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《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线、平面平行的判定及性质


第四节

直线、平面平行的判定及性质

[知识能否忆起] 一、直线与平面平行 1.判定定理 文字语言 平面外一条直线与此平 判定定理 面内的一条直线平行,则 直线与此平面平行 图形语言 符号语言 a?α ? ? b?α? ?a∥α b∥a? ?

2.性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平 性质定理 行,则过这条直线的任 一平面与此平面的交线 与该直线平行 a∥α 图形语言 符号语言

? ? a?β ? ?a∥b α∩β=b? ?

二、平面与平面平行 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言

一个平面内的两条相交 判定定理 直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行

? ? a∩b=P ? ?α∥ a∥β ? ? b∥β
a?α b?α β

2.两平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

如果两个平行平面同时 性质定理 和第三个平面相交,那 么它们的交线平行

α∥β

α∩γ=a? ?a∥b β∩γ=b? ?

? ?

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)下列条件中,能作为两平面平行的充分条件的是( A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析:选 D 由面面平行的定义可知,一平面内所有的直线都平行于另一个平面时,两 平面才能平行,故 D 正确. 2.已知直线 a,b,平面 α,则以下三个命题: ①若 a∥b,b?α,则 a∥α; ②若 a∥b,a∥α,则 b∥α; ③若 a∥α,b∥α,则 a∥b. 其中真命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3 )

解析:选 A 对于命题①,若 a∥b,b?α,则应有 a∥α 或 a?α,所以①不正确; 对于命题②,若 a∥b,a∥α,则应有 b∥α 或 b?α,因此②也不正确;

对于命题③,若 a∥α,b∥α,则应有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面,因此③也不正 确. 3.(教材习题改编)若一直线上有相异三个点 A,B,C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的位置关系是( A.l∥α C.l 与 α 相交且不垂直 ) B.l⊥α D.l∥α 或 l?α

解析:选 D 由于 l 上有三个相异点到平面 α 的距离相等,则 l 与 α 可以平行,l?α 时 也成立. 4.平面 α∥平面 β,a?α,b?β,则直线 a,b 的位置关系是________. 解析:由 α∥β 可知,a,b 的位置关系是平行或异面. 答案:平行或异面 5. (2012· 衡阳质检)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 是 DD1 的中点, BD1 与平面 ACE E 则

的位置关系为________. 解析:如图. 连接 AC, 交于 O 点, BD 连接 OE, 因为 OE∥BD1, OE?平面 ACE, 1?平面 ACE, 而 BD 所以 BD1∥平面 ACE. 答案:平行

1.平行问题的转化关系: ― 线∥线 判定? ? ? ? 线∥面 ― → 面∥面 性质 性质 性质 2. 在解决线面、 面面平行的判定时, 一般遵循从“低维”到“高维”的转化, 即从“线 线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在性质定理的应用中,其顺序恰好相反, 但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”. 3.辅助线(面)是求证平行问题的关键,注意平面几何中位线,平行四边形及相似中有 关平行性质的应用.
判定 判定

线面平行、面面平行的基本问题

典题导入 [例 1] (2011· 福建高考)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2, 点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长 度等于________. [自主解答] 因为直线 EF∥平面 AB1C,EF?平面 ABCD,且平面

AB1C∩平面 ABCD=AC,所以 EF∥AC.又因为点 E 是 DA 的中点,所以 F 是 DC 的中点, 1 由中位线定理可得 EF= AC.又因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,所以 AC=2 2. 2 所以 EF= 2. [答案] 2

本例条件变为“E 是 AD 中点,F,G,H,N 分别是 AA1,A1D1,DD1 与 D1C1 的中点, 若 M 在四边形 EFGH 及其内部运动”,则 M 满足什么条件时,有 MN∥平面 A1C1CA. 解:如图, ∵GN∥平面 AA1C1C,

EG∥平面 AA1C1C, 又 GN ∩EG=G, ∴平面 EGN∥平面 AA1C1C. ∴当 M 在线段 EG 上运动时,恒有 MN∥平面 AA1C1C.

由题悟法 解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意: (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽 视. (2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确. 以题试法 1.(1)(2012· 浙江高三调研)已知直线 l∥平面 α,P∈α,那么过点 P 且平行于直线 l 的直 线( ) A.只有一条,不在平面 α 内 B.有无数条,不一定在平面 α 内 C.只有一条,且在平面 α 内 D.有无数条,一定在平面 α 内 解析:选 C 由直线 l 与点 P 可确定一个平面 β,且平面 α,β 有公共点,因此它们有 一条公共直线,设该公共直线为 m,因为 l∥α,所以 l∥m,故过点 P 且平行于直线 l 的直 线只有一条,且在平面 α 内. (2)(2012· 潍坊模拟)已知 m,n,l1,l2 表示直线,α,β 表示平面.若 m?α,n?α,l1?β, l2?β,l1∩l2=M,则 α∥β 的一个充分条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥l2 )

B.m∥β 且 n∥β D.m∥l1 且 n∥l2

解析: D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行, 选 那么这 两个平面平行”可得,由选项 D 可推知 α∥β.

直线与平面平行的判定与性质

典题导入 [例 2] (2012· 辽宁高考)如图, 直三棱柱 ABC-A′B′C′, ∠BAC=90° ,AB=AC= 2,AA′=1,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点.

(1)证明:MN∥平面 A′ACC′; 1 (2)求三棱锥 A′-MNC 的体积.(锥体体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高) 3 [自主解答] (1)证明:法一:连接 AB′、AC′,因为点 M,N 分别是 A′B 和 B′C′的中点, 所以点 M 为 AB′的中点. 又因为点 N 为 B′C′的中点, 所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′, AC′?平面 A′ACC′, 因此 MN∥平面 A′ACC′. 法二:取 A′B′的中点 P.连接 MP. 而点 M,N 分别为 AB′与 B′C′的中点,所以 MP∥AA′, PN∥A′C′. 所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′.又 MP∩PN =P, 因此平面 MPN∥平面 A′ACC′.而 MN?平面 MPN, 因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)法一:连接 BN,由题意得 A′N⊥B′C′,平面 A′B′C′∩平面 B′BCC′= B′C′,所以 A′N⊥平面 NBC. 1 又 A′N= B′C′=1, 2 1 1 1 故 VA′-MNC=VN-A′MC= VN-A′BC= VA′-NBC= . 2 2 6 1 1 法二:VA′-MNC=VA′-NBC-VM-NBC= VA′-NBC= . 2 6 由题悟法 利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线, 可先直观判断平 面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线. 以题试法 2.(2012· 淄博模拟)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BD,BB1 的中点. (1)求证:EF∥平面 A1B1CD; (2)求证:EF⊥AD1.

解:(1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,连接 B1D, 在平面 BB1D 内,E,F 分别为 BD,BB1 的中点, ∴EF∥B1D. 又∵B1D?平面 A1B1CD. EF?平面 A1B1CD, ∴EF∥平面 A1B1CD. (2)∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体, ∴AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1. 又 A1D∩A1B1=A1, ∴AD1⊥平面 A1B1D. ∴AD1⊥B1D. 又由(1)知,EF∥B1D,∴EF⊥AD1.

平面与平面平行的判定与性质

典题导入 [例 3] 如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,G 在 BB1 上,且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点. (1)求证:E,B,F,D1 四点共面; (2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F. [自主解答] (1)在正方形 AA1B1B 中, ∵AE=B1G=1, ∴BG=A1E=2, ∴BG 綊 A1E. ∴四边形 A1GBE 是平行四边形. ∴A1G∥BE. 又 C1F 綊 B1G, ∴四边形 C1FGB1 是平行四边形. ∴FG 綊 C1B1 綊 D1A1. ∴四边形 A1GFD1 是平行四边形. ∴A1G 綊 D1F. ∴D1F 綊 EB. 故 E,B,F,D1 四点共面.

3 (2)∵H 是 B1C1 的中点,∴B1H= . 2 B1G 2 又 B1G=1,∴ = . B1H 3 又 FC 2 = ,且∠FCB=∠GB1H=90° , BC 3

∴△B1HG∽△CBF. ∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG. ∴HG∥FB. ∵GH?面 FBED1,FB?面 FBED1,∴GH∥面 BED1F. 由(1)知 A1G∥BE,A1G?面 FBED1,BE?面 FBED1, ∴A1G∥面 BED1F. 且 HG∩A1G=G, ∴平面 A1GH∥平面 BED1F. 由题悟法 常用的判断面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理; (2)面面平行的传递性(α∥β,β∥γ?α∥γ); (3)利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β?α∥β). 以题试法 3.(2012· 北京东城二模)如图,矩形 AMND 所在的平面与直角梯 形 MBCN 所在的平面互相垂直,MB∥NC,MN⊥MB. (1)求证:平面 AMB∥平面 DNC; (2)若 MC⊥CB,求证:BC⊥AC. 证明:(1)因为 MB∥NC,MB?平面 DNC,NC?平面 DNC, 所以 MB∥平面 DNC. 又因为四边形 AMND 为矩形,所以 MA∥DN. 又 MA?平面 DNC,DN?平面 DNC. 所以 MA∥平面 DNC. 又 MA∩MB=M,且 MA,MB?平面 AMB, 所以平面 AMB∥平面 DNC. (2)因为四边形 AMND 是矩形, 所以 AM⊥MN. 因为平面 AMND⊥平面 MBCN,且平面 AMND∩平面 MBCN=MN, 所以 AM⊥平面 MBCN.

因为 BC?平面 MBCN, 所以 AM⊥BC. 因为 MC⊥BC,MC∩AM=M, 所以 BC⊥平面 AMC. 因为 AC?平面 AMC, 所以 BC⊥AC.

1.(2013· 浙江模拟)已知直线 m⊥平面 α,直线 n?平面 β,则下列命题正确的是( A.若 n∥α,则 α∥β C.若 m⊥n,则 α∥β 解析:选 D 由 m⊥α,α∥β,n?β?m⊥n. 2.平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α ) B.若 α⊥β,则 m∥n D.若 α∥β,则 m⊥n

)

解析:选 D 若 α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,a∥α,a∥β,故排除 A.若 α∩β=l,a?α, a∥l,则 a∥β,故排除 B.若 α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,则 α∥β,b∥α,故排除 C. 3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点, 在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( A.不存在 C.有 2 条 B.有 1 条 D.有无数条 )

解析:选 D 由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1, 由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线 l,在平面 ADD1A1 内与 l 平行的线有 无数条,且它们都不在平面 D1EF 内,由线面平行的判定定理知它们都与平面 D1EF 平行. 4.(2012· 浙江模拟)已知 α,β,γ 是三个不重合的平面,a,b 是两条不重合的直线,有 下列三个条件:①a∥γ,b?β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.如果命题“α∩β=a,b?γ, 且________,则 a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是( A.①或② C.①或③ B.②或③ D.只有② )

解析:选 C 由定理“一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的

交线与该直线平行”可得,横线处可填入条件①或③,结合各选项知,选 C. 5.(2012· 开封模拟)如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 边 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H、G 分别为 BC, CD 的中点,则( )

A.BD∥平面 EFGH,且四边形 EFGH 是矩形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是菱形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是平行四边形 1 解析:选 B 由 AE∶EB=AF∶FD=1∶4 知 EF 綊 BD,∴EF∥面 BCD.又 H,G 分别 5 为 BC,CD 的中点, 1 ∴HG 綊 BD,∴EF∥HG 且 EF≠HG. 2 ∴四边形 EFGH 是梯形. 6.(2012· 山西四校联考)在空间内,设 l,m,n 是三条不同的直线,α,β,γ 是三个不 同的平面,则下列命题中为假命题的是( A.α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则 l⊥γ B.l∥α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m C.α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥m,则 l∥n D.α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β 或 α∥β 解析:选 D 对于 A,∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直 于第三个平面,∴该命题是真命题;对于 B,∵如果一条直线平行于两个相交平面,那么该 直线平行于它们的交线,∴该命题是真命题;对于 C,∵如果三个平面两两相交,有三条交 线,那么这三条交线交于一点或相互平行,∴该命题是真命题;对于 D,当两个平面同时垂 直于第三个平面时,这两个平面可能不垂直也不平行,∴D 不正确. 7.设 a,b 为空间的两条直线,α,β 为空间的两个平面,给出下列命题: ①若 a∥α,a∥β,则 α∥β;②若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β; ③若 a∥α,b∥α,则 a∥b;④若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b. 上述命题中,所有真命题的序号是________. 解析:①错误.因为 α 与 β 可能相交;③错误.因为直线 a 与 b 还可能异面、相交. 答案:②④ 8.已知平面 α∥β,P?α 且 P?β,过点 P 的直线 m 与 α,β 分别交于 A.C,过点 P 的直 线 n 与 α,β 分别交于 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8 则 BD 的长为________. 解析:如图 1,∵AC∩BD=P, ∴经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. )

∵α∥β,α∩平面 PCD=AB,β∩平面 PCD=CD, ∴AB∥CD. ∴ PA PB 6 8-BD = ,即 = . AC BD 9 BD

24 ∴BD= . 5 如图 2,同理可证 AB∥CD. ∴ PA PB 6 BD-8 = ,即 = . PC PD 3 8

∴BD=24. 24 综上所述,BD= 或 24. 5 24 答案: 或 24 5 9.(2012· 浙江模拟)下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为 其所在棱的中点,能得出直线 AB∥平面 MNP 的图形的序号是________.(写出所有符合要 求的图形序号)

解析:对于①,注意到该正方体的经过直线 AB 的侧面与平面 MNP 平行,因此直线 AB 平行于平面 MNP;对于②,注意到直线 AB 和过点 A 的一个与平面 MNP 平行的平面相交, 因此直线 AB 与平面 MNP 相交;对于③,注意到直线 AB 与 MP 平行,且直线 AB 位于平面 MNP 外,因此直线 AB 与平面 MNP 平行;对于④,易知此时 AB 与平面 MNP 相交.综上所 述,能得出直线 AB 平行于平面 MNP 的图形的序号是①③. 答案:①③ 10.(2013· 西安模拟)如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面,CE∥ DF,∠DEF=90° . (1)求证:BE∥平面 ADF; (2)若矩形 ABCD 的一边 AB= 3,EF=2 3,则另一边 BC 的长为 何值时,三棱锥 F-BDE 的体积为 3? 解:(1)证明:过点 E 作 CD 的平行线交 DF 于点 M,连接 AM. 因为 CE∥DF, 所以四边形 CEMD 是平行四边形. 可得 EM=CD 且 EM∥CD,

于是四边形 BEMA 也是平行四边形, 所以有 BE∥AM. 而 AM?平面 ADF,BE?平面 ADF, 所以 BE∥平面 ADF. (2)由 EF=2 3,EM=AB= 3, 得 FM=3 且∠MFE=30° . 由∠DEF=90° 可得 FD=4, 从而得 DE=2. 因为 BC⊥CD,BC⊥FD, 所以 BC⊥平面 CDFE. 1 所以,VF-BDE=VB-DEF= S△DEF×BC. 3 1 因为 S△DEF= DE×EF=2 3,VF-BDE= 3, 2 3 所以 BC= . 2 3 综上当 BC= 时,三棱锥 F-BDE 的体积为 3. 2 11.如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰 梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,在棱 AB 上是否存在一点 F,使平面 C1CF∥平面 ADD1A1?若存在,求点 F 的位置;若不存在,请说明 理由. 解:存在这样的点 F,使平面 C1CF∥平面 ADD1A1,此时点 F 为 AB 的中点,证明如下: ∵AB∥CD,AB=2CD, ∴AF 綊 CD,∴四边形 AFCD 是平行四边形, ∴AD∥CF. 又 AD?平面 ADD1A1,CF?平面 ADD1A1. ∴CF∥平面 ADD1A1. 又 CC1∥DD1,CC1?平面 ADD1A1, DD1?平面 ADD1A1, ∴CC1∥平面 ADD1A1, 又 CC1,CF?平面 C1CF,CC1∩CF=C, ∴平面 C1CF∥平面 ADD1A1. 12.(2013· 潍坊二模)如图,点 C 是以 AB 为直径的圆上一点,直

1 角梯形 BCDE 所在平面与圆 O 所在平面垂直,且 DE∥BC,DC⊥BC,DE= BC=2,AC= 2 CD=3. (1)证明:EO∥平面 ACD; (2)证明:平面 ACD⊥平面 BCDE; (3)求三棱锥 E-ABD 的体积. 解:(1)证明:如图,取 BC 的中点 M,连接 OM,ME. 在△ABC 中,O 为 AB 的中点,M 为 BC 的中点, ∴OM∥AC. 1 在直角梯形 BCDE 中,DE∥BC,且 DE= BC=CM, 2 ∴四边形 MCDE 为平行四边形.∴EM∥DC. ∴平面 EMO∥平面 ACD, 又∵EO?平面 EMO, ∴EO∥平面 ACD. (2)证明:∵C 在以 AB 为直径的圆上,∴AC⊥BC. 又∵平面 BCDE⊥平面 ABC,平面 BCDE∩平面 ABC=BC. ∴AC⊥平面 BCDE. 又∵AC?平面 ACD, ∴平面 ACD⊥平面 BCDE. (3)由(2)知 AC⊥平面 BCDE. 1 1 又∵S△BDE= ×DE×CD= ×2×3=3, 2 2 1 1 ∴VE-ABD=VA-BDE= ×S△BDE×AC= ×3×3=3. 3 3

1.若平面 α∥平面 β,直线 a∥平面 α,点 B∈β,则在平面 β 内与过 B 点的所有直线中 ( ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一与 a 平行的直线 解析:选 A 当直线 a 在平面 β 内且经过 B 点时,可使 a∥平面 α,但这时在平面 β 内 过 B 点的所有直线中,不存在与 a 平行的直线,而在其他情况下,都可以存在与 a 平行的 直线.

2.(2012· 南宁二模)如图所示,在四面体 ABCD 中,M,N 分别是 △ACD,△BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行的是 ________________. 解析:连接 AM 并延长,交 CD 于 E,连接 BN,并延长交 CD 于 EM F, 由重心性质可知, F 重合为一点, E, 且该点为 CD 的中点 E, 由 MA EN 1 = = ,得 MN∥AB.因此,MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD. NB 2 答案:平面 ABC,平面 ABD 3.(2012· 北京东城区模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M,N 分别是 AB,AC 的中点,G 是 DF 上的一动点.

(1)求该多面体的体积与表面积; (2)求证:GN⊥AC; (3)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP∥平面 FMC,并给出证明. 解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF 中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a, 1 所以该多面体的体积为 a3. 2 1 表面积为 a2×2+ 2a2+a2+a2=(3+ 2)a2. 2 (2)连接 DB,FN,由四边形 ABCD 为正方形,且 N 为 AC 的中点 知 B,N,D 三点共线,且 AC⊥DN. 又∵FD⊥AD,FD⊥CD, AD∩CD=D, ∴FD⊥平面 ABCD. ∵AC?平面 ABCD,∴FD⊥AC. 又 DN∩FD=D, ∴AC⊥平面 FDN. 又 GN?平面 FDN, ∴GN⊥AC. (3)点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC.

取 FC 的中点 H,连接 GH,GA,MH. ∵G 是 DF 的中点, 1 ∴GH 綊 CD. 2 又 M 是 AB 的中点, 1 ∴AM 綊 CD. 2 ∴GH∥AM 且 GH=AM. ∴四边形 GHMA 是平行四边形. ∴GA∥MH. ∵MH?平面 FMC,GA?平面 FMC, ∴GA∥平面 FMC,即当点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC.

1.已知 m,n,l 为三条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( ) A.α∥β,m?α,n?β?m∥n B.l⊥β,α⊥β?l∥α C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.α∥β,l⊥α?l⊥β 解析:选 D 对于选项 A,m,n 平行或异面;对于选项 B,可能出现 l?α 这种情形; 对于选项 C,可能出现 n?α 这种情形. 2.如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1, 底面为正三角形, 侧棱 A1A⊥底面 ABC, 点 E, 分别是棱 CC1, 1 上的点, M 是线段 AC 上的动点, F BB 点 EC=2FB. 当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF? 解:法一:如图,取 AE 的中点 O,连接 OF,过点 O 作 OM⊥AC 于 点 M. ∵侧棱 A1A⊥底面 ABC, ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC, ∴OM⊥底面 ABC. 1 又∵EC=2FB,∴OM 綊 FB 綊 EC. 2 ∴四边形 OMBF 为矩形. ∴BM∥OF. 又∵OF?面 AEF,BM?面 AEF. 故 BM∥平面 AEF,此时点 M 为 AC 的中点. 法二:如图,取 EC 的中点 P,AC 的中点 Q,连接 PQ,PB,BQ,

∴PQ∥AE.∵EC=2FB, ∴PE 綊 BF,PB∥EF, ∴PQ∥平面 AEF,PB∥平面 AEF. 又 PQ∩PB=P, ∴平面 PBQ∥平面 AEF, 又∵BQ?面 PQB,∴BQ∥平面 AEF. 故点 Q 即为所求的点 M,此时点 M 为 AC 的中点. 3.(2012· 蚌埠二中质检)如图 1 所示,在 Rt△ABC 中,AC=6,BC=3,∠ABC=90° , CD 为∠ACB 的角平分线,点 E 在线段 AC 上,CE=4.如图 2 所示,将△BCD 沿 CD 折起, 使得平面 BCD⊥平面 ACD,连接 AB,设点 F 是 AB 的中点.

(1)求证:DE⊥平面 BCD; (2)若 EF∥平面 BDG,其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点,求三棱锥 B-DEG 的体 积. 解:(1)证明:∵AC=6,BC=3,∠ABC=90° , ∴∠ACB=60° . ∵CD 为∠ACB 的角平分线,∴∠BCD=∠ACD=30° . ∴CD=2 3. ∵CE=4,∠DCE=30° ,∴DE=2. 则 CD2+DE2=EC2.∴∠CDE=90° ,DE⊥DC. 又∵平面 BCD⊥平面 ACD,平面 BCD∩平面 ACD=CD,DE?平面 ACD, ∴DE⊥平面 BCD. (2)∵EF∥平面 BDG,EF?平面 ABC,平面 ABC∩平面 BDG=BG,∴EF∥BG. ∵点 E 在线段 AC 上,CE=4,点 F 是 AB 的中点, ∴AE=EG=CG=2.

如图,作 BH⊥CD 于 H.∵平面 BCD⊥平面 ACD, ∴BH⊥平面 ACD. 3 由条件得 BH= , 2

1 1 1 S△DEG= S△ACD= × AC· sin 30° 3, CD· = 3 3 2 1 1 3 3 ∴三棱锥 B-DEG 的体积 V= S△DEG· BH= × 3× = . 3 3 2 2


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