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处理椭圆最值问题的八大策略


处理椭圆最值问题的八大策略
数学组 陈东生
圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广,处理方法灵活等特点为高考命题者在此知识 点设计综合问题提供了理论依据。如何选用恰当方法,明晰解题思路,是多数考生亟待解决的问题, 笔者,教你“八招”。 一:探求变量间的相关函数 例 1:点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上, 36 20

且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。 解: (1)略 (2)直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0。 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

m?6 2



于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2。

设椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2 )2 ? y 2 ? x ?4 x2 ?4 ?2 0 ? x2 ? (x ? 2) , ?1 5 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
点评:本题求解难点是如何将动点 M 与椭圆上点 P 间的距离表示成某个变量的函数,常见处理 方法是大胆引入变量,利用设而不求方法或直接换元变多元为一元函数进行求解 二:寻求椭圆特征量 a, b, c 的等式或不等式

x2 y2 0 例 2:若 A, B 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴两端点, Q 为椭圆上一点,使 ?AQB ? 120 , a b
求此椭圆离心率的最小值。 解:不妨设 A(a,0), B(?a,0), Q( x, y) ,则 k AQ ?

y y , k BQ ? , x?a x?a

y y ? 0 0 利用到角公式及 ?AQB ? 120 得: x ? a x ? a ? tan120 ( x ? ? a ) , y y 1? x?a x?a 2 a 2 2ab2 2ab2 2 2 又点 A 在椭圆上,故 x ? a ? ? 2 y , 化简得 y ? 又 y ? b即 ?b b 3c 2 3c 2
2 2 2 4 则 4a (a ? c ) ? 3c , 3e ? 4e ? 4 ? 0 解得
4 2

6 ? e ?1。 3

故椭圆离心率的最小值为

6 。 3

点评:对于此类最值问题求解关键是如何建立椭圆中的三大特征量 a, b, c 之间的关系。常用方 法是通过对椭圆上的特殊点(如顶点、焦点)的连线或由其围成的图形进行。分析,确定满足的条 件,进而求解。 三、利用椭圆标准方程特征巧用三角代换求最值:

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 l : x ? 2 y ? 12 ? 0 的最大距离和最小距离. 例 3 求椭圆 16 12

解:椭圆

? x ? 4 cos? x2 y2 ? ? 1 的参数方程为 ? (0 ? ? ? 2? ) 则椭圆上任意一点 P 坐标为 16 12 ? y ? 2 3 sin ?
,∴ 到 直 线 的 距 离 为

P(4 cos? ,2 3 sin? )
d?
??

4 cos? ? 4 3 ? 12 5

=

8 1 2 3 cos? ? sin ? ? = 2 2 5 2

8

? 3 sin( ? ? ) ? 6 2 5

? 0 ? ? ? 2?

11 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 ? sin( ) ? 1 ?当sin( ? ? ) ? ?1时 , d 取最大值, 即 d 最大值 ? 4 5 ; 6 6 6 6 6

?当 sin(

?
6

? ? ) ? 1时 ,d 取最小值,即 d 最小值 ?

4 5 5

x2 y2 ? 2 ?1 2 2 2 b 点评:因为椭圆方程为 a 类似于三角中的同角的平方关系 cos ? ? sin ? ? 1 ,故经常
用三角代换转化为角的运算,对于解题往往会收到奇效,但一定要注意角的范围. 四:利用焦点三角形相关性质求最值

x2 y 2 例 4: 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 两个焦点为 F1 , F2 , 如果曲线 C 上存在一点 Q, 使 FQ ? F2Q , 1 a b 求椭圆离心率的最小值。 解:根据三角形的正弦定理及合分比定理可得:

PF1 PF2 PF1 ? PF2 2c 2a ? ? ? ? 0 sin ? sin ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos? sin 90
故e ?

2 1 2 ,故椭圆离心率的最小值为 。 ? 0 2 2 2 sin(? ? 45 )

点评:此法求最值问题关键是合理利用焦点三角形正弦定理或余弦定理建立的边角关系,再利 用椭圆定义确定其隐含条件,找出其变量关系,建立等式并利用三角函数的有界性解题。 五:利用题中数字特殊性由第二定义转化 例 5 已知定点 A(2,1) ,F(1,0)是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点,P 是椭圆上的点,求|PA|+3|PF| m 8

的最小值. 解 : 椭 圆 右 准 线 l 2 : x ? 9. 设 P 在 l 2 上 的 射 影 为 D , 由 椭 圆 第 二 定 义 有

1 | PA | ?3 | PF |?| PA | ? | PD | . 过 A 作 AE ? l 2 于 E,交椭圆于 P3, ? e ? . ? 3 | PF |?| PD | .? PD 3
P3 使得 | PA | ? | PD | 达到最小值为 7

PF

点评:利用第二定义实现了数据的转化,本小题一般情形假如题设与本题类同,所求的便是

PA ?

1 | PF | e 的最小值

六:利用椭圆的对称美

例 6 已知

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,在直线 l : x ? y ? 6 ? 0 上找一点 M,求以 F1、F2 为焦点,通 9 5

过点 M 且点 M 到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程. y F1 F1’ o F2 x 解:F1(-2,0) 、F2(2,0) ,F1 关于 l 的对称点为 F’1(-6,-4),连

2a ? F1' F2 ? 4 5 ,c=2, b2=16, 接 F’1 、 F2 交 l 于点 M 即为所求,
所求椭圆为

M

x2 y2 ? ? 1. 20 16

点评: :椭圆是一个很对称的几何图形对称是数学美的一个非常 重要的方面,充分发掘几何图形的对称性,利用数形结合的思想,可以把复杂的运算简单化. 七:利用平面几何知识 例 7:如图,在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上任意取一点 M ,经过 M 点且以椭圆 椭圆,问当 M 在何处时,所作椭圆的长轴最短,并求出最短长轴为多少? 解:椭圆的两焦点分别为 F1 (-3,0)、 F2 (3,0), 作 F1 关于直线 l 的对称点 F ,则直线 F F
' 1 ' 1 1 的方程为

x2 y2 ? ? 1 的焦点作 12 3
y N l

F1'

M P

x ? y ? ?3

? x ? y ? ?3 由方程组 ? ? x ? y ? ?9

FO 得 P 的坐标(-6,3),
1

F
2

x

' ' 由中点坐标公式得的 F1 坐标(-9,6),所以直线 F2 F1 的方程 x ? 2 y ? 3 。

解方程组 ?

?x ? 2y ? 3 ? x ? y ? ?9

' 得 M 点坐标(-5,4)。由于 F1 F2 ? 180 ? 2a ? 6 5 ,

点评:对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形边间关系或两点连线最短、垂线段最短 的思想,此法较直观,易于求解。 八、借助向量有关结论解题

y2 ?? ?? ?? PQ 例 8 P、 Q、 M、 N 四点都在椭圆 x2+ 2 =1 上, F 为椭圆在 y 轴上的焦点.已知 PF 与 共线,MF

MF =0.求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值. 与 FN 共线,且 PF ·
解∵ PF ? MF ? 0 ? PF ? MF . 即 MN ? PQ .当 MN 或 PQ 中有一条直线垂直于 x 轴时,另 一条直线必垂直于 y 轴. 不妨设 MN⊥y 轴,则 PQ⊥x 轴.∵F(0, 1) ∴MN 的方程为:y=1,PQ 的方

??

??

??

x2 ?
程为:x=0 分别代入椭圆

y2 ?1 2 中得:|MN|= 2 , |PQ|=2 2

y P
王新敞
奎屯 新疆

N F Q

1 1 ∴S 四边形 PMQN= 2 |MN|· |PQ|= 2 × 2 × 2 2 =2

M
新疆

o

x

王新敞
奎屯

当 MN,PQ 都不与坐标轴垂直时,设 MN 的方程为 y=kx+1 (k≠0),

2k 1 y2 ? 2 ? 2 x ? ?1 2 代入椭圆 中得(k2+2)x2+2kx-1=0, ∴x1+x2= k ? 2 , x1· x2= k ? 2
2

王新敞
奎屯

新疆



| MN |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k 2 )[(
2 2(1 ? k 2 ) 2k 2 ? 2

2k 2 4 2 2(1 ? k 2 ) ) ? ] ? k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2

| PQ |?
同理可得:

王新敞
奎屯

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k2 1 16 1 2k 4 ? 4k 2 ? 1 2(1 ? ) ? 2(1 ? 2 )? 2? 4 4 2 2 2 2k ? 5k ? 2 2(k ? 1/ k ) ? 5 9 2k ? 5k ? 2 = ∴S 四边形 PMQN= 2 |MN|· |PQ|=
k2 ?
(当且仅当

1 k 2 即 k ? ?1 时,取等号).

2(1 ?
又 S 四边形 PMQN =

16 k2 ? )?2 4 2 2k ? 5k ? 2 ,∴此时, 9 S 四边形 PMQN ? 2

王新敞
奎屯

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16 综上可知:(S 四边形 PMQN )max=2, (S 四边形 PMQN )min= 9

王新敞
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点评:本题求解的关键是确定四边形 PMQN 的特征,由题中 PF 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线知

MF =0。知 PF⊥MF,从而求出面积的表达式,易错点是忽略 MN PQ 与 MN 经过焦点 F,由 PF ·
或 PQ 的特殊位置关系,即忽视其斜率不存在的情形。



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