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《集合、函数与导数》专题1,2(答案详解)


高二数学假期作业
一.选择题(共 16 小题) 1.若集合 A={y|y=2x+2},B={x|﹣x2+x+2≥0},则( A. A? B B.A∪B=R C.A∩B={2} D.A∩B=? ) )

2.已知集合 A={x|0<x<2},B={x|x2<1},则 A∪B=(

A. (0,1) B. (﹣1,2) C. (﹣1,1) D. (﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) 3.已知集合 M={x|3x﹣x2>0},N={x|x2﹣4x+3>0},则 M∩N=( A. (0,1) B. (1,3) C. (0,3) D. (3,+∞) 4.已知集合 A={x|x2﹣x﹣12<0},B={x|y=log2(x+4)},则 A∩B=( A. (﹣3,3) B. (﹣3,4) C. (0,3) D. (0,4) 5.已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B=( A.{8,10} B.{8,12} C.{8,14} D.{8,10,14} 6.已知集合 A.[﹣1,3] B. (﹣1,3] ,则 A∩B=( C. (0,1] D. (0,3] ) ) ) ) )

7.已知全集为 R,集合 M={﹣1,1,2,4},N={x|x2﹣2x>3},则 M∩(?RN)=( A.{﹣1,1,2} B.{1,2} C.{4} D.{x|﹣1≤x≤2}

8.已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1,y1)∈M,存在(x2, y2)∈M,使 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”,给出下列四个集合: ①M={(x,y)|y= };

②M={(x,y)|y=sinx+1}; ③={(x,y)|y=2x﹣2}; ④M={(x,y)|y=log2x} 其中是“垂直对点集”的序号是( )

A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 9.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b∈R) ,满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,且在区间
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[﹣1,0]上的最大值为 3,若函数 g(x)=|f(x)|﹣mx 有唯一零点,则实数 m 的取值 范围是( A.[﹣2,0] ) B.[﹣2,0)∪[2,+∞) C.[﹣2,0) D. (﹣∞,0)∪[2,+∞)

10.定义在 R 上的函数 g(x)=ex+e﹣x+|x|,则满足 g(2x﹣1)<g(3)的 x 的取值范 围是( )

A. (﹣∞,2) B. (﹣2,2) C. (﹣1,2) D. (2,+∞) 11.函数 f(x)定义在实数集 R 上,f(2﹣x)=f(x) ,且当 x≥1 时 f(x)=log2x,则有 ( ) B.f( )<f(2)<f( ) C.f( )<f( )<

A.f( )<f(2)<f( )

f(2) D.f(2)<f( )<f(

12.已知函数 f(x)=

,则 f(x)的值域是(



A.[1,+∞) B.[0,+∞) C. (1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞) 13.若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(1﹣x)的图象大致为( )

A. 14.函数 y=

B. 的值域为(

C. )

D.

A. (﹣∞,﹣2]∪[﹣1,+∞) B. (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞)
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C . {y|y ≠﹣ 1 , y

∈R}

D.{y|y≠﹣2,y∈R}

15.已知函数 f(x)= ( A. 4 m)的最小值为( B.2 C. ) D.2

设 m>n≥﹣1,且 f(m)=f(n) ,则 m?f

16.若函数 f(x)=(x2+x﹣2) (x2+ax+b)是偶函数,则 f(x)的最小值为( A. B. C.﹣ D.﹣



二.填空题(共 8 小题) 17.已知集合 A={0,1,2,3,4},B={m|m=2n,n∈A},M={x∈R|x>2},则集合 B ∩?RM= . .

18.设集合 A={x|x2﹣x﹣6<0},B={x|﹣3≤x≤1},则 A∪B=

19.设 M 是一个非空集合,#是它的一种运算,如果满足以下条件: (Ⅰ)对 M 中任意元素 a,b,c 都有(a#b)#c=a#(b#c) ; (Ⅱ)对 M 中任意两个元素 a,b,满足 a#b∈M. 则称 M 对运算#封闭. 下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为 ①{﹣2,﹣1,1,2} ②{1,﹣1,0} ③Z ④Q. 20.设[x]表示不超过实数 x 的最大整数,例如:[4.3]=4,[﹣2.6]=﹣3,则点集{(x, y)|[x]2+[y]2=25}所覆盖的面积为 21.函数 f(x)= ﹣log2 . . .

为奇函数,则实数 a=

22.已知 g(x)=mx+2,f(x)=x2﹣2x,若对? x1∈[﹣1,2].? x0∈[﹣1,2],有 g
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(x1)=f(x0)成立,则 m 的取值范围是



23.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=f(x)对 x∈R 恒成立,当 x∈[0, 1]时,f(x)=2x,则 f(﹣log224)= .

24.函数 f(x)=ax2+(b﹣2a)x﹣2b 为偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则 f(x) >0 的解集为 .

三.解答题(共 6 小题) 25.记函数 f(x)=lg(x2﹣x﹣2)的定义域为集合 A,函数 g(x)= 集合 B. (1)求①A∩B;②(?RA)∪B; (2)若 C={x|(x﹣m+1) (x﹣2m﹣1)<0},C? B,求实数 m 的取值范围. 26.已知集合 A={y|y= (1)求出集合 A,集合 B; (2)求(?UB)∩A. 27.已知集合 A={x∈R|ax2﹣3x+2=0,a∈R}. (1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来. 28.已知函数 f(x)=9x﹣2a?3x+3: (1)若 a=1,x∈[0,1]时,求 f(x)的值域; (2)当 x∈[﹣1,1]时,求 f(x)的最小值 h(a) ; (3)是否存在实数 m、n,同时满足下列条件:①n>m>3;②当 h(a)的定义域为 [m,n]时,其值域为[m2,n2],若存在,求出 m、n 的值,若不存在,请说明理由. 29.已知函数 f(x)=4x﹣2x,实数 s,t 满足 f(s)+f(t)=0,a=2s+2t,b=2s+t. (1)当函数 f(x)的定义域为[﹣1,1]时,求 f(x)的值域; (2)求函数关系式 b=g(a) ,并求函数 g(a)的定义域 D; (3)在(2)的结论中,对任意 x1∈D,都存在 x2∈[﹣1,1],使得 g(x1)=f(x2)+m
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的定义域为

,x∈R},B={x|y=lg(1﹣2x)}

成立,求实数 m 的取值范围. 30.已知函数 f(x)= .

(1)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明; (2)若不等式 f(x)>log9(2c﹣1)有解,求 c 的取值范围.

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参考答案与试题解析

一.选择题(共 16 小题) 1. (2017?楚雄州一模)若集合 A={y|y=2x+2},B={x|﹣x2+x+2≥0},则( A. A? B B.A∪B=R C.A∩B={2} D.A∩B=? )

【分析】y=2x+2>2,可得集合 A=(2,+∞) .由﹣x2+x+2≥0,化为 x2﹣x﹣2≤0,解出 可得 B=[﹣1,2].再利用集合的运算性质即可得出. 【解答】解:y=2x+2>2,∴集合 A={y|y=2x+2}=(2,+∞) . 由﹣x2+x+2≥0,化为 x2﹣x﹣2≤0,解得﹣1≤x≤2. ∴B={x|﹣x2+x+2≥0}=[﹣1,2]. ∴A∩B=?, 故选:D. 【点评】本题考查了集合的运算性质、不等式的解法、函数的性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

2. (2017?唐山三模)已知集合 A={x|0<x<2},B={x|x2<1},则 A∪B=( A. (0,1) B. (﹣1,2) C. (﹣1,1) D. (﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) 【分析】根据题意,解 x2<1 可得集合 B,由集合并集的定义计算可得答案. 【解答】解:根据题意,集合 A={x|0<x<2},B={x|x2<1}={x|﹣1<x<1}, 则 A∪B={x|﹣1<x<2}=(﹣1,2) ; 故选:B. 【点评】本题考查集合的并集计算,关键是理解集合并集的定义.



3. (2017?甘肃二模)已知集合 M={x|3x﹣x2>0},N={x|x2﹣4x+3>0},则 M∩N= ( )

A. (0,1) B. (1,3) C. (0,3) D. (3,+∞)
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【分析】分别求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 M 中不等式变形得:x(x﹣3)<0, 解得:0<x<3,即 M=(0,3) , 由 N 中不等式变形得: (x﹣1) (x﹣3)>0, 解得:x<1 或 x>3,即 N=(﹣∞,1)∪(3,+∞) , 则 M∩N=(0,1) , 故选:A. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

4. (2017?龙门县校级模拟)已知集合 A={x|x2﹣x﹣12<0},B={x|y=log2(x+4)},则 A∩B=( )

A. (﹣3,3) B. (﹣3,4) C. (0,3) D. (0,4) 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 x 的范围确定出 B,找出 A 与 B 的 交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x﹣4) (x+3)<0, 解得:﹣3<x<4,即 A=(﹣3,4) , 由 B 中 y=log2(x+4) ,得到 x+4>0, 解得:x>﹣4,即 B=(﹣4,+∞) , 则 A∩B=(﹣3,4) , 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

5. (2017?宜宾模拟)已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集 合 A∩B=( )

A.{8,10} B.{8,12} C.{8,14} D.{8,10,14} 【分析】用列举法写出集合 A,根据交集的定义写出 A∩B.
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【解答】解:集合 A={x|x=3n+2,n∈N}={2,5,8,11,14,…}, B={6,8,10,12,14}, 则集合 A∩B={8,14}. 故选:C. 【点评】本题考查了交集的定义与应用问题,是基础题.

6. (2017?黔东南州一模)已知集合 A.[﹣1,3] B. (﹣1,3] C. (0,1] D. (0,3]

,则 A∩B=(



【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x+1) (x﹣3)≤0,且 x+1≠0, 解得:﹣1<x≤3,即 A=(﹣1,3], 由 B 中不等式变形得:lgx≤1=lg10, 解得:0<x≤10,即 B=(0,10], 则 A∩B=(0,3], 故选:D. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

7. (2017?咸阳二模)已知全集为 R,集合 M={﹣1,1,2,4},N={x|x2﹣2x>3},则 M∩(?RN)=( A.{﹣1,1,2} ) B.{1,2} C.{4} D.{x|﹣1≤x≤2}

【分析】求出 N 中不等式的解集确定出 N,根据全集 R,求出 N 的补集,找出 M 与 N 补集的交集即可. 【解答】解:由 N 中不等式变形得: (x﹣3) (x+1)>0, 解得:x<﹣1 或 x>3,即 N=(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) , ∵全集为 R,∴?RN=[﹣1,3], ∵M={﹣1,1,2,4},
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∴M∩(?RN)={﹣1,1,2}, 故选:A. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

8. (2017?晋中二模)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1,y1) ∈M,存在(x2,y2)∈M,使 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”,给出下 列四个集合: ①M={(x,y)|y= };

②M={(x,y)|y=sinx+1}; ③={(x,y)|y=2x﹣2}; ④M={(x,y)|y=log2x} 其中是“垂直对点集”的序号是( )

A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 【分析】利用数形结合的方法解决,根据题意,若集合 M={(x,y)|y=f(x)}是“垂 直对点集”,就是在函数图象上任取一点 A,得直线 OA,过原点与 OA 垂直的直线 OB, 若 OB 总与函数图象相交即可. 【解答】解:由题意,若集合 M={(x,y)|y=f(x)}满足: 对于任意 A(x1,y1)∈M,存在 B(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立, 因此 .所以,若 M 是“垂直对点集”,

那么在 M 图象上任取一点 A,过原点与直线 OA 垂直的直线 OB 总与函数图象相交于点 B. 对于①:M={(x,y)|y= },其图象是过一、二象限,且关于 y 轴对称,

所以对于图象上的点 A,在图象上存在点 B,使得 OB⊥OA,所以①符合题意; 对于②:M={(x,y)|y=sinx+1},画出函数图象, 在图象上任取一点 A,连 OA,过原点作直线 OA 的垂线 OB,
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因为 y=sinx+1 的图象沿 x 轴向左向右无限延展,且与 x 轴相切, 因此直线 OB 总会与 y=sinx+1 的图象相交. 所以 M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直对点集”,故②符合题意; 对于③:M={(x,y)|y=2x﹣2},其图象过点(0,﹣1) , 且向右向上无限延展,向左向下无限延展, 所以,据图可知,在图象上任取一点 A,连 OA, 过原点作 OA 的垂线 OB 必与 y=2x﹣2 的图象相交, 即一定存在点 B, 使得 OB⊥OA 成立, 故 M={(x,y)|y=2x﹣2}是“垂直对点集”.故③符合题意; 对于④:M={x,y)|y=log2x},对于函数 y=log2x, 取点(1,0) ,与 y 轴垂直,所以没有对应点,切点 T 明显在 x 轴下方有对应点 所以对切点 T,不存在点 M,使得 OM⊥OT, 所以 M={(x,y)|y=log2x}不是“垂直对点集”;故④不符合题意. 故选:D. 【点评】本题考查“垂直对点集”的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质 的合理运用.

9. (2017?天津学业考试)已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b∈R) ,满足 f(1﹣x)=f (1+x) ,且在区间[﹣1,0]上的最大值为 3,若函数 g(x)=|f(x)|﹣mx 有唯一零点, 则实数 m 的取值范围是( A.[﹣2,0] )

B.[﹣2,0)∪[2,+∞) C.[﹣2,0) D. (﹣∞,0)∪[2,+∞) =1①,讨论 a>0,a

【分析】由题意可得直线 x=1 为函数 f(x)的对称轴,即有﹣

<0,得到 f(x)在区间[﹣1,0]的单调性,可得最大值,a﹣b=3②,解方程组可得 a, b 的值.作出函数 f(x)=|x2﹣2x|的图象和直线 y=mx,再分类讨论,结合图象即可得 到结论. 【解答】解:二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b∈R) ,满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,
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可得直线 x=1 为函数 f(x)的对称轴,即有﹣ 由 f(x)在区间[﹣1,0]上的最大值为 3,

=1①

若 a>0 时,则 f(x)在[﹣1,0]递减,f(﹣1)取得最大值,且为 a﹣b=3② 若 a<0 时,f(x)在[﹣1,0]递增,f(0)取得最大值,且为 0,不成立. 由①②解得 a=1,b=﹣2. 则 f(x)=x2﹣2x, 若函数 g(x)=|f(x)|﹣mx 有唯一零点, 即为方程|f(x)|=mx 有唯一实根, 作出 y=|f(x)|的图象和直线 y=mx 的图象, 当 m=0,有 y=0 与 y=|f(x)|有两个交点; 当 m>0 时,由 mx=2x﹣x2,即有 x2+(m﹣2)x=0, 由判别式(m﹣2)2﹣4×0=0,解得 m=2. 由图象可得 m≥2 时,y=|f(x)|的图象和直线 y=mx 的图象有两个交点; 当 0<m<2,y=|f(x)|的图象和直线 y=mx 的图象有,三个交点; 当 m<0 时,且 y=mx 为曲线 y=|f(x)|的切线时,只有一个交点, 即为原点为切点,y=|f(x)|=x2﹣2x(x<0) , 可得 mx=x2﹣2x 即 x2﹣(2+m)x=0 只有相等的两实根, 可得判别式(2+m)2﹣4×0=0,解得 m=﹣2. 由图象可得﹣2≤m<0 时,y=|f(x)|的图象和直线 y=mx 的图象只有一个交点,即为 原点. 综上可得,所求 m 的范围为[﹣2,0) . 故选:C.

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【点评】本题考查二次函数的解析式的求法,注意运用函数的对称性和单调性,考查 函数的零点,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

10. (2017?成都四模)定义在 R 上的函数 g(x)=ex+e﹣x+|x|,则满足 g(2x﹣1)<g (3)的 x 的取值范围是( )

A. (﹣∞,2) B. (﹣2,2) C. (﹣1,2) D. (2,+∞) 【分析】根据 f(﹣x)=ex+e﹣x+|x|=f(x)得该函数是偶函数,再由函数的单调性以及 对称性求出不等式的解集. 【解答】解: :∵函数 f(﹣x)=ex+e﹣x+|x|=f(x) , ∴函数 f(x)是偶函数,故函数 f(x)的图象关于 y 轴对称. ∵f(2x﹣1)<f(3) ,且函数在(0,+∞)上是增函数,故函数在(﹣∞,0)上是减 函数, ∴|2x﹣1|<3,解得﹣1<x<2, 故选:C. 【点评】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用,利用奇(偶)函数图象的对称性, 将函数值的大小对应的不等式进行转化,体现了转化思想,属于中档题.

11. (2017?贵州模拟)函数 f(x)定义在实数集 R 上,f(2﹣x)=f(x) ,且当 x≥1 时 f(x)=log2x,则有( ) B.f( )<f(2)<f( )
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A.f( )<f(2)<f( )

C.f( )<f( )<

f(2) D.f(2)<f( )<f( 【分析】易判断 f(x)在[1,+∞)上的单调性,根据 f(2﹣x)=f(x)可把 f( ) ,f ( )转化到区间[1,+∞)上,借助函数单调性可作出大小判断. 【解答】解:∵x≥1 时 f(x)=log2x, ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增, ∵f(2﹣x)=f(x) , ∴f( )=f(2﹣ )=f( ) ,f( )=f(2﹣ )=f( ) , 又 1< <2,

∴f( )<f( )<f(2) ,即 f( )<f( )<f(2) , 故选 C. 【点评】本题考查函数的单调性及其应用,解决本题的关键是利用所给条件把问题转 化到已知区间上利用函数性质解决问题.

12. (2017?孝义市模拟)已知函数 f(x)=

,则 f(x)的值域是(



A.[1,+∞) B.[0,+∞) C. (1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞) 【分析】求出 x≤1 时二次函数的值域,再由基本不等式求出 x>1 时函数的值域,取并 集得答案.

【解答】解:由 f(x)= 当 x≤1 时,x2≥0; 当 x>1 时,x+ ﹣3≥2

,知

﹣3=4﹣3=1,当且仅当 x= ,即 x=2 时取“=”,
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取并集得:f(x)的值域是[0,+∞) . 故选:B. 【点评】本题考查分段函数值域的求法,分段函数的值域分段求,然后取并集即可, 是中档题.

13. (2014?湖南二模)若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(1﹣x)的图象大 致为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】先找到从函数 y=f(x)到函数 y=f(1﹣x)的平移变换规律是:先关于 y 轴对 称得到 y=f(﹣x) ,再整体向右平移 1 个单位;再画出对应的图象,即可求出结果. 【解答】解:因为从函数 y=f(x)到函数 y=f(1﹣x)的平移变换规律是:先关于 y 轴 对称得到 y=f(﹣x) ,再整体向右平移 1 个单位即可得到. 即图象变换规律是:①→②.

故选:A.
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【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换,培养学生画图的能力,属于基础题, 但也是易错题.易错点在于左右平移,平移的是自变量本身,与系数无关.

14. (2017 春?龙泉驿区校级月考)函数 y=

的值域为(

) C . {y|y ≠﹣ 1 , y

A. (﹣∞,﹣2]∪[﹣1,+∞) B. (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞) ∈R} D.{y|y≠﹣2,y∈R} ,即 , >0,解得即可.

【分析】由题意可得 x=log2 【解答】解:y= 则 y+1= 则 2x﹣1= 则 2x=1+ 则 x=log2 ∴ >0, , , , , =﹣1 +

解的 y>﹣1 或 y<﹣2, 故选:B. 【点评】本题考查了函数的定义和解析式以及定义域和值域相关问题,属于中档题.

15. (2017?钦州二模)已知函数 f(x)= =f(n) ,则 m?f( A. 4 B.2 C. m)的最小值为( D.2
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设 m>n≥﹣1,且 f(m) )

【分析】做出 f(x)的图象,根据图象判断 m 的范围,利用基本不等式得出最小值. 【解答】解:做出 f(x)的函数图象如图所示:

∵f(m)=f(n) ,m>n≥﹣1, ∴1≤m<4, ∴mf( m)=m(1+ )=m+ ≥2 .

当且仅当 m= 故选:D.

时取等号.

【点评】本题考查了分段函数的图象,基本不等式的应用,属于中档题.

16. (2017?天津二模)若函数 f(x)=(x2+x﹣2) (x2+ax+b)是偶函数,则 f(x)的最 小值为( A. B. ) C.﹣ D.﹣

【分析】根据题意,由于函数 f(x)为偶函数,则可得 f(﹣x)=f(x) ,即(x2﹣x﹣2) (x2﹣ax+b)=(x2+x﹣2) (x2+ax+b) ,分析可得 a、b 的值,即可得函数 f(x)的解析 式,对其求导,分析可得当 x=± 时,f(x)取得最小值;计算即可的答案.

【解答】解:根据题意,函数 f(x)=(x2+x﹣2) (x2+ax+b)是偶函数,
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则有 f(﹣x)=f(x) , 即(x2﹣x﹣2) (x2﹣ax+b)=(x2+x﹣2) (x2+ax+b) 分析可得:﹣2(1﹣a+b)=0,4(4+2a+b)=0, 解可得:a=﹣1,b=﹣2, 则 f(x)=(x﹣1) (x+2) (x2﹣x﹣2)=x4﹣5x2+4, f′(x)=4x3﹣10x=x(4x2﹣10) , 令 f′(x)=0,可得当 x=± 又由函数为偶函数, 则 f(x)min=( 故选:C 【点评】本题考查函数的最值计算,关键是利用函数的奇偶性求出 a、b 的值,确定函 数的解析式,属于中档题 )4﹣5( )2+4=﹣ ; 时,f(x)取得最小值;

二.填空题(共 8 小题) 17. (2017?天津二模)已知集合 A={0,1,2,3,4},B={m|m=2n,n∈A},M={x∈ R|x>2},则集合 B∩?RM= {0,2} .

【分析】根据题意,分析可得集合 B,由补集的定义可得?RM,进而由交集的定义计算 可得答案. 【解答】解:根据题意,集合 A={0,1,2,3,4},则 B={m|m=2n,n∈A}={0,2,4, 6,8}, 而 M={x∈R|x>2},则?RM={x|x≤2}, 故 B∩?RM={0,2}; 故答案为:{0,2}. 【点评】本题考查集合的交、补集的运算,关键是求出集合 B.

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18. (2017?天津二模) 设集合 A={x|x2﹣x﹣6<0}, B={x|﹣3≤x≤1}, 则 A∪B= 3) .

[﹣3,

【分析】根据题意,解 x2﹣x﹣6<0 可得集合 A,进而有集合并集的定义计算可得答案. 【解答】解:根据题意,x2﹣x﹣6<0? ﹣2<x<3, 则 A={x|x2﹣x﹣6<0}={x|﹣2<x<3}=(﹣2,3) , 而 B={x|﹣3≤x≤1}=[﹣3,1], 则 A∪B=[﹣3,3) ; 故答案为:[﹣3,3) . 【点评】本题考查集合并集的运算,涉及一元二次不等式的解法,关键是求出集合 A.

19. (2016?潍坊模拟)设 M 是一个非空集合,#是它的一种运算,如果满足以下条件: (Ⅰ)对 M 中任意元素 a,b,c 都有(a#b)#c=a#(b#c) ; (Ⅱ)对 M 中任意两个元素 a,b,满足 a#b∈M. 则称 M 对运算#封闭. 下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为 ①{﹣2,﹣1,1,2} ②{1,﹣1,0} ③Z ④Q. 【分析】 根据已知中“M 对运算#封闭”的定义, 逐一分析给定的四个集合是否满足“M 对 运算#封闭”的定义,可得答案. 【解答】解:①中,当 a=﹣1,b=1 时,a+b=0?{﹣2,﹣1,1,2}, 当 a=﹣2,b=2 时,a×b=﹣4?{﹣2,﹣1,1,2}, 故①中集合对加法和乘法都不封闭, ②中集合 M={1, ﹣1, 0}满足: (Ⅰ) 对 M 中任意元素 a,b, c 都有(a+b)+c=a+(b+c) ; (Ⅱ)对 M 中任意两个元素 a,b,满足 a+b∈M.故②中集合对加法运算和乘法运算
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②③④



都封闭; ③中集合 M=Z 满足: (Ⅰ)对 M 中任意元素 a,b,c 都有(a+b)+c=a+(b+c) ; (Ⅱ) 对 M 中任意两个元素 a,b,满足 a+b∈M.故③中集合对加法运算和乘法运算都封闭; ④中集合 M=Q 满足: (Ⅰ)对 M 中任意元素 a,b,c 都有(a+b)+c=a+(b+c) ; (Ⅱ) 对 M 中任意两个元素 a,b,满足 a+b∈M.故④中集合对加法运算和乘法运算都封闭; 故答案为:②③④ 【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断,正确理解“M 对运算#封闭”的定 义,是解答的关键.

20. (2017?临川区校级模拟)设[x]表示不超过实数 x 的最大整数,例如:[4.3]=4,[﹣ 2.6]=﹣3,则点集{(x,y)|[x]2+[y]2=25}所覆盖的面积为 12 .

【分析】根据方程,对于 x,y≥0 时,求出 x,yd 的整数解,分别对|[x]|=5、4、3、0 时确定 x 的范围,对应的 y 的范围,求出面积,再求其和. 【解答】解:方程:[x]2+[y]2=25 x,y≥0 时,[x],[y]的整解有两组, (3,4) , (0,5) 显然 x 的最大值是 5 |[x]|=5 时,5≤x<6,或者﹣5≤x<﹣4,|[y]|=0,0≤y<1,围成的区域是 2 个单位 正方形 |[x]|=4 时,4≤x<5,或者﹣4≤x<﹣3,|[y]|=3,﹣3≤y<﹣2,或者 3<y≤4,围 成的区域是 4 个单位正方形 |[x]|=3 时,3≤x<4,或者﹣3≤x<﹣2,|[y]|=4,﹣4≤y<﹣3,或者 4<y≤5,围 成的区域是 4 个单位正方形 |[x]|=0 时,0≤x<1,|[y]|=5,5≤y<6 或者﹣5≤y<﹣4,围成的区域是 2 个单位 正方形 总面积是:12 故答案为:12.
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【点评】本题考查探究性问题,是创新题,考查分类讨论思想,是中档题.

21. (2017?佛山一模)函数 f(x)= ﹣log2

为奇函数,则实数 a= =﹣ +log2

1 . ,即可求出 a

【分析】由题意,f(﹣x)=﹣f(x) ,可得﹣ ﹣log2 的值. 【解答】解:由题意,f(﹣x)=﹣f(x) ,可得﹣ ﹣log2 ∴a=±1, a=﹣1,函数定义域不关于原点对称,舍去. 故答案为 1.

=﹣ +log2

【点评】本题考查奇函数的定义,考查学生的计算能力,属于中档题.

22. (2017?新疆一模)已知 g(x)=mx+2,f(x)=x2﹣2x,若对? x1∈[﹣1,2].? x0 ∈[﹣1,2],有 g(x1)=f(x0)成立,则 m 的取值范围是 [﹣1, ] .

【分析】由已知中 f(x)=x2﹣2x,g(x)=mx+2,对? x1∈[﹣1,2],? x0∈[﹣1,2], 使 g(x1)=f(x0) ,可得函数 g(x)=mx+2 在区间[﹣1,2]上的值域是函数 f(x)=x2 ﹣2x 在区间[﹣1,2]上的值域的子集,由此可以构造关于 m 的不等式,解不等式即可 求出 m 的取值范围. 【解答】解:∵f(x)=x2﹣2x, ∴x0∈[﹣1,2], ∵f(x0)∈[﹣1,3] 又∵? x1∈[﹣1,2],? x0∈[﹣1,2],使 g(x1)=f(x0) , 若 m>0,则 g(﹣1)≥﹣1,g(2)≤3 解得﹣ ≤m≤ , 即 0<m≤ ,
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若 m=0,则 g(x)=2 恒成立,满足条件; 若 m<0,则 g(﹣1)≤3,g(2)≥﹣1 解各 m≥﹣1 即﹣1≤m<0 综上满足条件的 m 的取值范围是﹣1≤m≤ 故 m 的取值范围是[﹣1, ] 故答案为:[﹣1, ]. 【点评】本题考查的知识点是函数的值域,函数的定义域及其求法,二次函数的性质, 其中根据已知条件对 m 进行分类讨论,是解答本题的关键.

23. (2017?沙坪坝区校级模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=f(x) 对 x∈R 恒成立,当 x∈[0,1]时,f(x)=2x,则 f(﹣log224)= .

【分析】根据题意,分析可得 f(﹣log224)=f(log224)=f(4+log2 )=f(log2 ) ,结 合函数的解析式可得 f(log2 )的值,综合即可得答案. 【解答】解:根据题意,由于 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=f(x) , 则 f(﹣log224)=f(log224)=f(4+log2 )=f(log2 ) , 0<log2 <1, 又由当 x∈[0,1]时,f(x)=2x, 则 f(log2 )= 即 f(﹣log224)= ; 故答案为: . 【点评】本题函数的值的计算,涉及函数的奇偶性、周期性的性质,关键是充分利用
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= ,

函数的周期性.

24. (2017?日照一模)函数 f(x)=ax2+(b﹣2a)x﹣2b 为偶函数,且在(0,+∞)单 调递减,则 f(x)>0 的解集为 {x|﹣2<x<2} .

【分析】根据题意,由于函数 f(x)=ax2+(b﹣2a)x﹣2b 为偶函数,可得该二次函数 的对称轴为 y 轴,分析可得 b=2a,结合函数的单调性可得 a>0;综合可得 f(x)>0, 即 ax2﹣4a>0,解可得 x 的取值范围,即可得答案、 【解答】解:根据题意,函数 f(x)=ax2+(b﹣2a)x﹣2b 为二次函数,若其为偶函数, 则该二次函数的对称轴为 y 轴,必有 故 f(x)=ax2﹣4a. 再根据函数在(0,+∞)单调递减,可得 a<0. 若 f(x)>0,即 ax2﹣4a>0, 解可得﹣2<x<2, 故解集为{x|﹣2<x<2}. 【点评】本题考查二次函数的性质,涉及函数的奇偶性、单调性的应用,注意结合二 次函数的性质进行分析. ,即 b=2a,

三.解答题(共 6 小题) 25. (2017 春?启东市校级期中)记函数 f(x)=lg(x2﹣x﹣2)的定义域为集合 A,函 数 g(x)= 的定义域为集合 B.

(1)求①A∩B;②(?RA)∪B; (2)若 C={x|(x﹣m+1) (x﹣2m﹣1)<0},C? B,求实数 m 的取值范围. 【分析】对于(1)先将函数的定义域 A 和 B 求出来,再根据集合的运算法则运算即可; 对于(2)要考虑 C=?时,C≠?时要讨论 m﹣1 和 2m+1 的大小. 【解答】解: (1)依题意,得 A={x|x2﹣x﹣2>0}=(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B={x||3﹣x|x|≥0}=[﹣3,3],
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①A∩B=[﹣3,﹣1)∪(2,3] ②(?RA)∪B=[﹣3,3], (2)∵(x﹣m+1) (x﹣2m﹣1)<0,∴[x﹣(m﹣1)][x﹣(2m+1)]<0 ①当 m﹣1=2m+1,即 m=﹣2 时,C=?,满足 C? B ②当 m﹣1<2m+1,即 m>﹣2 时,C=(m﹣1,2m+1) ,要使 C? B,只要 得﹣2<m≤1 ③当 2m+1<m﹣1,即 m<﹣2 时,C=(2m+1,m﹣1) ,要使 C? B,只要 得 m ∈? 综上,m 的取值范围是[﹣2,1] 【点评】本题考查不等式的解法和集合的运算,分类讨论的思想方法,属于基础题.

26. (2017 春?湖北期中)已知集合 A={y|y= (1)求出集合 A,集合 B; (2)求(?UB)∩A.

,x∈R},B={x|y=lg(1﹣2x)}

【分析】 (1)分别求出函数的定义域和值域即可得到集合 A,集合 B, (2)根据集合交集、补集的运算法则,代入计算可得答案. 【解答】解: (1)集合 A={y|y= ∵ex>0, ∴﹣ex<0, ∴4﹣ex<4, ∴A=(﹣∞,2) ∵B={x|y=lg(1﹣2x)}, ∴1﹣2x>0, 解得 x< ,
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,x∈R},

故 B=(﹣∞, ) , (2)由 B=(﹣∞, ) , ∴?UB=[ ,+∞) , ∴(?UB)∩A=[ ,e) . 【点评】本题考查的知识点是交,并,补的混合运算,熟练掌握集合的运算规则是解 答的关键.

27. (2017 春?淄川区校级月考)已知集合 A={x∈R|ax2﹣3x+2=0,a∈R}. (1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来. 【分析】 (1)若 A 是空集,则方程 ax2﹣3x+2=0 无解,故△=9﹣8a<0,由此解得 a 的 取值范围. (2)若 A 中只有一个元素,则 a=0 或△=9﹣8a=0,求出 a 的值,再把 a 的值代入方程 ax2﹣3x+2=0,解得 x 的值,即为所求 【解答】解: (1)若 A 是空集,则方程 ax2﹣3x+2=0 无解,故△=9﹣8a<0,解得 a> , 故 a 的取值范围为( ,+∞) . (2)若 A 中只有一个元素,则 a=0 或△=9﹣8a=0,解得 a=0 或 a= . 当 a=0 时,解 ax2﹣3x+2=0 可得 x= . 当 a= 时,解 ax2﹣3x+2=0 可得 x= . 和 .

故 A 中的元素为

【点评】本题主要考查集合中参数的取值问题,体现了分类讨论的数学思想,属于中 档题.
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28. (2017?上海一模)已知函数 f(x)=9x﹣2a?3x+3: (1)若 a=1,x∈[0,1]时,求 f(x)的值域; (2)当 x∈[﹣1,1]时,求 f(x)的最小值 h(a) ; (3)是否存在实数 m、n,同时满足下列条件:①n>m>3;②当 h(a)的定义域为 [m,n]时,其值域为[m2,n2],若存在,求出 m、n 的值,若不存在,请说明理由. 【分析】 (1)设 t=3x,则 φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2,φ(t)的对称轴为 t=a, 当 a=1 时,即可求出 f(x)的值域; (2)由函数 φ(t)的对称轴为 t=a,分类讨论当 a< 时,当 ≤a≤3 时,当 a>3 时, 求出最小值,则 h(a)的表达式可求; (3)假设满足题意的 m,n 存在,函数 h(a)在(3,+∞)上是减函数,求出 h(a) 的定义域,值域,然后列出不等式组,求解与已知矛盾,即可得到结论. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=9x﹣2a?3x+3, 设 t=3x,t∈[1,3], 则 φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2,对称轴为 t=a. 当 a=1 时,φ(t)=(t﹣1)2+2 在[1,3]递增, ∴φ(t)∈[φ(1) ,φ(3)], ∴函数 f(x)的值域是:[2,6]; (Ⅱ)∵函数 φ(t)的对称轴为 t=a, 当 x∈[﹣1,1]时,t∈[ ,3], 当 a< 时,ymin=h(a)=φ( )= ﹣ ;

当 ≤a≤3 时,ymin=h(a)=φ(a)=3﹣a2; 当 a>3 时,ymin=h(a)=φ(3)=12﹣6a.

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故 h(a)=



(Ⅲ)假设满足题意的 m,n 存在,∵n>m>3,∴h(a)=12﹣6a, ∴函数 h(a)在(3,+∞)上是减函数. 又∵h(a)的定义域为[m,n],值域为[m2,n2], 则 ,

两式相减得 6(n﹣m)=(n﹣m)?(m+n) , 又∵n>m>3,∴m﹣n≠0,∴m+n=6,与 n>m>3 矛盾. ∴满足题意的 m,n 不存在. 【点评】本题主要考查二次函数的值域问题,二次函数在特定区间上的值域问题一般 结合图象和单调性处理,是中档题.

29. (2017?上海模拟)已知函数 f(x)=4x﹣2x,实数 s,t 满足 f(s)+f(t)=0,a=2s+2t, b=2s+t. (1)当函数 f(x)的定义域为[﹣1,1]时,求 f(x)的值域; (2)求函数关系式 b=g(a) ,并求函数 g(a)的定义域 D; (3)在(2)的结论中,对任意 x1∈D,都存在 x2∈[﹣1,1],使得 g(x1)=f(x2)+m 成立,求实数 m 的取值范围. 【分析】 (1)换元根据 t=2x∈[ ,2],g(t)=t2﹣t 单调递增,即可求 f(x)的值域; (2)配方得出: (2s+2t)2﹣2?2s+t﹣(2s+2t)=0,a2﹣2b﹣a=0,a≥2 a>0,求解即可得出 b= ,1<a≤2; ,a≥2 ,

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(3)g(x)= (x2﹣x)∈(0,1],f(x)∈[﹣ ,2],对任意 x1∈D,都存在 x2∈[﹣ 1,1],使得 g(x1)=f(x2)+m 成立,即可求实数 m 的取值范围. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=4x﹣2x,f(x)的定义域为[﹣1,1]时, ∴t=2x∈[ ,2],g(t)=t2﹣t 单调递增, ∵g( )=﹣ ,g(2)=2, ∴f(x)的值域为:[﹣ ,2]. (2)∵f(s)+f(t)=0, ∴4s﹣2s+4t﹣2t=0, 化简得出: (2s+2t)2﹣2?2s+t﹣(2s+2t)=0, ∵a=2s+2t,b=2s+t.2s+2t≥2 ∴a2﹣2b﹣a=0,a≥2 即 b= ,a≥2 .a≥2 ,a>0

,1<a≤2,D=(1,2];

(3)g(x)= (x2﹣x)∈(0,1],f(x)∈[﹣ ,2]. ∵对任意 x1∈D,都存在 x2∈[﹣1,1],使得 g(x1)=f(x2)+m 成立, ∴(0,1]? [﹣ +m,2+m]. ∴﹣1≤m≤ . 【点评】本题综合考查了函数的性质,配方求解,考查换元法,考查学生分析解决问 题的能力,属于综合题.

30. (2017?杨浦区二模)已知函数 f(x)= (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明;



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(2)若不等式 f(x)>log9(2c﹣1)有解,求 c 的取值范围. 【分析】 (1)利用奇函数的定义,即可得出结论; (2)f(x)= = =﹣ + ∈(﹣ , ) ,不等式 f(x)>log9(2c

﹣1)有解,可得 >log9(2c﹣1) ,即可求 c 的取值范围. 【解答】解: (1)函数的定义域为 R, f(x)= = ,f(﹣x)= =﹣f(x) ,

∴函数 f(x)是奇函数; (2)f(x)= = =﹣ + ∈(﹣ , )

∵不等式 f(x)>log9(2c﹣1)有解, ∴ >log9(2c﹣1) , ∴0<2c﹣1<3, ∴ .

【点评】本题考查奇函数的定义,考查函数的值域,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

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