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正三棱锥与正四面体的计算


正三棱锥与正四面体有关计算 一、定义
正三棱锥—底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正三棱锥不等同于正四面体—正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。

二、性质
1、底面是等边三角形。 2、侧面是三个全等的等腰三角形。 3、顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心) 。大用处的四个 4、(1)斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形; (含侧棱与底边夹角) (2)高、斜高、斜高射影构成的直角三角形; (含侧面与底面夹角) (3)高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形; (含侧棱与底面夹角) (4)斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。

三、数据计算
对于棱长为 a 的正四面体 V-ABC 1、 异面直线有几对? 答案:3 对 VA-BC VB-AC VC-AB 2、 表面积

V

A E B

S△ABC

1 AB.EC 2 AB ? a
2 2

O

C

3 ?a? EC ? a ? ? ? ? a 2 ?2? S△ABC ? S侧面积 1 3 3 2 a. a? a 2 2 4 3 2 ? 4 ? S△ABC ? 4 ? a = 3a 2 4

3、 求 CO 三角心重心的性质 首先要明白三角形重心的定义:三角形三边中线的交点。 其性质:重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。即图中 CO:OE=2:1 那么 CO 的距离为: CO ?

2 3 3 ? a? a 3 2 3

4、求 VO 顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心) 也就是求点 V 到地面 ABC 的距离,即 VO 的长 因为 VO 垂直底面 ABC,所以 VO 垂直 CO。即△COC 为直角△。

? 3 ? 1 2 2 2 2?3 2 6 2 VO ? a ? ? ? 3 a ? ? a ? 3 a ? 3 a (分母有理化)= 3 ? 3 a = 3 a ? ? ?
2

2

5、 求三棱锥的体积 椎体的体积在本章中的 1.3 节。其体积公式要熟练掌握。体积符号为 V。

1 V ? ? S底面积 ? h 3

公式说明:

底面积在图中就是△ABC 的面积。高 h 即为顶点 V 到底面 ABC 的距离。根据 4,即为 VO 的距离。 V ?

1 1 3 2 6 3 2 3 2 3 ? S底面积 ? h= ? a ? a= a = a 3 3 4 3 36 12

6、 求斜线与底面所成角 因为 VO 为底面垂线段,VC 为斜线,O 为垂足,C 为斜足。CO 为射影。 根据定义,角 VCO 即为所求的角。

3 临边 3 a cos ? ? = a 斜边 6 对边 3 a sin ? = = a 斜边

=

3 3 6 3

=

6 对边 3 a tan ? = = = 2 3 临边 a 3
7、 斜高 就是侧面三角形的高,如图所示,为 VE 的长。

VE ? EC ?

3 a 2

8、面与面所成角 简单点说,就是两个平面所成的角,其范围为[0°,180°]. 面这里就要讲到线线角,两条直线所成角,其范围[0°,90°]. 线线角,直线与平面所成角, 其范围[0°,90°]. 平面 VAB 与平面 ABC 所成的角怎么计算? 首先找到公共棱 AB,并在两个平面中找到两天直线垂直公共棱,其中要注意这两天直线 必须垂直。根据我们以上所讲的,二面角即为角 VEC。 在 RT△VEO 中各边的边长如下计算:

? 3 ? 1 2 2 2 2?3 2 6 2 VO ? a ? ? ? 3 a ? ? a ? 3 a ? 3 a (分母有理化)= 3 ? 3 a = 3 a ? ? ?
2

2

VE ? EC ?

3 a 2 3 3 3 a? a? a 2 3 6

EO ? CE ? CO ?

3 临边 6 a 1 cos ? ? = = 3 斜边 3 a 2 6 对边 3 a 2 2 sin ? = = = 3 斜边 3 a 2 6 对边 3 a tan ? = = =2 2 3 临边 a 6
寄语:在正四面体中还有一类比较重要的内容,如正四面体内切圆和外接圆的半径的计 算,种种原因,在这里不再赘述。



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