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高中数学第一章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值课堂探究新人教B版选修2_2

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值课 堂探究 新人教 B 版选修 2-2 探究一 利用导数求函数的极值 求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行, 其重点是列表考查导数为零的 点的左右两侧的导数值是否是异号的,若异号,则是极值;否则,不是极值.另外,在求函 数的极值前,一定要首先研究函数的定义域,在定义域的前提下研究极值. 【典型例题 1】 求下列函数的极值: (1)f(x)=1+3x-x ; ln x (2)f(x)= 2 ; 3 x (3)f(x)=x ·e . 思路分析:按照求极值的方法,首先从方程 f′(x)=0 入手,求出函数 f(x)在定义域 内所有可解的极值点,然后按极值的定义判断并求值. 解:(1)函数定义域为 R,且 f′(x)=3-3x , 令 f′(x)=0 得 x=±1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 2 -x x f′(x) f(x) (-∞,-1) - -1 0 -1 (-1,1) + 1 0 3 (1,+∞) - 所以 f(x)在 x=-1 处取极小值-1, 在 x=1 处取极大值 3. (2)函数定义域为(0,+∞), f′(x)= x x2-ln x x4 x2 = x-2xln x 1-2ln x = , x4 x3 令 f′(x)=0,得 x= e, 且当 0<x< e时,f′(x)>0, 1 当 x> e时,f′(x)<0,所以 f(x)在 x= e处取得极大值 f( e)= ,无极小值. 2e (3)函数 f(x)的定义域为 R, f′(x)=2xe-x+x2e-x(-x)′=x(2-x)e-x, 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 x f′(x) f(x) 从表中可以看出, (-∞,0) - 0 0 0 (0,2) + 2 0 4e -2 (2,+∞) - 当 x=0 时,函数有极小值,且 f(0)=0; 当 x=2 时,函数有极大值,且 f(2)=4e . 探究二 利用导数求函数的最值 -2 1.如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不间断的曲线,那么它必有最 大值和最小值. 2.如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,求 f(x)在区间[a,b]上的最值可简化过程, 即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较大小, 即可判定最大(或最小)的函数值, 就是 最大(或最小)值. 3.求函数在闭区间上的最值时,需要对各个极值与端点函数值进行比较,有时需要作 差、作商,有时还要善于估算,甚至有时需要进行分类讨论. 4.求函数在开区间上的最值时,要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况,从而 画出函数的大致图象,结合图象求出最值. 【典型例题 2】 求下列函数的最值: (1)f(x)=x -2x +1,x∈[-1,2]; 3 2 ? π π? (2)f(x)=sin 2x-x,x∈?- , ?; ? 2 2? ln x (3)f(x)= -x. x 思路分析:按照求函数最值的步骤求解,其中(3)要注意结合函数图象. 解:(1)f′(x)=3x -4x, 4 2 令 f′(x)=0,有 3x -4x=0,解得 x=0 或 x= . 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 x f′(x) f(x) -1 (-1,0) + 0 0 1 ?0,4? ? 3? ? ? - 4 3 0 - 5 27 ?4,2? ?3 ? ? ? + 2 -2 1 从上表可知,最大值是 f(0)=f(2)=1,最小值是 f(-1)=-2. ? π π? (2)f′(x)=2cos 2x-1,x∈?- , ?, ? 2 2? 2 π π 令 f′(x)=0 得 x=- 或 x= . 6 6 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x ) - π 2 错误! - π 6 错误! π 6 0 3 π - 2 6 ?π ,π ? ?6 2? ? ? - π 2 - π 2 0 π 3 - 6 2 + f(x) - π 2 由上表可知: π ? π? π 当 x=- 时 f(x)取得最大值 f?- ?= , 2 ? 2? 2 π π ?π ? 当 x= 时 f(x)取得最小值 f? ?=- . 2 2 ?2? 1-ln x (3)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -1, 2 x 令 f′(x)=0,得 x =1-ln x,显然 x=1 是方程的解. 令 g(x)=x +ln x-1,x∈(0,+∞), 1 则 g′(x)=2x+ >0, 2 2 x ∴函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴x=1 是方程 f′(x)=0 的唯一解. ∵当 0<x<1 时,f′(x)= 当 x>1 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,∴当 x=1 时,函数 f(x) 有最大值,且最大值是 f(1)=-1,函数无最小值. 点评 本例(3)中,为了说明 x=1 是方程 f′(x)=0 的唯一根.又构造了函数 g(x), 1-ln x -1>0, 2 x 通过求导分析其单调性从而说明根的唯一性,这种方法在导数应用中经常使用. 探究三 根据函数的极值与最值求参数值 1. 已知函数的极值或最值求参数值时, 主要根据极值点处的导数值为 0 和已知的极值, 列出方程(组),利用待定系数法求解;同时应注意:导数值等于零不是此点为极值点的充要 条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 2.对于可导函数 f(x),若它有极值点 x0,则必有 f′(x0)=0,因此函数 f(x)有极值的 问题,往往可以转化为方程 f′(x


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