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2013届高三级上学期质量检测理科函数试题及答案


2013 届高三级上学期质量检测

理科数学试题及答案
(2012-11-10)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在四个选项中只有一项是正确的。 1.若 x x ? x ? m ? 0, m ? R ? ? ,则 m 的取值范围是(
2

?

?

) D. ( , ? ? )
4 1

A. ( ? ? , ]
4

1

B. ( ? ? , )
4

1

C. [ , ? ? )
4

1

2.已知 ? 为第三象限角,则 A.第一或第二象限
?? ? 3.若 ? ? ? , ?4 2
3 5

所在的象限是( ) 2 B.第二或第四象限 C.第一或第三象限

?

D.第二或第三象限

3 7 ? , sin 2? = ,则 sin ? =( ? 8 ?
4 5



A.

B.

C.

7 4

D.

3 4

4.“a=-3”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[-3,+∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列命题中,真命题是( )

A. ? x 0 ? R , e

x0

? 0
a b ? ?1

B. ? x ? R , 2 ? x
x

2

C. a ? b ? 0 的充要条件是
6.函数 y ? ln cos x ( ?

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件


?
2

? x ?

?
2

) 的图象是(

y
π 2 π 2

y x
? π 2 π 2

y x
? π 2

y
π 2

?

O

O

O

x
?

π 2

O

π 2

x

A.

B.

C.

D.

?y ? 0 y ?1 ? ,则 ? ? 7.若实数 x,y 满足不等式 ? x ? y ? 4 的取值范围是( x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?



A. [ ? 1, ]
3

1

B. [ ?

1 1 , ] 2 3

C. ? ?
?

?

1

? ,2 ? 2 ?
?
2

D. ? ?
?

?

1

? , ?? ? 2 ?

8.设函数

f (x)

是奇函数,并且在 R 上为增函数,若 0≤ ? ≤ )
(第 1 页)

时,f(msin ? )+f(1—m)

>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是(

A. (0,1) B. (-∞,0)

C. ( ?? ,

1 2

)

D. (-∞,1)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。

3π 3π 9.已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为________. 4 4 10.若 a ? ( 5 , ? 7 ), b ? ( ? 1, 2 ) ,且( a ? ? b ) ? b ,则实数 ? 的值为___________. |sinx| cosx |tanx| 11.函数 y= + + 的值域为________. sinx |cosx| tanx 12.关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1, ?? ) ,则关于 x 的不等式
ax ? b x?2 ? 0 的解
? ?

?

?

?

集为____________.
13.定义两种运算: a ? b ?
a ?b
2 2

,a ? b ?

(a ? b)

2

,则 f ( x ) ?

2? x ( x ? 2) ? 2

是______________函数, (填奇、偶、非奇非偶,既奇又偶四个中的一个) 14. 下面有五个命题: ① 函数y=sin x-cos x的最小正周期是π . ② 终边在坐标轴上的角的集合是{α |α =
k? 2
4 4

,k∈Z}.

③ 在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ? ? ④ 把函数y=3sin(2x+ )的图象向右平移 得到y=3sin2x的图象.
3 6

⑤ 函数y=sin(x-

?
2

)在(0,π )上减函数.

其中真命题的序号是_________________ (写出所有真命题的序号)
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 本小题满分 13 分) (

已知在 ? ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.
2

(Ⅰ)求 tan( A ? B ) 的值; (Ⅱ)若 AB ? 5 ,求 BC 的长. 16.(本小题满分 13 分) 已知向量 m ? ( a ? c , b ), n ? ( a ? c , b ? a ), 且 m ? n ? 0 ,其中 A,B,C 是△ABC 的内角, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边. (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围. 17.(本小题满分 13 分) 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正整数) ,且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌 的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现 在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费.
? ? ? ? ? ?

(第 2 页)

(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f ( x ); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 18. (本小题满分 13 分) 已知集合 A ? { y | y 2 ? ( a 2 ? a ? 1) y ? a ( a 2 ? 1) ? 0}, B ? { y | y ? (1)若 A ? B ? ? , 求 a 的取值范围; (2)当 a 取使不等式 x ? 1 ? ax 恒成立的 a 的最小值时,求( C R A ) ? B .
2

1 2

x ? x?
2

5 2

, 0 ? x ? 3}

19.(本小题满分 14 分) 如图,平面上定点 F 到定直线 l 的距离|FM|=2,P 为该平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂 线,垂足为 Q,且 ( P F ? P Q ) ? ( P F ? P Q ) ? 0. (1)试建立适当的平面直角坐标系,求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直线 l 于点 N,已知
??? ? ???? ??? ? ??? ? N A ? ? 1 A F , N B ? ? 2 B F , 求 证 : ? 1 ? ? 2 为定值.
??? ? ???? ??? ? ????

20. (本小题满分 14 分) 已知
f ( x ) ? ln ? a x ? b ? ? x

,其中 a

? 0, b ? 0

.

(1)若 f ( x ) 在 ? 0, ? ? ? 上是减函数,求 a 与 b 的关系; (2)求 f ( x ) 在 ? 0, ? ? ? 上的最大值; (3)解不等式 ln ? 1 ? ?
? ? 2 ? ?? x ? ? 2 x

x ?

x ?

≤ln2–1.

(第 3 页)

标 准 答 案
1-5 ABDAD 6-8 ACD 3π 3π 9.解析:由 sin >0,cos <0 知角 θ 在第四象限,∵tanθ= 4 4 7π 7π = .答案: 4 4 10.
19 5

3π cos 4 =-1,θ∈[0,2π),∴θ 3π sin 4

11.{-1,3}

12. ( ?? , ? 1) ? ( 2 , ?? )
13. 奇函数 14.

①②④_
2

15.【解析】 :(Ⅰ)由所给条件,方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 .

。 。2 。

分 ∴ tan ( A ? B ) ?
tan A ? tan B 1 ? tan A tan B
?

?

2?3 1? 2?3
?

? ? 1 。。。。 分 。。。。5

(Ⅱ)∵ A ? B ? C ? 180 ,∴ C ? 180 ? ( A ? B ) . 由(Ⅰ)知, tan C ? ? tan( A ? B ) ? 1 ,
2 2

∵ C 为三角形的内角,∴ sin C ?

。。。8 分 。。

∵ tan A ? 3 , A 为三角形的内角,∴ sin A ?
AB sin C BC sin A
? 3 5 .。。。13 分 。。

3 10

,。。 。。10 分

由正弦定理得:
5 2 2

?

∴ BC ?

?

3 10

16.解: (1)由 m ? n ? 0 得 ( a ? c )( a ? c ) ? b ( b ? a ) ? 0 ? a ? b ? c ? ab ??2 分
2 2 2

? ? ?

由余弦定理得 co s C ?

a ?b ?c
2 2

2

?

ab 2ab

?

1 2

???????????????4 分

2ab

(第 4 页)

?0?C ? π

?C ?

π 3

??????????????????6 分
2π 3
2π 3
co s A ? 3( 3 2 sin A ? 1 2 co s A )

(2)? C ?

π 3

? A?B ?
2π 3
? 3 2 sin A ? 3 2

? sin A ? sin B ? sin A ? sin (

? A ) ? sin A ? sin

co s A ? co s

2π 3

sin A

?

3 sin ( A ?

π 6

)

??????????????????9 分
? π 6 ? A? π 6
3 2 ?

?0? A?

2π 3

?

5π 6
π 6 )? 3

?

1 2

? sin ( A ?

π 6

)?1

?

3 sin ( A ?



3 2

? sin A ? sin B ?

3.

????????????????????13 分
36 x

17.解: (1)设题中比例系数为 k ,若每批购入 x 台,则共需分 由题意 f ( x ) ?
36 x ? 4 ? k ? 20 x 16 80
? f (x) ? 144 x

批,每批价值为 20 x 元,

??????????????????4 分
? 1 5
*

由 x ? 4 时, y ? 52 得 k ?

??????????????????6 分 ?????????????????8 分
*

? 4 x (0 ? x ? 3 6, x ? N ) 144 x

(2)由(1)知 f ( x ) ?
144 x

? 4 x (0 ? x ? 3 6, x ? N )

? f (x) ? 2

? 4 x ? 4 8 (元) ????????????????10 分

当且仅当

144 x

? 4 x ,即 x ? 6 时,上式等号成立.

故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用. ?????????????13 分 18、解:
A ? { y | y ? a,或 y ? a (1)当 A ? B ? ? 时, { ? a
2 2

? 1}, B ? { y | 2 ? y ? 4 }

? 1 ? 4, a ? 2,

3 ? a ? 2, 或 a ? ? 3
2 2

?????????????5 分

( 2 )由 x ? 1 ? ax ? x ? ax ? 1 ? 0 依题意 ? ? a
2

? 4 ? 0 ? ?2 ? a ? 2

(第 5 页)

? a 的最小值为-2,当 a ? ? 2 时, A ? { y | y ? ? 2 或 y ? 5}
? C R A ? { y | ? 2 ? y ? 5}, ? ( C R A ) ? B ? { y | 2 ? y ? 4}

?????????????13 分 19.解: (1) 方法一: 如图, 以线段 F M 的中点为原点 O , 以线段 F M 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 xO y .则, F (0,1) .????2 分 设动点 P 的坐标为 ( x , y ) ,则动点 Q 的坐标为 ( x , ? 1)
??? ? ???? P F ? ( ? x ,1 ? y ) , P Q ? (0, ? 1 ? y ) , ??? ? ???? ??? ? ????
2

?????3 分 ???5 分
???? ??? ?

由 ( P F ? P Q ) · ( P F ? P Q ) ? 0 ,得 x ? 4 y .
??? ? ???? ??? ? ????

方法二:由 ( P F ? P Q ) ? ( P F ? P Q ) ? 0 得 , P Q ? P F . ???2 分 所以,动点 P 的轨迹 C 是抛物线,以线段 F M 的中点 为原点 O ,以线段 F M 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 xO y ,可得轨迹 C 的方程为:
x ? 4y.
2

????????????????????5 分

(2)方法一:如图,设直线 A B 的方程为 y ? kx ? 1, A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , ?6 分 则 N (?
2 k , ? 1) . ???????????????????????????7 分

联立方程组 ?

? x2 ? 4 y, ? y ? kx ? 1,

消去 y 得,

x ? 4 kx ? 4 ? 0 , ? ? ( ? 4 k ) ? 16 ? 0 , ??????????????8 分
2

2

故?

? x1 ? x 2 ? 4 k , ? x1 ? x 2 ? ? 4 .

??????????????????????9 分
??? ? ??? ?

由 N A ? ?1 A F , N B ? ? 2 B F 得,
x1 ? 2 k ? ? ? 1 x1 , x 2 ? 2 k ? ? ? 2 x 2 , ????????????????10 分

??? ?

????

整理得, ?1 ? ? 1 ?

2 kx1
1 ?

, ?2 ? ?1 ?

2 kx 2
x1 ? x 2 x1 ? x 2 ? ?2 ? 2 4k ? ? 0 . ???????14 分 k ?4

?1 ? ? 2 ? ? 2 ?

2 k

(

1 x2
a

) ? ?2 ?

2 k

·

x1

20.解:.(1)

f ?( x ) ?

ax ? b

?1 ?

a ? b ? ax ax ? b

.

??????1 分

(第 6 页)

? x ≥ 0, a ? 0, b ? 0

,

?

f ?( x ) ≤ 0

时, a ? b ≤ 0 ,即 a ≤ b .
a ? 0, b ? 0, x ≥ 0. ? ax ? b ? 0, a ? b ? ax ≤ 0

当 a ≤ b 时,?
? f ( x)

,



f ?( x ) ≤ 0

.

在 [0, ? ? ) 上是减函数时, b ≥
a

a

.

?????????4 分 的最大值为
f (0) ? ln b

(2)由(1)知, (i)当 b ≥ 当b
? a



f ( x ) 为减函数, f ( x )

;??5 分

时,?
a?b a

f ?( x ) ?

a ? b ? ax ax ? b


? a?b a

? 当0 ≤ x ?

时,

f ?( x ) ? 0

,当 x



f ?( x ) ? 0

, 分

即在 [0, ∴x
?

a?b a

)



f ( x ) 是增函数,在 [

a?b a

, ? ? ) 上 f ( x ) 是减函数,??????7

a?b a



f ( x ) 取最大值,
a?b a a?b a

最大值为

f m ax ( x ) ? f (

) ? ln a ?





? ln b ( b ≥ a ), ? f m ax ( x ) ? ? a?b ( b ? a ). ? ln a ? a ?

????????8 分

(3)在(1)中取 a ? b ? 1 ,即 由(1)知
? ?
f ( x ) 在 [0, ? ? )

f ( x ) ? ln( x ? 1) ? x

, ????????10 分
2 x

上是减函数.

∵ln ? 1 ? ?

x ?

2 ? ?? x ? ?

x ?

2 x

≤ln2–1,即 f(

1?

)≤f(1) ??????12 分



1?

2 x

≥1 解得 –1≤x <0 或 x≥2. ???????????14 分

故所求不等式的解集为 [ ? 1, 0 ) ? [ 2 , ? ? )

(第 7 页)


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