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苏州市五市四区2013~2014学年第一学期期末考试(含详细答案)


2013~2014 学年第一学期期末考试 高二数学 正
一.填空题 1.直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 2.抛物线 y ? 4 x 的准线方程为
2

2014?1



▲ ▲

3.若直线 2 x ? ? m ? 1? x ? 4 ? 0 与直线 mx ? 3 y ? 4 ? 0 平行, 则m? ▲ ▲

4.若函数 f ? x ? ? x cos x ,则 f ? ? x ? ?

5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,既与 AB 也与 CC1 共面 的棱的条数为 ▲
x

6.函数 f ? x ? ? x ? 2e 的单调减区间是
3 2

▲ ▲

7.若直线 y ? ?3x ? b 是曲线 y ? x ? 3x ? 2 的一条切线,则实数 b 的值是 8. 若圆 x ? y ? m
2 2 2

? m ? 0 ? 与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相交,则实数 m 的取值范围是


▲ 9.已知 ? , ? 是不重合的平面, m, n 是不重合的直线,下列命题正确的序号为 ① m / / n, n / /? ? m / /? ; ③ ? ? ? ? n, m / /? , m / / ? ? m / / n ② m ? ?, m ? ? ? ? / /? ④? ? ? , m ? ?, n ? ? ? m ? n

10.双曲线的中心在原点,焦点在 Y 轴上,焦距为 16,一条渐近线方程为 y ? 曲线方程为 ▲

3 x ,则双 7

11.设 P, A, B, C 是球 O 表面上的四点,满足 PA, PB, PC 两两相互垂直,且 PA ? PB ? 1,

PC ? 2 ,则球 O 的表面积极是
12.点 P 是椭圆 的最大值为



x2 y 2 ? ? 1 上的动点, F1 为椭圆的左焦点,定点 M ? 6, 4 ? ,则 PM ? PF 1 25 16


2 2 13. 函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c ? a, b, c ? R ? 在区间 ? ?1, 0? 上是单调减函数, 则a ?b 的
3 2

最小值为



14. 函数 f ? x ? ? ln x, h ? x ? ?

1 2 当 x ? 1 时, 不等式 k ? x ? 1? ? xf ? x ? ? 2 g ? ? x ? ?3 x ? 2x , 2


恒成立,则整数 k 的最大值为 二.解答题 (I)求圆 C 的方程

15. (14 分)圆 C 的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为 A ?1, ?1? , B ? 3,5 ? (II)若过点 M ? ?2, 0 ? 的直线与圆 C 有且只有一个公共点,求直线 l 的方程

16. (14 分) 在三棱锥 P ? ABC 中, 已知 PA ? PB, ?ABC 为直角, 点 D, E 分别为 PB, BC 的中点 (I)求证: AD ? 平面 PBC (II)若 F 在线段 AC 上,且

AF 1 ? ,求证: AD / / 平面 PEF FC 2

17. (14 分)已知一种圆锥型金属铸件的高为 h ,底面半径为 a ,现要将它切割为圆柱体模 型(如图所示) ,并要求圆柱的体积最大,求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和 高

18. (16 分) 如图, 在矩形 ABCD 中, 已知 AB ? 3 AD, E, F 为 AB 的两个三等分点, AC , DF 交于点 G (I)建立适当的平面直角坐标系,证明: EG ? DF (II)设点 E 关于直线 AC 的对称点为 E? ,问点 E? 是否在直线 DF 上,并说明理由

19. (16 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 A ? ?1,1? ,离心率为 2 3 a b

(I)求椭圆 C 的方程 ( II)设点 B 是点 A 关于原点的对称点, P 是椭圆 C 上的动点(不同于 A, B ) ,直线 问是否存在点 P 使得 ?PAB 和 ?PMN 的 AP, BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M , N , 面积相等,若存在,求出点 P 的坐标,若不存在请说明理由

20. (16 分)函数 f ? x ? ? x ? 1 ? a ln x ? a ? R ? (I)求函数 f ? x ? 的极值 (II)若 a ? 0 ,对于任意 x1 , x2 ? ? 0,1? ,且 x1 ? x2 ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 求实数 a 的取值范围

1 1 ? , x1 x2

21.求曲线 y ? 2sin 3x 在 x ?

?
4

理科附加题(每题 10 分)
处的切线方程

22.在平面直角坐标系中,已知 A ? ?1, 0 ? , B ?1, 0 ? ,求满足 PA2 ? PB2 ? 4 且在圆 x ? y
2

2

? 4 上的点 P 的坐标

23.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC, AB ? AC ? 2

A1 A ? 4 ,点 D 是 BC 的中点
(I)求异面直线 A1 B, AC1 所成角的余弦值 (II)求直线 AB1 与平面 C1 AD 所成角的正弦值

24.如图,投抛物线 x ? 2 py ? p ? 0 ? , M 为直线 y ? ?2 p 上任意一点,过 M 引抛物线的
2

切线,切点分别为 A, B .求证: A, M , B 三点的横坐标成等差数列

参考解答
一.填空题 1. 45
0

2. x ? ?1

3. ?3

4. cos x ? x sin x

5. 5

6. ? ? ln 2, ?? ? 11. 6? 二.解答题
2

7. 3

8. ?1,11?

9.②③④

10.

x2 y 2 ? ?1 36 28

12. 15
2

13.

9 5

14. 4

15. (I) ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 10 (II) 3x ? y ? 6 ? 0 or x ? 3 y ? 2 ? 0 16.略 17.圆柱的最大体积

4 2 1 ? ha 2 ,相应底面半径 a ,高为 h 27 3 3

18. (I) (II) E? 在直线 DF 上 19. (I)

x2 3 y 2 ? ?1 4 4 ?3 33 ? (II)存在点 P ? , ? ? 使得这两个三角形的面积相等 ?5 9 ? ? ?
若 a ? 0 ,则存在极小值 f ? a ? ? a ? 1 ? a ln a

20. (I)若 a ? 0 ,不存在极值 (II) a ? ? ?3, 0 ?

====================================

附加题参考解答
21. y ? ?3 2 x ?

3 2 ?? 2 4

22. P ? 2, 0 ? 或 P ? 0, 2 ?

23. (I) 24.略

4 5 4 ; (II) 15 5



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