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人教A版选修2-1第三章第三课时导学案3.1.2空间向量的数乘运算(二)(已修改)


§3.1.2 空间向量的数乘运算(二)
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P86~ P87,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫空间向量共线?空间两个向量 a , b , 若 b 是非零向量,则 a 与 b 平行的 充要条件是

复习 2:已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? 点是否共线?

1 2 OA ? OB ,试判断 A,B,P 三 3 3

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的共面
问题:空间任意两个向量不共线的两个向量 a , b 有怎样的位置关系?空间三个向量又有 怎样的位置关系? 新知:共面向量: 2. 空间向量共面: 定理:对空间两个不共线向量 a , b ,向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是存 在 , 使得 . 推论:空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: ⑴ 存在 , 使 ⑵ 对空间任意一点 O,有 同一平面的向量.

试试:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 OP ? 则点 P 与 A,B,C 共面吗?

1 1 1 OA ? OB ? OC , 2 3 6

反思:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC , 且点 P 与 A,B,C 共面,则 x ? y ? z ? .

※ 典型例题 例 1 下列等式中,使 M,A,B,C 四点共面的个数是( )
① OM ? OA ? OB ? OC ; ② OM ?

1 1 1 OA ? OB ? OC ; 5 3 2

③ MA ? MB ? MC ? 0 ; ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

变式:已知 A,B,C 三点不共线,O 为平面 ABC 外一点,若向量

1 7 OP ? OA ? OB ? ? OC ( ? ? R )则 P,A,B,C 四点共面的条件是 ? ? 5 3

例 2 如图,已知平行四边形 ABCD,过平面 AC 外一点 O 作射线 OA,OB,OC,OD,在四条射 OE OF OG OH 线上分别取点 E,,F,G,H,并且使 ? ? ? ? k, OA OB OC OD 求证:E,F,G,H 四点共面.

变式:已知空间四边形 ABCD ,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点,求证:E,F,G,H 四 点共面.

小结:空间向量的化简与平面向量的化简一样,加法注意向量的首尾相接,减法注意向量 要共起点,并且要注意向量的方向.

※ 动手试试
练 1. 已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 OP ? 试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面?

1 2 2 OA ? OB ? OC , 5 5 5

练 2. 已知 a ? 3m ? 2n , b ? ( x ? 1)m ? 8n , a ? 0 ,若 a ∥ b ,求实数 x.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平 移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ,空间的平移 包含平面的平移.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 A1C1 是( A. 有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量. 2. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,点 E 是上底面 A ' B ' C ' D ' 的中心,
' ' 若 BB ? x AD ? y AB ? z AA , 则 x=



,y=

,z=

.

3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外,则 OP = OA + OB . 4. 在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异 面直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也 共面; ④已知三向量 a、 b、 c, 则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc. 其 中正确命题的个数为 ( ). A.0 B.1 C. 2 D. 3

课后作业:
1. 若 a ? 3m ? 2n ? 4 p , b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 y p , a ? 0 ,若 a ∥ b ,求实数 x, y .

2.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线, AB ? e1 + e2 ,AC ? 2 e1 +8 e2 ,AD ? 3 e1 ? 3 e2 . 求证: A, B, C , D 共面.


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