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第八节 三角函数的实际应用


第八节 三角函数的实际应用

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第八节

三角函数的实际应用

1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标 视线在水平视线 上方时叫仰角,目标视线在水平视线 下方 时 叫俯角.(如图(a)).

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2.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的 水平夹角叫做方位角.如 B 点的方位角为 α(如图(b)). 3.方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角, 通常表达为 北(南)偏东(西)××度.

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易混淆方位角与方向角概念:方位角是指北方向与目标 方向线按顺时针之间的夹角,而方向角是正北或正南方向线 与目标方向线所成的锐角.

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[试一试]
(2013· 南京一模)如图,海岸线上有相距 5 n mile 的 两座灯塔 A, B, 灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向. 海 上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔 A 的北偏西 75° 方 向, 与 A 相距 3 2 n mile 的 D 处; 乙船位于灯塔 B 的北偏西 60° 方向,与 B 相距 5 n mile 的 C 处,则两艘船之间 的距离为________n mile.

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解析:连结 AC,BC=AB=5,∠ABC=60° ,所以△ABC 为等 边三角形,所以 AC=5,且∠DAC=180° -75° -60° =45° .在△ π ACD 中由余弦定理得 CD = (3 2) + 5 - 2×3 2×5×cos = 4
2 2 2

13,故两艘船之间的距离为 13 n mile.
答案: 13

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把握解三角形应用题的四步
(1)阅读理解题意, 弄清问题的实际背景, 明确已知与未知, 理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题

的模型; (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解;

(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关 单位问题、近似计算的要求等.

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[练一练]

如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量 者在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的 距离为 50 m, ∠ACB=45° , ∠CAB=105° , 则 A,B 两点的距离为________m.
解析:由正弦定理得 2 50 × AC· sin ∠ACB 2 AB= = =50 2(m). sin B 1 2 答案:50 2
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研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅 助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问 题, 从而利用正、 余弦定理求解. 归纳起来常见的命题角度有:
(1)两点都不可到达; (2)两点不相通的距离; (3)两点间可视但有一点不可到达.
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角度一 两点都不可到达 1.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两
点均不可到达,测出 AB 的距离,测量者 可以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时在 C,D 两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 AB. 3 若测得 CD= km,∠ADB=∠CDB=30° ,∠ACD= 2 60° ,∠ACB=45° ,求 A,B 两点间的距离.
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解:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60° ,∠ACD=60° , ∴∠DAC=60° , 3 ∴AC=DC= . 2 在△BCD中,∠DBC=45° , DC 由正弦定理,得BC= · sin∠BDC= sin∠DBC 3 2 6 · sin 30° = . sin 45° 4

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在△ABC中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos 45° 3 3 3 6 2 3 = + -2× × × = . 4 8 2 4 2 8 6 ∴AB= (km). 4 6 ∴A,B两点间的距离为 km. 4

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角度二

两点不相通的距离

2.如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点 间的距离,其方法先选定适当的位置 C, 用经纬仪测出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a, 则可求出 A,B 两点间的距离. 即 AB= a2+b2-2abcos α. 若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60° ,试 计算 AB 的长.

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解:在△ABC中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos ∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60° =280 000. ∴AB=200 7 m. 7 m.

即A,B两点间的距离为200

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角度三

两点间可视但有一点不可到达

3. 如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测 量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出 AB 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一 点 C,可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测出∠ACB=α, ∠CAB=β,在△ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB. 若测出 AC=60 m,∠BAC=75° ,∠BCA=45° ,则 A,B 两点 间的距离为________.

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解析:∠ABC=180° -75° -45° =60° , AB AC 所以由正弦定理得, = , sin C sin B AC· sin C 60×sin 45° ∴AB= = =20 6(m). sin B sin 60° 即A,B两点间的距离为20 6 m.

答案:20 6 m

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[类题通法]
求距离问题的注意事项

(1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角 形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在 另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择

更便于计算的定理.

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[典例]

某气象仪器研究所按以下方案测试一

种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A, B,C 三地位于同一水平面上,在 C 处进行该仪器 的垂直弹射,观测点 A,B 两地相距 100 米,∠BAC=60° ,在 2 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒.在 A 地测得该仪器至 17 最高点 H 时的仰角为 30° ,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音 在空气中的传播速度为 340 米/秒)
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[解]

由题意,设AC=x,

2 则BC=x- ×340=x-40, 17 在△ABC中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos ∠BAC, 即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420,∠CAH=30° ,∠ACH=90° , 所以CH=AC· tan ∠CAH=140 3(米). 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 3米.
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[类题通法]
求解高度问题的注意事项 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都 是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角;

(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图;

(3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问 题的答案,注意方程思想的运用.

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[针对训练] (2010· 江苏高考)某兴趣小组要测量电视塔 AE
的高度 H(单位:m).示意图如图所示,垂直 放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE =α,∠ADE=β. (1)该小组已测得一组 α,β 的值,tan α=1.24,tan β=1.20,
请据此算出 H 的值;

(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔 的距离 d(单位: m), 使 α 与 β 之差较大, 可以提高测量精确度. 若 电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α-β 最大?
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H h H 解:(1)由 AB= ,BD= ,AD= 及 AB+BD=AD, tan α tan β tan β H h H 得 + = ,解得 tan α tan β tan β 4×1.24 htan α H= = =124. tan α-tan β 1.24-1.20 因此电视塔的高度 H 是 124 m. H (2)由题知 d=AB,则 tan α= d . H- h H h 由 AB=AD-BD= - ,得 tan β= d , tan β tan β
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tan α-tan β 所以 tan(α-β)= 1+tan αtan β h h = ≤ , H?H-h? 2 H?H-h? d+ d 当且仅当 d= H?H-h?= 125×?125-4?=55 5时取等号. π 又 0<α-β< ,所以当 d=55 5时,tan(α-β)的值最大,即 α 2 -β 的值最大.

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[典例]

在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发

现在北偏东 45° 方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小 艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75° 方向前进, 若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45° +α 方向拦截蓝方的 小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方 侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

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[解]

如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处

追上蓝方的小艇, 则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120° . 根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120° ,解得x=2. 故AC=28,BC=20. 根据正弦定理得 BC AC = , sin α sin 120°

20sin 120° 5 3 解得sin α= = . 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为 . 14
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[类题通法]
解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方位角的含义;
(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示 意图,这是最关键、最重要的一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意

正、余弦定理的“联袂”使用.

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[针对训练]
如图所示,处于A处的信息中心获悉:在其正东方 向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待 营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30° ,相 距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前 往B处救援,求cos θ的值.

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解:在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120° . 由余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 40 +20
2 2

120° =

? 1? -2×40×20×?-2?=2 ? ?

800,

所以BC=20 7. AB BC 由正弦定理得: = , sin∠ACB sin∠BAC AB 40 3 21 故sin∠ACB=BCsin∠BAC= × = . 7 20 7 2

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2 7 又∠ACB为锐角,所以cos∠ACB= . 7 又θ=∠ACB+30° , 所以cos θ=cos(∠ACB+30° )=cos∠ACBcos 30° - 2 7 3 21 1 21 sin∠ACBsin 30° = × - × = . 7 2 7 2 14

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[课堂练通考点]
1.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔, 海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70° ,在 B 处观察灯 塔, 其方向是北偏东 65° , 那么 B, C 两点间的距离是________ 海里.

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解析:如图所示,易知,在△ABC 中,AB =20 海里,∠CAB=30° ,∠ACB=45° , BC AB 根据正弦定理得 = ,解得 BC sin 30° sin 45° =10 2(海里).
答案:10 2

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2.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同 一水平面上, 由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° , 而且两 条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距________m.

解析:如图,OM=AOtan 45° =30(m), 3 ON=AOtan 30° = ×30=10 3(m), 3 在△MON 中,由余弦定理得, MN= 3 900+300-2×30×10 3× 2

= 300=10 3(m). 答案:10 3
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3.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正 北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当 甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船 航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的 北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问:乙船 每小时航行多少海里?

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解: 如图, 连接 A1B2, 由已知 A2B2=10 2, 20 A1A2=30 2× =10 2, 60 ∴A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知,A1B1=20, ∴∠B1A1B2=105° -60° =45° ,
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在△A1B2B1 中,由余弦定理得
2 2 B1B2 = A B + A B A1B2· cos 45° 2 1 1 1 2-2A1B1·

2 =20 +(10 2) -2×20×10 2× =200, 2
2 2

∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度为 ×60=30 20 2(海里/时).

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“课下提升考能”见“课 时跟踪检测(二十 四)”(进入电子文档)

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谢谢观看

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