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高中数学苏教版选修2-3同步课件:2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差_图文

2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差 课前探究学习 课堂讲练互动 【课标要求】 1.能利用随机变量的分布列求随机变量的方差和标准差. 2.能利用随机变量的均值和方差解决简单的实际问题. 【核心扫描】 1.求简单离散型随机变量的方差.(重点) 2.离散型随机变量的方差与标准差的概念及应用.(难点) 课前探究学习 课堂讲练互动 自学导引 1.离散型随机变量的方差、标准差 (1)方差、标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn 课前探究学习 课堂讲练互动 一般地, 若离散型随机变量 X 的概率分布如上表所示, 则(xi-μ)2(μ =E(X))描述了 xi(i=1,2?,n)相对于均值 μ 的偏离程度.故(x1- μ)2p1+(x2-μ)2p2+?+(xn-μ)2pn,(其中 pi≥0,i=1,2,?,n, p1+p2+?+pn=1)刻画了随机变量 X 与其均值 μ 的平均偏离程 2 度,我们将其称为离散型随机变量 X 的 方差 ,记为V(X)或σ . 随机变量 X 的方差也称为 X 的概率分布的方差,X 的方差 V(X)的 算术平方根称为 X 的 标准差 , 即 σ= V?X?. 课前探究学习 课堂讲练互动 (2)方差、标准差的作用 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的 平均程度 .方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值 的平均程度越小. 2.离散型随机变量方差的性质 设a,b为常数,则V(aX+b)= a2V(X) . 课前探究学习 课堂讲练互动 试一试 试证明V(X)= ?xi2pi-E2(X) i=1 n 提示 由于V(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+?+(xn- E(X))2pn 2 2 展开得:V(X)=x 2 (x1p1+x2p2+?+ 1 p1+x 2 p2+?+x n pn-2E(X)· xnpn)+E2(X)· (p1+p2+?+pn) 由于E(X)=x1p1+x2p2+?+xnpn, 且P1+P2+?+Pn=1 课前探究学习 课堂讲练互动 ∴V(X)= ?xi2pi-2E(X)· E(X)+E2(X) i=1 n n 2 = ?x2 p - E (X) i i i=1 课前探究学习 课堂讲练互动 3.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X服从两点分布,则V(X)= p(1-p) ; (2)若X~B(n,p),则V(X)= np(1-p) . 想一想 求随机变量X的方差一般步骤是什么? 提示 写出 X 的分布列,由分布列求 E(X) ,进而求 V(X) .如果 随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布,可根据它们 的期望、方差公式进行计算. 课前探究学习 课堂讲练互动 名师点睛 1.研究均值与方差的意义 随 机变量的均值与方差都是随机变量的重要特征数 ( 或数字特 征 ) ,是对随机变量的一种简明的描写.虽然随机变量的分布 列完全决定了随机变量的取值规律,但是往往不能明显而集中 地表现随机变量的某些特点,例如它取值的平均水平、集中位 置、稳定与波动状况、集中与离散程度等.均值表示随机变量 一切可能值的平均值或集中位置,而方差则表示随机变量一切 可能值的集中与离散或稳定与波动的程度,由于离散型随机变 量的均值的计算是从它的概率分布出发,因而均值是随机变量 的概率平均值. 课前探究学习 课堂讲练互动 2.随机变量的方差与样本方差的关系 样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个变量, 而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常数(量)而非变 量.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来 越接近于总体方差. 课前探究学习 课堂讲练互动 题型一 求随机变量的方差与标准差 【例1】 已知随机变量X的概率分布是 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 试求V(X)和V(2X-1). [思路探索] 属于已知分布列,用公式求方差. 课前探究学习 课堂讲练互动 解 E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8. ∴V(X) = (0 - 1.8)2×0.2 + (1 - 1.8)2×0.2 + (2 - 1.8)2×0.3 + (3 - 1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0.1=1.56. 对于V(2X-1),可用两种方法求解. 法一 2X-1的概率分布如下: 2X-1 -1 1 P 0.2 0.2 3 0. 5 7 3 0.2 0.1 课前探究学习 课堂讲练互动 ∴E(2X-1)=2.6. ∴V(2X-1)=(-1-2.6)2×0.2+(1-2.6)2×0.2+(3-2.6)2×0.3+(5 -2.6)2×0.2+(7-2.6)2×0.1=6.24. 法二 利用方差的性质V(aX+b)=a2V(X). ∵V(X)=1.56.∴V(2X-1)=4V(X)=4×1.56=6.24. 规律方法 求随机变量的方差一般有两种方法,一是列出分布列, 求出期望,再利用方差的定义求解;另一种方法是借助方差的性 质求解. 课前探究学习 课堂讲练互动 【变式1】 已知X的概率分布为 X -1 0 1 P 1 2 1 1 3 6 求:(1)E(X),V(X),σ; (2)设Y=2X+3,求E(Y),V(Y). 课前探究学习 课堂讲练互动 解 (1)E(X)=x1p1+x2p2+x3p3 1 1 1 1 =-1×2+0×3+1×6=-3, V(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+ 5 (x3-E(X)) p3=9, 2 σ= V?X?= 5 5 = . 9 3 7 20 (2)E(


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