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新东方考研线性代数(第二讲 矩阵的乘法及逆运算)


第二讲 矩阵的乘法及逆运算
一、乘法 1、 定义与规律 ① 乘法三要素 ⅰ)条件, ⅱ)AB 的行列数, ⅲ)AB 的元素。

cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ? ? ? + a in bnj
② 规律 ⅰ)对加法的分配律: A( B1 + B2 ) = AB1 + AB2, 1 + A2 ) B = A1 B + A2 B (A ⅱ)对数乘的结合律: (cA) B = c ( AB ) = A(cB ) ⅲ)结合律: ( AB )C = A( BC ) ⅳ)转置律: ( AB ) T = B T AT ⅴ)单位律: AE = A

EA = A

ⅵ)行列式性质:当 A,B 都是 n 阶矩阵时, AB = A B 但是,无交换律与消去律

AB = ?BA

AB = AC ? B = C / A ≠ 0时, BA = CA ? B = C /
2、 n 解矩阵的方幂与多项式
k 678 4个 4 k A = AALA

无左消去律 无右消去律

k为常数时, = E A

B = A5 ? 4 A3 + E

乘法公式与因式分解的应用要谨慎 一般不总是成立,问题是交换律,如

A 2 ? B 2 = ?( A + B )( A ? B ) A 2 + BA ? AB ? B 2
但是:当式中出现的任何两个 n 阶矩阵乘积都可交换时,公式就可用 一个矩阵的多项式总可因式分解:

A 2 ? E = ( A ? E )( A + E ) E ? A3 = ( E ? A)( E + A + A 2 ) E + A 3 = ( E + A)( E ? A + A 2 )
例1 求B 解: BA = B + 2 E ? BA ? B = 2 E ? B ( A ? E ) = 2 E

? 2 1? A=? ? ,2 阶矩阵 B 满足 BA = B + 2 E ? ? 1 2?

? B A ? E = 2E = 4 ,
例2

A? E =
1 1 2 3

1

1

?1 1

= 2, B =

4 =2 A? E

α = (1,?2,3) T , β = (1,? , ) T , A = αβ T , 求A 6

解: A 6 = (αβ T ) 6

= (αβ T )(αβ T )(αβ T )(αβ T )(αβ T )(αβ T ) = α ( β T α )( β T α )( β T α )( β T α )( β T α ) β T = ( β T α ) 5 αβ T
= 35 A

1 ? ? 1 ?2 ? = 35 ?? 2 1 ? ? 3 ?3 ? 2 ?
T

1 ? 3 ? 2? ? ? 3? 1 ? ? ?

? 1 ? ? 1 1 ?? ? β α = ?1,? , ?? ? 2 ? = 3 ? 2 3 ?? ? ? 3 ?
讨论:一般化,当 n 阶矩阵 A 可分解一个 n 维列向量α与一个 n 维行向量 β 乘积时,则
T

A k = (αβ T ) k = ( β T α ) k ?1 A

? a1 ? ? ? ? a2 ? 如果 α = ? ? M ? ? ?a ? ? n?

,

? b1 ? ? ? ?b ? β =? 2? M ? ? ?b ? ? n?

,

则 β T α = a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn = lr ( A)

A的迹数

? 1 ?1 1 ? ? ? 例如: A = ? ? 1 1 ? 1? , 求 A10 ? 1 ?1 1 ? ? ? ?1? ? ? 解:因为 A = ? ? 1?(1 ? 1 1) ?1? ? ?
所以 A10 = 3 9 A 例 3 设 n 维列向量 α = ?

?1? ? ? , 而(1 ? 1 1)? ? 1? = 3 ?1? ? ?

?1 ?2

, 0 , L , 0 , , B = E + 2αα T

1? ? ,记 2?

T

A = E ? αα T
求 AB

解: AB = ( E ? αα T )( E + 2αα T )

= E + 2αα T ? αα T ? 2αα T αα T = E + αα T ? 2α (α T α )α T = E + αα T ? αα T =E
例4

α Tα =

1 2

?1 0 1? ? ? A = ? 0 2 0 ? , 求A n ? 2 A n ?1 ?1 0 1? ? ?
2

(n ≥ 2)

? 1 0 1 ?? 1 0 1 ? ? 2 0 2 ? ? ?? ? ? ? 解:看 A = ? 0 2 0 ?? 0 2 0 ? = ? 0 4 0 ? = 2 A ? 1 0 1 ?? 1 0 1 ? ? 2 0 2 ? ? ?? ? ? ?
思路一

A k = A k ?1 A = 2 k ?1 A
于是 A n ? 2 A n ?1 = 2 n ?1 A ? 2 ? 2 n ? 2 A = 0 思路二

A n ? 2 A n ?1 = A 2 A n ? 2 ? 2 ? A n ?1 = 2 A n ?1 ? 2 A n ?1 = 0
(或 A n ? 2 A n ?1 = A n ? 2 ( A 2 ? 2 A) = 0 ) 3、 两个有用的特殊规律 ① 若 B = (β 1

, β2 , β2

, L , βs ) , L , β s ) = ( Aβ 1 ,

AB = A(β 1
② 若 A = (α 1

Aβ 2

, L ,

Aβ s )
T

, α2

, L , α n ) , β = (b1 , b2

, L , bs )



Aβ = b1α 1 + b2α 2 + L + bnα n
例如(05 年考试中出现的一步计算)

A = (α 1

, α2

, L , αs )

2 0? ?1 ? ? , B = ? ?1 0 1? ? 0 ?1 1? ? ?

? ? 1 ? ? 2 ? ?0?? ? ? ? ? ? ? ?? AB = ? A? ? 1?, A? 0 ?, A? 1 ? ? ? ? 0 ? ? ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ??

= (α 1 ? α 2

, 2α 1 ? α 3

, α2 + α3 )

应用之一 矩阵分解 例 5(05 年题) 设 A 是 3 阶矩阵, α 1 , α 2 , α 3 是线性无关的三维列向量组,使得

Aα 1 = α 1 + α 2 + α 3
求作 3 阶矩阵 B,使得

,

Aα 2 = 2α 2 + α 3

,

Aα 3 = 2α 2 + 3α 3

A(α 1

, α2

, α 3 ) = (α 1 , α 2

, α 3 )B

解: 左 = ( Aα 1 , Aα 2 , Aα 3 )

= (α1 + α 2 + α 3 , 2α 2 + α 3 , 2α 2 + 3α 3 )
?1 0 0 ? ? ? = (α 1 , α 2 , α 3 )?1 2 2 ? ?1 1 3 ? ? ? ?1 0 0 ? ? ? B = ?1 2 2 ? ?1 1 3 ? ? ?
矩阵分解:如果 B 的每个列向量都是 A 的列向量组的线性组合,则可构造矩阵 C,使得

B = AC
其中 C 的各列就是 B 的相应列向量表达成 A 的列向量线性组合的系数。 如 A = (α , β , γ ), B = (α + 2 β ? γ ,3α ? β + γ , α + 2γ )

3 1? ?1 ? ? 令 C = ? 2 ?1 0? ? ? 1 1 2? ? ?
则 B = AC 例 6 设 (α 1 , α 2 , α 3 ) 是线性无关的 3 维列向量组,3 阶矩阵 A 使得

Aα 1 = α 1 + 2α 2 , Aα 2 = α 2 + 2α 3 , Aα 3 = α 3 + 2α 1
求 A 解: A(α 1 , α 2 , α 3 ) = (α 1 + 2α 2 , α 2 + 2α 3 , α 3 + 2α 1 )

? 1 0 2? ? ? = (α1 , α 2 , α 3 )? 2 1 0 ? ?0 2 1? ? ?
1 0 2 A α1 ,α 2 ,α 3 = α1 ,α 2 ,α 3 2 1 0 0 2 1

Q α1 ,α 2 ,α 3 ≠ 0
1 0 2 ∴ A = 2 1 0 =9 0 2 1
例 7(05 年题)

A = (α 1 , α 2 , α 3 ), A = 1, B = (α 1 + α 2 + α 3 , α 1 + 2α 2 + 3α 3 , α 1 + 4α 2 + 9α 3 )
求B

?1 1 1 ? ? ? 解: B = A?1 2 4 ? ?1 3 9 ? ? ? 1 1 1 B = A 1 2 4 = 1× 2 = 2 1 3 9
例 8(06 年题) 已知 α 1 , α 2 为 2 维列向量, A = (2α 1 + α 2 , α 1 ? α 2 ), B = (α 1 , α 2 ) ,已知 A = 6,求 B 解: A = B ?

?2 1 ? ? ?1 ? 1?

A= B B = ?2

2 1 = ?3 B 1 ?1

应用之二 在特殊的情形下求矩阵乘积

? 3 ? 5 6 ?? 1 0 1? ? 8 ? 5 4 ? ? ?? ? ? ? 6? 例 ? 2 7 ? 3 ?? ? 1 1 1? = ? ? 5 7 ?0 9 8 ?? 0 0 1? ? ? 9 9 17 ? ? ?? ? ? ?
诀窍: 乘积矩阵的每一列都是左侧矩阵的各列向量的线性组合, 系数的右侧矩阵相应列的各 元素。 当右边矩阵元素很简单时,可按列写出乘积结果。

又如

?0 ? ?0 A=? 0 ? ?0 ?

1 0 0 0

0 1 0 0

0? ? 0? ,求r ( A 3 ) 1? ? 0? ? 1 0 0? ?0 ? ? 0 1 0? ?0 = 0 0 1? ?0 ? ? 0 0 0? ?0 ? ? 0 1 0? ? 0 0 1? 0 0 0? ? 0 0 0? ? 0 0 1? ? 0 0 0? 0 0 0? ? 0 0 0? ?

?0 ? ?0 2 A =? 0 ? ?0 ?

1 0 0 ?? 0 ?? 0 1 0 ?? 0 0 0 1 ?? 0 ?? 0 0 0 ?? 0 ??

?0 ? ?0 A 3 = AA 2 = ? 0 ? ?0 ? r ( A3 ) = 1

1 0 0 ?? 0 ?? 0 1 0 ?? 0 0 0 1 ?? 0 ?? 0 0 0 ?? 0 ??

0 1 0? ? 0 ? ? 0 0 1? ?0 = 0 0 0? ? 0 ? ? 0 0 0? ? 0 ? ?

? 1 0 1 ?? 1 0 1 ? ? 2 0 2 ? ? ?? ? ? ? 又如 ? 0 2 0 ?? 0 2 0 ? = ? 0 4 0 ? ? 1 0 1 ?? 1 0 1 ? ? 2 0 2 ? ? ?? ? ? ?
乘积矩阵的行向量是右边矩阵行向量组的线性组合,系数是左边矩阵相应行的各分量。

? 1 0 1?? 3 ? 5 6 ? ? 3 4 14 ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 1?? 2 7 ? 3 ? = ? ? 1 21 ? 1? ? 0 0 1?? 0 9 8 ? ?0 9 8? ? ?? ? ? ?
ⅰ)对角矩阵对乘法中的作用

? c1 ? (α1 , α 2 ,α 3 )? 0 ?0 ?

0 c2 0

0? ? 0 ? = (c1α 1 , c 2α 2 , c3α 3 ) c3 ? ?

规律: 对角矩阵放在右侧乘一个矩阵, 相当于用它的对角上元素分别乘此矩阵的各列。

对角矩阵放在左侧乘一个矩阵,相当于用它的对角线上元素分别乘此矩阵的各行。

? λ1 ? ?0 ?0 ? ? λ1 ? ?0 ?0 ?

0

λ2
0 0

0 ?? Μ 1 ?? 0 ?? 0 λ3 ?? 0 ?? 0? ? 0 ? =? λ3 ? ?
k

0 Μ2 0

0 ? ? 0 ?=? Μ3 ? ?

λ2
0

ⅱ)初等矩阵在乘法中的作用 初等矩阵:对 E 作一次初等变换所得的矩阵。 有三类初等矩阵 ① 交换 E 的两行或两列所得矩阵 记 E (i, j ) 是交换 E 的 i,j 两行(列)所得矩阵,

?0 ? ?0 例如: E 4 (1,3) = ? 1 ? ?0 ?

0 1 0? ? 1 0 0? 0 0 0? ? 0 0 1? ?

② 用非 0 数 c 乘 E 的 i 行(i 列) ,记作 E (i (c ))(c ≠ 0)

?1 0 ? ?0 ? 3 例如: E 4 ( 2(3)) = ? 0 0 ? ?0 0 ?
③ 把 E 的 (i, j )

0 0? ? 0 0? 1 0? ? 0 1? ?

i ≠ j 位元素 0 换成 l,记作E(i, j (l))
0 0 0? ? 1 0 3? 0 1 0? ? 0 0 1? ?

?1 ? ?0 例如 E 4 ( 2,4(3)) = ? 0 ? ?0 ?

它是 E 的第 4 行的 3 倍加到第 2 行上所得, 或把 E 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上所得。 命题:对矩阵 A 作一次初等

左 行 变换,等同于用一个相应的初等矩阵从 侧乘 A 右 列

相应的初等矩阵:把所作初等变换作用在 E 上所得。 例如:

A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ,把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上。

A → (α 1 , α 2 , α 3 ,3α 2 + α 4 ) ?1 ? ?0 = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 )? 0 ? ?0 ? 0 0 0? ? 1 0 3? 0 1 0? ? 0 0 1? ?

例 9 将 3 阶矩阵 A 的 1,3 两列变换的 B,再将 B 的第 2 列加到第 3 列上得 C, 求作矩阵 Q,使得 C=AQ 解:方法一(用矩阵分解) 设

? 0 0 0? ? ? A = (α 1 , α 2 , α 3 ),则B = (α 2 , α 1 , α 3 ),C = (α 2 , α 1 , α 1 + α 3 ) = (α 1 , α 2 , α 3 )? 1 0 0 ? ? 0 0 1? ? ? ?0 1 1? ? ? Q = ?1 0 0? ?0 0 1? ? ?
方法二(用命题)

? 0 1 0? ? ? B = A? 1 0 0 ? ?0 0 1? ? ? ?1 0 0? ? ? C = B? 0 1 1 ? ?0 0 1? ? ? ? 0 1 0 ?? 1 0 0 ? ? 0 1 1 ? ? ?? ? ? ? C = A? 1 0 0 ?? 0 1 1 ? = ? 1 0 0 ? ? 0 0 1 ?? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ? ? ?? ? ? ?

?0 1 1? ? ? Q = ?1 0 0? ?0 0 1? ? ?
二、矩阵方程与可逆矩阵 1、 两类基本矩阵方程 问题:在 AB=C 中,如果已知 C 和 A,B 中的一个,求另一个。 ① AX=B ② XA=B 其中 A 是 n 阶矩阵,且 A ≠ 0 在克莱姆法则中,AX=B 的 A ≠ 0 ,有唯一解 对 AX=B,设 B = (β1 , L, β s ) ,则 X 也有 s 列。 设 X = ( x1 , L , x s ) ,则对每个 i, AX i =

βi

AX = B ? AX i = β i,i = 1,2, L s
因此每个 X i 唯一确定,从而 X 唯一解。 对 AX i =

β i ,用初等变换法求 X i 。

注意对不同的 i,系数矩阵 A 不变,从而作了什么初等行变换不随之变化,可一起求 X i 。

(A β ,L β ) ? (E x ,L x ) ?→
行 1 s 1 s



(A B ) ? (E X ) ?→


对 XA=B 转置得

(A

AT X T = B T
T

B T ?行 E X T ?→

)

(

)

例 10 3 阶矩阵 A 的三个行向量元素之和都为 3, 并且,α 1 = ( ?1,2,?1) T 和α 2 = (0,?1,1) T 都是 AX=0 的解,求 A 解:记 α 3 = (1,1,1) T ,则 Aα 3 = (3,3,3) T

? ? 1 0 1? ? 0 0 3 ? ? ? ? ? 则 A? 2 ? 1 1? = ? 0 0 3 ? ? ? 1 1 1? ? 0 0 3 ? ? ? ? ?
? ?1 2 ?1 0 0 0? ? ? ? 0 ?1 1 0 0 0? ?1 1 1 3 3 3? ? ? ? ?1 2 ?1 0 0 0? ? ? → ? 0 ?1 1 0 0 0? ?0 3 0 3 3 3? ? ? ? ?1 2 ?1 0 0 0? ? ? → ? 0 ?1 0 1 1 1? ? 0 0 1 1 1 1? ? ? ? 1 0 0 1 1 1? ? ? → ? 0 1 0 1 1 1? ? 0 0 1 1 1 1? ? ?

?1 1 1? ? ? A = ?1 1 1? ?1 1 1? ? ?
2、 可逆矩阵及其逆矩阵 对于数, a

≠ 0 时,有 a ?1 , a ?1a = aa ?1 = 1 ,于是 ab = ac ? a ?1ab = a ?1ac ? b = c

如果对矩阵 A,有 H 使得 HA=E,则 ab 如果 AH=E,则 BA=CA ? B= C ① 定义

= ac ? HAB = HAC ? B = C

设 A 是 n 阶矩阵,如果存在 n 阶矩阵 H,使得 HA=E,AH=E 则称 A 是可逆矩阵,称 H 为 A 的逆矩阵,记作 A 例 1(08 年考题)已知 A 是 n 阶非零矩阵, A 解:用定义, E ±
3
?1

= 0 ,判断 E+A,E-A 的可逆性

A3 = E ,对 E ± A3 因式分解,有

( E ± A)( E m A + A 2 ) = E ( E m A + A 2 )( E ± A) = E
由定义 E+A,E-A 都可逆。 ② 可逆性的判断,逆矩阵的计算 定理:n 解矩阵 A 可逆 证:

? A ≠0

"?"

AA ?1 ? A A ?1 = E = 1, ∴ A ≠ 0, (且 A ) = A
?1 ?1

" ?"
CA=E。

Q A ≠ 0, ∴矩阵方程 AX=E 和 XA=E 却有唯一解, 分别记作 B 和 C, AB=E, 即



CAB = C ( AB ) = CE = C 又CAB = (CA) B = EB = B
得B

= C ,于是 A 可逆,并且其逆矩阵就是 AX=E 的解,是唯一的。
?1

计算 A 就是 AX=E 的解

( A E ) ?行 ( E A?1 ) ?→
在矩阵方程 AX=B 中, XA=B 的解为 BA
?1

A ≠ 0 ,即 A 可逆,于是有 X = A ?1 B

初等矩阵都可逆,且

E (i, j ) = E (i, j ),
?1

E (i , (c ) ) = E (i, ( 1 )), c
?1

E (i, j (l )) ?1 = E (i, j ( ?l ))
验证

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ? ?1 0 0 0 1 ? ?0 1 l 0 0 ?0 0 1 0 0 ? ?0 0 0 1 0 ? ?1 0 0 0 1 ? ?0 1 0 0 0 →? 0 0 1 00 ? ?0 0 0 1 0 ?

0 0 0? ?1 0 0 ? ? 1 l 0? ?0 1 ? l =? 0 1 0? 0 0 1 ? ? ?0 0 0 0 0 1? ? ? 0 0 0? ? 1 0 0? 0 1 0? ? 0 0 1? ?
0? ? 1 ? l 0? 0 1 0? ? 0 0 1? ? 0 0

?1

0? ? 0? 0? ? 1? ?

对角矩阵可逆 ? 对角线上元素都不为 0
? ? λ1 1 0? 0 ? ? λ1 ? ? ? ? O =? O ? ? ? ? 0 ?0 λn ? λ?1 ? n ? ? ? ? ?1

推论:对于两个 n 阶矩阵 A,B, AB =

E ? BA = E

例 12 已知 A,B,C,D 都是 n 阶矩阵,满足 ABCD=E ① 说明 A,B,C,D 都是可逆 ② 求A
?1

和B ?1
A B C D = E = 1,

解:①对 ABCD=E 两边求行列式, 因此

A , B , C , D 都不为 0,A,B,C,D 都可逆。
?1

② 由 ABCD=E 得 A 与 BCD 互为逆矩阵, A 此时,BCDA=E, B 例 13 (06 年题)
?1

= BCD

= CDA

B = A + AB , C = A + CA ,求 B-C

解:B-C=E+AB-A-CA

由 B=E+AB,得(E-A)B=E, 则 B 与 E-A 互为逆矩阵 由 C=A+CA,得 C(E-A)=A 则 C=AB,B-C=B-AB=E ③ 可逆矩阵的性质 由定义可看出,可逆矩阵有消去律,即 A 可逆时,

AB = AC ? B = C BA = CA ? B = C
命题:若 A,B 都是 n 阶矩阵,则 A,B 都可逆 ? AB 可逆, 并且 ( AB )
?1

= B ?1 A ?1 ( AB = A B , AB ( B ?1 A ?1 = AEA ?1 = E ) )
T

命题:如果 A 可逆,则 A

,cA(c ≠ 0时)和A k ( k ∈ N ) 都可逆,并且
T ?1

(A )
T

?1

= ( A ?1 ) ; (cA) =
T

1 ?1 k ?1 k A ; ) = ( A ?1 ) (A c

矩阵的三个右肩记号 A

,Ak,A?1 次序可交换。

(A ) = (A )
T k

k T

3、 n 解矩阵 A 的伴随矩阵 A 及其性质 ① 定义

?

? A11 ? ?A A* = ? 12 L ? ?A ? 1n
例:

A21 L An1 ? ? A22 L An 2 ? T ? = ( Aij ) ? A2 n L Ann ? ? ?a b ? 2 阶矩阵 A = ? ?c d ? ? ? ?

? d ? b? * * ? a b ? A* = ? ? ? ? c a ?, ) = ? c d ? = A ? (A ? ? ? ? ?
② 性质 基本性质:

AA* = A* A = A E

? a11 ? ?a AA* = ? 21 L ? ?a ? n1

?A ? ? =? ? ?0 ?
如果 A 可逆,

a12 L a1n ?? A11 ?? a22 L a2 n ?? A12 ?? L ?? an 2 L ann ?? A1n ?? 0? ? A ? ? A ? A? ?

A21 L An1 ? ? A22 L An 2 ? ? ? A2 n L Ann ? ?

A* 则A =E A A* 即A = A
?1

A * = A A ?1


A * A = E, A
*

即 A 可逆,且

(A )

* ?1

=
?1

A A A A



(A )

?1 *

= A ?1 ( A ?1 ) =

(A )

* ?1

= ( A?1 )

*

其它性质:

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

A* = A
T *

n ?1

(A ) = (A )
(cA)
*

* T

= c n?1 A*
*

( AB )
k *
*

= B * A*
* k

(A ) = (A ) (A ) = A A
n?2
*

如果 A 可逆,则由 AA

= AE得

A A* = A A* = A
n ?1

n

(A )

* *

= A* ( A* ) = A
?1

n ?1

A n?2 = A A A

例 14 设 A 是 n 阶可逆矩阵,交换 A 的 i,j 两行得到 B (1) 证明 B 可逆 (2) 求 AB
?1

解: (1)由行列式性质, (2) B

B = ? A ≠ 0 ,因此 B 可逆。

= E (i , j ) A

B ?1 = A?1 E (i, j ) ?1 = A?1 E (i, j ) ∴ AB ?1 = AA?1 E (i, j ) = E (i, j )
例 15 设 A 是 3 阶矩阵,把 A 的第 2 行加到第 1 行上的 B,将 B 的第 1 列的(-1)倍加到

?1 1 0? ? ? 第 2 列上得 C,记 p = ? 0 1 0 ? ,则 ?0 0 1? ? ?

( A)C = P ?1 AP (C )C = P T AP
解:选(B)

( B)C = PAP ?1 ( D)C = PAPT

?1 1 0? ? ? B = ? 0 1 0 ? A = PA ?0 0 1? ? ? ?1 ?1 0? ? ? C = B? 0 1 0 ? = BP ?1 = PAP ?1 ?0 0 1? ? ?
例 16 设 A 是 3 阶可逆矩阵,交换 A 的 1,2 两行得 B,则 (A) 交换 A 的 1,2 两行的 B (B) 交换 A 的 1,2 两列的 B (C) 交换 A 的 1,2 两行的 ?
* * * *

*

B* B*

(D) 交换 A 的 1,2 两列的 ?
*

解:选(D)

思路:利用伴随矩阵与逆矩阵的关系

? 0 1 0? ? ? B = ?1 0 0? A ?0 0 1? ? ?

B* = B B

?1

? 0 1 0? ? ? = 1 0 0 A A ?1 ? 1 0 0 ? ?0 0 1? 0 0 1 ? ? 0 1 0

?1

? 0 1 0? ? 0 1 0? ? ? ? ? * = ? A A ?1 0 0? = ? A ?1 0 0? ?0 0 1? ?0 0 1? ? ? ? ?
?1

于是,

?0 1 0? ? ? A* ? 1 0 0 ? = ? B * ?0 0 1? ? ?

即(D)

例 17 设 A 是 n 阶非零实矩阵,满足 A (1)

*

= AT ,证明:

A >0 A =1

(2)当 n>2 时,

?A ? ? T * 解: (1) AA = AA = A E = ? ? ?0 ?
T

A L

0? ? ? ? ? A? ?
A

于是,对每个 i,A 的第 i 行与 A 的第 i 列对应元素乘积之和都为 而 A 的第 i 列就是 A 的第 i 行,得
T

ai1 + ai 2 + L + ain = A
2 2 2

A 的元素都为实数, aij

2

≥ 0,

? A ≥0
又A

≠ 0 ,有非零元素,设 akl ≠ 0 ,则
2 2 2

A = ak 1 + L + akl + L + akn > 0
(2) AA
T

= AE
n

A AT = A

A = A
2

n

A

n?2

=1

n ? 2 > 0,∴ A = 1
例 18 3 阶矩阵 A 满足 A
*

= AT ,并且它的第一行的元素都是正数 a,则 a=( ).
( B )3 (C ) 1 c ( D) 3

( A)
解:选(A)

3 3

AAT = AA* = A E
得a 又
2

+ a2 + a2 = A
3

3a 2 = A

A AT = A ? A = 1

∴ 3a 2 = 1, a =

3 3

例 19

? 2 1 0? ? ? A = ? 1 2 0 ?, 3 阶矩阵 B 满足 ABA* = 2 BA* + E ?0 0 1? ? ?

求B
解:方法一(利用基本公式消 A ) 对 ABA
*

*

= 2 BA* + E 两侧右乘 A,得
A =3

A AB = 2 A B + A
3 AB = 6 B + A

3( A ? 2 E ) B = A 27 A ? 2 E B = A

0 1 A ? 2E = 1 0

0 0 =1

0 0 ?1
B = 3 1 = 27 9

方法二(利用

A*

的公式)

ABA* = 2 BA* + E
( A ? 2 E ) BA* = E A ? 2 E B A* = 1
A ? 2E = 1

A* = A2 = 9
B = 1 9

例 20

? 3 ? 5 1? ? ? A = ? 1 ? 1 0 ? , A?1 XA = XA + 2 A ,求 X ? ?1 0 2? ? ?

解:先化简方程 用A
?1

右乘 A ?1 XA = XA + 2 A

A?1 X = X + 2 E
再用 A 左乘两侧

X = AX + 2 A ( E ? A) X = 2 A ? ? 2 5 ? 1 6 ? 10 2 ? ? ? (E ? A 2A) = ? ? 1 2 0 2 ? 2 0 ? ? 1 0 ?1 ? 2 0 4? ? ?

?1 0 ?1 ? 2 0 4? ? ? → ?0 2 ?1 0 ? 2 4? ?0 1 ?1 2 ? 6 2? ? ? ? 1 0 0 ? 6 10 4 ? ? ? → ? 0 1 0 ? 2 4 2? ? 0 0 1 ? 4 10 0 ? ? ?
? ? 6 10 4 ? ? ? X = ? ? 2 4 2? ? ? 4 10 0 ? ? ?
一般步骤: 先化简为基本矩阵方程,再用初等变换法。

例 21

1 ? 1? ?1 ? ? A = ? ?1 1 1? ? 1 ?1 1 ? ? ?

A* X = A ?1 + 2 X

,求 X

解:用 A 左乘方程两侧

A X = E + 2 AX

( A = 4)

(4 E ? 2 A)X

4 X = E + 2 AX
=E

X = (4 E ? 2 A) ?1
? 2 ? 2 2 1 0 0? ? ? (4 E ? 2 A E ) = ? 2 2 ? 2 0 1 0 ? ?? 2 2 2 0 0 1? ? ? ? 4 0 0 1 1 0? ? ? → ? 0 4 0 0 1 1? ? ? 2 2 2 0 0 1? ? ?

? 1 0 0 1 1 0? 4 4 ? ? →? 0 1 00 1 1? 4 4 ? ?1 2 1 0 0 1 ? 2 ? ? ?1 0 0 1 1 0? 4 4 ? ? 1 1 → ?0 1 0 0 4 4 ? ?0 0 1 1 0 1 ? 4 4 ? ?
? 1 1 0? 4 4 ? ? X = ?0 1 1 ? 4 4 ?1 0 1? 4 ? ?4



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