ? S 成立,故对于任一个正数 ? ? 0 ,
z ? z0

相应地存在着 ? ? 0 使得当

0 ?| z ? z0 |? ( x ? iy) ? ( x0 ? iy0 ) ? ? 时,
有 | f ( z) ? S |? (u ? iv ) ? (u0 ? iv 0 ) ? ? 注意到 成立.

u ? u0 ? (u ? u0 ) ? i(v ? v 0 ) ? (u ? iv ) ? (u0 ? iv 0 )

v ? v 0 ? (u ? u0 ) ? i(v ? v 0 ) ? (u ? iv ) ? (u0 ? iv 0 )

( x ? iy ) ? ( x0 ? iy0 )

并且

? ( x ? x0 ) ? i( y ? y0 ) ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2

因此可得 当 0 ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? ? 时,有 u ? u0 ? ? , v ? v 0 ? ? 成立 证毕.

定理 1.6.2 若
z ? z0

lim f ( z ) ? A, lim g ( z ) ? B , 那么 z?z z?z
0 0

(1) lim[ f ( z ) ? g ( z )] ? A ? B ? lim f ( z ) ? lim g ( z )
z ? z0 z ? z0

(2) lim[ f ( z ) g ( z )] ? A ? B ? lim f ( z ) ? lim g ( z )
z ? z0 z ? z0 z ? z0

f ( z ) A lim f ( z ) z?z ]? ? (3) lim[ z?z g ( z ) B lim g ( z )
0 0

( B ? 0)

z ? z0

1.7 复变函数的连续
1.7.1 复变函数连续的概念 定义 1.7.1 复变函数连续概念 如果 z 属于 w ? f ( z) 的定义域 D, 若 lim f ( z ) ? f ( z ) , 则称函数 f ( z ) 在 z 处连续.
0
z ? z0 0

0

如果 f ( z ) 在区域 D 内各点均连续, 则称 f ( z ) 在区域 D 上连续.

1.7 复变函数的连续
1.7.1 复变函数连续的概念
定义 1.7.1 复变函数连续概念 如果 z 0 属于 w ? f ( z ) 的定义域 D, 若 lim f ( z ) ? f ( z0 ) ,
z ? z0

则称函数 f ( z ) 在 z 0 处连续.如果 f ( z ) 在区域 D 内各点均连续, 则称 f ( z ) 在区域 D 上连续. (注意:函数连续隐含了以下三种情况必须同时满足,即 函数 f ( z ) 在点 z 0 连续则必须: (1) lim f ( z ) 存在; (2) f ( z0 ) 存在; (3) lim f ( z) ? f ( z0 ) z?z z?z
0 0

同时成立。

例 1.8.5 研究什么原像通过映射 w ? z 2 后变为相互垂直的直线 u ? a, v ? b, (a, b ? 0) .

[解] 由 w ? z ? ( x ? iy) ? x ? y ? i2 xy ,可以视为从 xy 平面到 uv 平面的映射,即为从 z 平面(原像)到 w 平面(像)的映射, 易得
2 2 2 2

u ? x2 ? y 2 , v ? 2 xy
具体考察在 w 平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么?由题 得到

u ? x2 ? y 2 ? a,
2 2

v = 2xy ? b,

(a, b ? 0)

即有 x ? y ? a,(a ? 0) 显然原像为双曲线,如图 1.11(a)实线所示; 即有 v = 2 xy ? b, (b ? 0) 显然原像为双曲线,如图 1.11(a)虚线所示.

特别地,当原像点在如图 1.11(a)的双曲线右分支实线上时,由 u ? a 且 v ? 2xy ,得到,

v ? 2y y 2 ? a .因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式:

y

v

u?a?0 v ?b?0

0 (a)

x
图 1.11

0 (b)

u

u ? a, v ? 2 y y 2 ? a

(?? ? y ? ?)

例 1.8.6 研究下列函数在 z ? 0 点的连续性.

Im( z ) (1) f ( z ) ? 1 ? zz

? z Re( z ) , ? (2) f ( z ) ? ? z ?0, ?

z?0 z?0

r sin ? r sin ? ? lim ? 0, 【解】 (1) lim f ( z ) ? lim i? ? i? 2 z ?0 r ?0 r ?0 1 ? re re 1? r
又因为 f (0) ? 0 ,故函数 f ( z ) 连续.

rei? r cos ? lim f ( z ) ? lim ? lim re2i? cos ? ? 0 (2) z ?0 r ?0 r ?0 re? i?
,又因为 f (0) ? 0 ,故函数 f ( z ) 连续.

本章总结
? 掌握的基本概念 ? 复数、辐角、主辐角、共轭复数、复数的乘方 与开方、 无穷远点、复球面、有限平面(开平 面)、扩充复平面(闭平面) 区域、连通阶数、单连通区域、复连通区域 极限与连续 ? 本章重点: ? 复数的开方 ? 区域的判断 ? 极限与连续的定义及应用

本章作业
1.1:(4);(5); (6) 1.3;1.4;1.6;1.8;1.10;1.12 1.13 (4);(5); 1.14; 1.15(4);(6);(7) 1.16; 1.17(2) 选作 (计算机仿真实践练习 1.19;1.20;1.22)



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