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教师版任意角与弧度制


一、任意角 1、角的推广 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 ①、按逆时针方向旋 转所形成的角叫正角 ②、顺时针方向旋转所形成的角叫负角, ③、当一条射线没有作任何旋转时,称为零角 2、象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角 象限角的注意 ①主要是固定好始边看终边 ②坐标轴上的角不叫象限角 第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ? 第二象限 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?

?

?

?

?
?

第三象限 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

?

第四象限 ? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? , k ? ?

?

?

?

?

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90? , k ? ? 3、终边相同的角的表示

?

?

?

?

S={β |β =α +k×360 ,k∈Z},即任一与角α 终边相同的角,都可以表示成角α 与整数个周角的和 任意两个角α ,β 同终边的条件是: ? ? ? ? 2k? (或 k ? 360 ? ) k ? Z

0

4、角与二倍角、半角的象限关系。 角a 角 2a 角 1/2a
1 6 页 第 1 页 共

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

5、 已知α 是第二象限的角,判断

? 所在的象限. 3

探索:若α 分别在第一、二、三、四象限, 经典考点一、任意角的概念问题

? ?

, , 2? ,3? 分别在第几象限? 2 3

1.设集合 E ? {x | x是小于90 的角} , F ? {x | x是锐角} , G ={x | x是第一象限的角} ,
?

,则下列关系成立的是( M= {x | x是小于90?,但不小于0?的角} A. B. C. ( E ?G )
o

).

D. G ? M ? F

2、已知集合 A ? {第一象限的角}, B ? {锐角}, C ? {小于 90 的角},下列四个命题: ①A? B?C 正确的命题个数是 A.1 个 B .2 个. C.3 个. D.4 个. ② A?C ③C ? A ④A?C ? B ( )

3、下列命题是真命题的是( ) Α .三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角 C.不相等的角终边一定不同 D. ? | ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z = ? | ? ? k ? 180 ? 90 , k ? Z
? ? ? ?

?

??

?

经典考点二、终边相同的角以及象限角 1、-1120°角所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ( ) D.第四象限

2.写出-720°到 720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________. 3.与 610°角终边相同的角表示为 A. k·360°+230°(k∈Z) C. k·360°+70°(k∈Z)
?
? ?

B. k·360°+250°(k∈Z) D. k·360°+270°(k∈Z)
?

4.将 ?885 化为 ? ? k ? 360 (0 ? ? ? 360 , k ? Z ) 的形式是( A. ?165 ? (?2) ? 360
? ?

) .

B. 195 ? (?3) ? 360
?

?

C. 195 ? (?2) ? 360
?

?

D. 165 ? (?3) ? 360
?

?

5.终边与坐标轴重合的角 α 的集合是 (A){α |α =k·360°,k∈Z} (C){α |α =k·180°,k∈Z}

( (B){α |α =k·180°+90°,k∈Z} (D){α |α =k·90°,k∈Z}
2 6 页 第 2 页 共

)

6.若 A ? {? | ? ? k ? 360 , k ? Z } ; B ? {? | ? ? k ?180 , k ? Z } ; C ? {? | ? ? k ? 90 , k ? Z } ,
? ? ?

则下列关系中正确的是( A. A ? B ? C C. A ? B ? C

) . B. A ? B ? C D. A 刎B
? ?

C
? ?

7.已知集合 M ? {x | x ? k ? 60 ? 30 , k ? Z } , N ? { y | y ? n ? 30 ? 60 , n ? Z } , 若 ? ? M ? N ,且 ?90? ? ? ? 90? ,则由角 ? 组成的集合为__________. 8、设集合 A ? x | k ? 360 ? 60 ? x ? k ? 360 ? 300 , k ? Z ,
? ? ? ?

?

?

B ? x | k ? 360 ? ? 210 ? ? x ? k ? 360 ? , k ? Z ,求 A ? B , A ? B .
9.已知 ? ?{? | ? ? k? ? (?1) ?
k

?

?
4
? 2

?

, k ? Z } ,判断角 ? 所在象限.
( )

10.若角 α 、β 的终边关于 y 轴对称,则 α 、β 的关系一定是(其中 k∈Z) (A) α +β =π (B) α -β = (C) α -β =(2k+1)π

(D) α +β =(2k+1)π

经典考点三、分角象限的确实 1.若α 是第四象限角,则 180°-α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 ) B.第二象限角 D.第四象限角

2.若α 是第四象限角,则 180°+α 一定是( ) Α .第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 3.角α =45°+k·90°的终边在第 象限.

D. 第四象限角

4.若 α 是第一象限角,则下列各角中一定为第四象限角的是 (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α





(D)180°+α

5.下列说法中正确的是( ). A.终边在 y 轴非负半轴上的角是直角 C.第四象限角一定是负角

B.第二象限角一定是钝角 D.若 ? ? ? ? k ? 360 (k ? Z ) ,则 ? 与 ? 终边相同
?
0 0

6、 .试写出所有终边在直线 y ? ? 3x 上的角的集合, 并指出上述集合中介于-180 和 180 之间的角.

经典考点四、区域角的表示 1.若集合 A ? ? x | k? ? 则集合 A ? B 为(

? ?

?

? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? , B ? ? x | ?2 ? x ? 2? , 3 ?

).
3 6 页 第 3 页 共

A. [?1, 0] ? [

?

3 3 2、写出 y ? ? x( x ? 0) 所夹区域内的角的集合。
3、两角和差的范围
? ?

,1]

B. [

?

, 2]

C. [?2, 0] ? [

?
3

, 2]

D. [?2,

?

] ? [ , 2] 4 3

?

(1) .设角 ? 、 ? 满足 ?180 ? ? ? ? ? 180 ,则 ? ? ? 的范围是___________. 两角和差的范围的计算 (2) 若 ? ? (?

?

,0), ? ? (0, ) ,则 ? ? ? ? _____ 3 4


?



????

___



? ? 2? ?

___

?
2

?

?
3

?

_________



若 ? 为锐角, ? 为钝角,则 ? ? 2? ? ____________;

?
2

?

?
3

?_____________。

4、如图所示的平面区域,试用角的区间表示这些角的集合(用绝对值最小的角 [?? , ? ) 表示,而不 用 [0,2? ) 表示)

5.写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(这括边界)

(1) 二、弧度制的学习

(2)

(3)

1、 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度, 2、弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。 3、弧度制的注意点 ①弧度的角与所选择圆的半径无关 ②弧度的单位是 rad 经常可以省略不写 ③弧度与角度除了零其他量都不能等同。 ④弧度是实数 4、若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α |= 弧长公式: l

?| ? | ?r .

扇形面积公式: s扇形
?

L ,其中 r 是圆的半径。 r 1 1 ? lr ? |? | ? r 2 2 2

5、弧度转化为角度: 1 弧度= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.

4 6 页 第 4 页 共

6、角度换成弧度公式: 7、熟记常用的角度和弧度 角度 弧度 三、弧度制的考点分析

1°= ? ≈0.01745
180

(一)弧度制和角度制的意义 [弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度] 1、下列说法正确的是( ) A、1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧 B、1 弧度是长度为半径的弧 C、1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和 D、弧度是角的度量单位 2、下列说法不正确的是( ) A、度和弧度是度量角的两种不同的单位 B、1 弧度是圆周的

1 所对的圆心角 2?

C、有弧度的定义一定有 180 度等于 ? 弧度 D、弧度与角度都与圆的半径相关 (二)弧度与角度的相互转化 1 弧度= 180 °
?

1°= ? ≈0.01745
180

[我们要熟练的使用 两者的转化,学会灵活运用弧度制] 1. ?300 化为弧度为(
0



A、 ?

4? 3

B、 ?

5? 3

C、 ?

7? 4

D、 ?

7? 6

2.三角形三内角的比是 7∶8∶15,各内角的弧度数分别是_______. 3、已知 A=1,B=1 度,C= C ?

?
3

,D ? ?

?
6

,试比较这四个角的大小。

4、把-1480 度写成 a ? 2k? (k ? Z ) 的形式。 (三)弧长公式与扇形公式的运用 弧长公式: l

?| ? | ?r .
o

扇形面积公式: s扇形 ?

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2
( )

[学生自己理解和推导两个公式] 1.半径为 ? cm,中心角为 120 的弧长为 A.

?
3

cm

B.

?2
3

cm

C.

2? cm 3

D.

2? 2 cm 3

2. 圆的半径变为原来的 3 倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的
5 6 页 第 5 页 共

倍. 3.将表的分针拨慢 10 分钟,则分针转过的角的弧度数是 A.
? 3





B.

? 6

C.-

? 3

D.-

? 6

4、已知扇形的周长为 20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面 积是多少? 5.在扇形 AOB 中, ?AOB ? 90°,弧 AB 的长为 l ,求此扇形内切圆的面积. (四)角的度量单位的统一 [表示的时候要注意统一好度量单位,还有用来表示集合形式时一定要注意] 1、 分别用弧度制和角度制写出在第二象限的角的范围

2、用弧度制表示出阴影部分的角的集合

6 6 页 第 6 页 共


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