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偏导数概念及其计算


第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数

第九章

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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅

中的 x 固定于 x0 处, 求

关于 t 的

一阶导数与二阶导数.

u

u ( x0 , t )

u(x , t )

O

x0

x

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定义1. 设函数 z ? f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限

x0 ? ?x

?x

x0

存在, 则称此极限为函数 z ? f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数,记为

?f ; zx ? x ( x0 , y 0 )

( x0 , y 0 )

;

f ( x0 ? ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) ? lim ?0 x f ( x? x? ?x) ? f ( x0 ) ?d y 0 f ?( x0 ) ? lim ? ?x ? 0 ?x d x x ? x0
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f1?( x0 , y0 ) .

同样可定义对 y 的偏导数

f y ( x0 , y0 ) ? lim

f ( x0 , y0 ? ?y) ? f ( x0 , y0 )

? y ?0

?y

若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为

?z ? f ? , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) ?y ?y
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为

x ? ?x

x

?x
f y ( x, y , z ) ? ?

f z ( x, y, z ) ? ?

(请自己写出)

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二元函数偏导数的几何意义:

?f ?x

z
M0 Tx

x ? x0 y? y0

d ? f ( x, y 0 ) x ? x0 dx

Ty

? z ? f ( x, y )在点 M 处的切线 是曲线 ? 0 y ? y0 ? O M 0Tx 对 x 轴的斜率. x0 ?f d f ( x0 , y) x ? x0 ? x y ? y0 ? y y? y0 d y
是曲线 斜率.
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y0
( x0 , y0 )

y

在点M0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的

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注意: 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.

? xy , x2 ? y2 ? 0 ? 2 例如, z ? f ( x, y ) ? ? x ? y 2 ? 0 , x2 ? y2 ? 0 ?
显然

?0 ?0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例 目录 上页 下页 返回 结束

例1 . 求 z ? x 2 ? 3x y ? y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. ?z ?z ? 2x ? 3y , ? 3x ? 2 y 解法1 先求后代 ?x ?y ?z ?z ? ? y (1, 2) ? x (1, 2)
解法2

z

? x 2 ? 6x ? 4 y ?2
?z ? x (1, 2)

先代后求

z

x ?1 ? 1 ? 3 y ?

y

2

?z ? y (1, 2)
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y ) 求证 例2. 设 z ? x ( x ? 0, 且 x ? 1 , x ?z 1 ?z ? ? 2z y ? x ln x ? y

证:

x ?z 1 ?z ? ? y ? x ln x ? y

? 2z

例3. 求 的偏导数 . 2x x ?r ? ? 解: 2 2 2 ?x 2 x ? y ? z r ?r z ? ?z r
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(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: ? p ? ?V ? ?T ? ?1 ?V ?T ? p RT ?p RT ?? 2 , 证: p ? 说明: 此例表明, ?V V V 偏导数记号是一个 RT ?V R V? , ? p ?T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !

? p ?V ?T RT ? ? ? ?? ? ?1 ?V ?T ? p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ?z ?z ? f x ( x, y ) , ? f y ( x, y ) ?x ?y 若这两个偏导数仍存在偏导数, 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:

? ?z ?2z ? ?z ? 2 z ( )? ? f x y ( x, y ) ( ) ? 2 ? f x x ( x, y ); ? y ? x ? x? y ?x ?x ?x
2 ? ?z ?2z ? ?z ? z ( )? ? f y x ( x, y ); ( ) ? 2 ? f y y ( x, y ) ? x ? y ? y? x ?y ?y ?y
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类似可以定义更高阶的偏导数.
例如,z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为

z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为

? ( ?y

? z ) ? n ?1 ?x ? y
n

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?3 z . 例5. 求函数 z ? e x ? 2 y 的二阶偏导数及 2 ? y? x ?z ?z 解: ? 2 e x?2y ? e x?2y ?y ?x ? z e x?2y ? 2 ?x 2 ?2 z ? z x?2y ? 4 e x?2y ? 2e 2 ? y? x ?y 3 2 ? z ? ? z ? ( ) ? 2 e x?2y ? y? x 2 ? x ? y? x ?2z ?2z ? , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 ? x? y ? y? x
2
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?2z ? 2 e x?2y ? x? y

例如, f ( x, y ) ?
4

x2 ? y 2 xy 2 , x2 ? y 2 ? 0 x ? y2 0, x2 ? y 2 ? 0
2 2 4

x ? 4x y ? y y , x2 ? y2 ? 0 f x ( x, y ) ? ( x2 ? y 2 )2 0, x2 ? y2 ? 0 x4 ? 4x2 y 2 ? y 4 x , x2 ? y2 ? 0 2 2 2 f y ( x, y ) ? (x ? y ) 0, x2 ? y2 ? 0 ? ?y f x (0, ? y ) ? f x (0, 0) ? lim ? ?1 f x y (0,0) ? lim ? y ?0 ? y ? y ?0 ?y f y (? x, 0) ? f y (0, 0) ?x ?1 ? lim f y x (0,0) ? lim ? x ?0 ? x ? x ?0 ?x
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二 者 不 等
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例6. 证明函数

满足拉普拉斯

? 2u ? 2u ? 2u 方程 ?u ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ?x ?y ?z
证:
2

3 x ?r 1 3 x2 ? u 1 ?? 3 ? 4 ? ? ? 3 ? 5 r ?x r r ?x2 r ? 2u 1 3 y2 ? 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 ? ? 3 ? 5 , ?? 3? 5 2 ?z r r ?y r r 2 2 2 ? u ? u ? u 3 3( x2 ? y2 ? z 2 ) ? ? 2 ? 2 ?? ? ?0 2 3 5 ?x ?y ?z r r
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? r2

定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则

f x y ( x0 , y0 ) ? f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.

(证明略)

例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有

说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
证明 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论

? 定义; 记号; 几何意义
? 函数在一点偏导数存在 ? 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 ? 求一点处偏导数的方法 ? 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法

(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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思考与练习
解答提示: P129 题 5

P129 题 5 , 6

当 x 2 ? y 2 ? 0 时,

? ? x2 y ? f x ( x, y ) ? ? 2 2 ? ?x ? x ? y ?

? ? x 2 y ? x 2( x 2 ? y 2 ) f y ( x, y ) ? ? 2 ? 2 2 ? ? y ? x ? y ? ( x ? y 2 )2 即 x=y=0 时, d f x (0,0) ? f ( x,0) x?0 dx d f y (0,0) ? f (0, y ) y?0 dy
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P129 题6 ?z 1 ? , (1) 2 ?x x ? y
2

?z 2y ? ?y x ? y2
2
2 2

? z ?1 ? z 2( x ? y ) ? z ? 2y ? , ? ? , 2 2 2 2 2 2 ?x ( x ? y ) ? x? y ( x ? y ) ? y ( x ? y 2 )2

?z y ?1 ? z ? x y ln x ? yx , (2) ?y ?x 2 ?2 z ? z y ?.2 ? x y ?1 ? y x y ?.1 ln x ? y( y ? 1) x , 2 ? x? y ?x ?2z ? x y ln 2 x 2 ?y
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作业
P68 1(4),(6),(8); 3; 5; 6(3); 7; 8; 9(2)

第三节 目录

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备用题 设
确定 u 是 x , y 的函数 ,

方程

连续, 且
解:



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